（河南专版）2019年中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）课件.ppt

第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形,中考数学(河南专用),五年中考,A组2014-2018年河南中考题组,五年中考,1.(2016河南,6,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为()A.6B.5C.4D.3,答案D在ABC中,ACB=90,DE垂直平分AC,AD=DC,DEBC,E为AB的中点,DE=BC,BC=6,DE=BC=3.故选D.,2.(2018河南,15,3分)如图,MAN=90,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,ABC与ABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接AE.当AEF为直角三角形时,AB的长为.,答案4或4,解析(1)当点A在直线DE下方时,如图1,CAF=90,EAFCAF,AEF为钝角三角形,不符合;(2)当点A在直线DE上方时,如图2.当AFE=90时,DEAB,EDA=90,ABAC.由对称知四边形ABAC为正方形,AB=AC=4;当点A在直线DE上方时,如图3.当AEF=90时,AEAC,所以AEC=ACE=ACE,AC=AE.AE=EC,ACE为等边三角形,ACB=ACB=60,在RtACB中,AB=ACtan60=4;当点A在直线DE上方时,EAFCAB,不可能为90.综上所述,当AEF为直角三角形时,AB的长为4或4.,图1,图2,图3,思路分析由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A可以在直线DE的下方或上方.分类讨论,当点A在DE的下方时,AEF不可能为直角三角形,当点A在直线DE上方时,AEF或AFE为90时分别计算AB的长,显然EAF90,可以排除.,方法总结解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.,3.(2017河南,14,3分)如图1,点P从ABC的顶点B出发,沿BCA匀速运动到点A.图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则ABC的面积是.,答案12,解析观察题图可知BC=BA=5.当BPAC时,BP=4,此时AP=CP=3,所以AC=6,所以SABC=64=12.,4.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B落在边AC上.若MBC为直角三角形,则BM的长为.,答案或1,解析在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45.(1)当MBC=90时,BMC=C=45.设BM=x,则BM=BC=x,在RtMBC中,由勾股定理得MC=x,x+x=+1,解得x=1,BM=1.(2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合,此时BM=BM=BC=.综上所述,BM的长为1或.,5.(2014河南,11,3分)如图,在ABC中,按以下步骤作图:分别以点B、C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,B=25,则ACB的度数为.,答案105,解析由题意知MN垂直平分BC,CD=BD,又CD=AC,AC=CD=BD,DCB=B=25,A=CDA=50,ACB=180-A-B=105.,6.(2014河南,22,10分)(1)问题发现如图1,ACB和DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.填空:AEB的度数为;线段AD、BE之间的数量关系为.(2)拓展探究如图2,ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,点A、D、E在同一直线上,CM为DCE中DE边上的高,连接BE.请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由.,图1图2,(3)解决问题如图3,在正方形ABCD中,CD=.若点P满足PD=1,且BPD=90,请直接写出点A到BP的距离.,图3,解析(1)60;AD=BE.(2分)(2)AEB=90;AE=2CM+BE.(4分)(注:若未给出本判断结果,但后续理由说明完全正确,不扣分)理由:ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,CD=CE,ACB-DCB=DCE-DCB,ACD=BCE.ACDBCE.(6分)AD=BE,BEC=ADC=135.AEB=BEC-CED=135-45=90.(7分)在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,CM=DM=ME.DE=2CM.AE=DE+AD=2CM+BE.(8分)(3)或.(10分),【提示】PD=1,BPD=90,BP是以点D为圆心、1为半径的D的切线,点P为切点.第一种情况:如图,连接BD,AP,过点A作AP的垂线,交BP于点P,可证APDAPB,PD=PB=1.CD=,BD=2,BP=,作AMPP,交PP于点M,AM=PP=(PB-BP)=.第二种情况:如图,由上同理可得AM=PP=(PB+BP)=.,思路分析(1)根据等边三角形的性质判定ACDBCE即可得结论.(2)根据等腰直角三角形的性质,类比第(1)问判定ACDBCE,从而得解.(3)根据PD=1且BPD=90,运用圆的切线的性质构造直角三角形解题即可.,解题关键判定ACDBCE,利用全等三角形的性质求AEB的大小并表示相应线段间的数量关系是本题关键.,考点一等腰三角形,B组2014-2018年全国中考题组,1.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于()A.15B.30C.45D.60,答案A由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,2.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为()A.50B.70C.75D.80,答案B因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,3.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为()A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm,答案A当腰长为2cm时,底边长为6cm,但是2+2=40),则FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE=CF=.选A.,2.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为()A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km,答案DACBC,M是AB的中点,MC=AB=AM=1.2km.故选D.,3.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD=.,答案3,解析依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AB=3.,4.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.,答案,解析连接DE,在等边ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,DEAC,DE=EC=AC=2.DEB=C=60.EFAC,EFC=90.FEC=30,EF=.DEG=180-60-30=90.G是EF的中点,EG=.,在RtDEG中,DG=.,思路分析连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.,疑难突破本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,5.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为.,答案1或9,解析分两种情况讨论:BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D.在RtABD中,AB=,AD=3,BD=5.在RtACD中,AC=5,AD=3,CD=4.BC=BD+CD=9.BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1.综上,BC的长为1或9.,思路分析根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,6.(2017吉林,11,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形ABCD.若点B的对应点B落在边CD上,则BC的长为.,答案1,解析由题意可知,AB=AB=5,在RtADB中,利用勾股定理可得DB=4,所以BC=1.,思路分析在RtABD中,利用勾股定理求出BD的长,即可求出BC的长.,7.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60,CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4cm,则EF的长为cm.,答案(+),解析如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4cm,A=60,AB=8cm,DB=4cm,点E为AB的中点,EMBD,DE=AB=4cm,EM=AD=2cm,由等腰直角三角形的性质可知ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2cm,MN=EM=2cm,DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2+-=(+)cm.,一题多解过点A作AGCD的延长线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG=2cm,ABD=30,BD=AD=4cm,CBD=45,BC=2cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF=(AG+BC)=(2+2)=(+)cm.,8.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0,1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为.,答案,解析如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=,BAO=30,由题意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中,AC=AOcos60=,OC=AOsin60=,OC=AO-AC=,O.,9.(2016黑龙江哈尔滨,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,点P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的长为.,答案或,解析当CP=1时,根据勾股定理得AP=;当CP=2时,根据勾股定理得AP=,故AP的长为或.,10.(2015上海,18,4分)已知在ABC中,AB=AC=8,BAC=30.将ABC绕点A旋转,使点B落在原ABC的点C处,此时点C落在点D处.延长线段AD,交原ABC的边BC的延长线于点E,那么线段DE的长等于.,答案4-4,解析如图,作BFAE交AE于点F,在RtABF中,BAF=60,AB=8,可得AF=4,BF=4,所以DF=AD-AF=8-4=4.易证BFE是等腰直角三角形,所以EF=BF=4,所以DE=EF-DF=4-4.,评析本题考查解含特殊角的直角三角形,画出图形,通过作出适当的辅助线,把一般的三角形化为直角三角形是关键,属于中等难度题.,11.(2014贵州贵阳,15,4分)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高,动点P从点A出发,沿AD方向以cm/s的速度向点D运动.设ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0t8),则t=秒时,S1=2S2.,答案6,解析由题意可知RtADC和RtEFC都是等腰直角三角形,AD=DC=BD=8.因为AP=t,所以DP=EF=FC=8-t,DF=t;S1=APBD=t8=8tcm2,S2=PDDF=(8-t)t=(-2t2+16t)cm2,所以当S1=2S2时,有8t=-4t2+32t,解得t=6.,评析本题综合考查函数解析式、勾股定理、一元二次方程的解法等知识点,属中等难度题.,12.(2016广东,21,7分)如图,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD为较短的直角边向CDB的同侧作RtDEC,满足E=30,DCE=90,再用同样的方法作RtFGC,FCG=90,继续用同样的方法作RtHIC,HCI=90.若AC=a,求CI的长.,解析RtABC中,B=30,ACB=90,A=60.(1分)CDAB,ADC=90,ACD=30.(2分)AC=a,RtADC中,AD=AC=,CD=AD=a.(4分)同理可得,RtDFC中,DF=CD=a,CF=DF=a.(5分)RtFHC中,FH=CF=a,CH=FH=a,(6分)RtCHI中,CI=CH=a.(7分),评析本题考查直角三角形的基本性质与运算.,13.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长.,解析(1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点,BM=AC.N为CD的中点,MN=AD.AC=AD,BM=MN.(2)BAD=60,AC平分BAD,BAC=CAD=30.由BM=AM,可得BMC=2BAC=60.由MNAD,可得CMN=CAD=30.BMN=BMC+CMN=90.AC=AD=2,BM=MN=1.在RtBMN中,BN=.,14.(2015福建龙岩,24,13分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动.M,N分别是AD,CD的中点,连接MN.设点D运动的时间为t.(1)判断MN与AC的位置关系;(2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积;(3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析(1)在ADC中,M是AD的中点,N是DC的中点,MNAC.(3分),(2)如图,分别取ABC三边中点E,F,G,并连接EG,FG.根据题意可知线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积.AC=6,BC=8,AE=3,GC=4,ACB=90,SAFGE=AEGC=12,线段MN扫过区域的面积为12.(7分),(3)解法一:依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6.(9分),ii)当MD=DN时,AD=DC,过D作DHAC交AC于H,则AH=AC=3,cosA=,AD=t=5.(11分)iii)当DN=MN=3时,AC=DC.连接MC,则CMAD.cosA=,即=,AM=,AD=t=2AM=.综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.(13分)解法二:依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.,i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6.(9分)ii)当MD=DN时,AD=DC,DAC=ACD,ACB=90,BCD+ACD=90,B+BAC=90,B=BCD,BD=CD=AD,在RtABC中,AB=10,t=AD=AB=5.(11分),iii)当DN=MN=3时,AC=DC,连接MC,则CMAB.SACB=BCAC=ABMC,CM=.在RtAMC中,AM=.t=AD=2AM=.综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.(13分),15.(2014重庆,24,10分)如图,ABC中,BAC=90,AB=AC,ADBC,垂足是D,AE平分BAD,交BC于点E.在ABC外有一点F,使FAAE,FCBC.(1)求证:BE=CF;(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:MEBC;DE=DN.,证明如图.(1)BAC=90,AFAE,1+EAC=90,2+EAC=90,1=2.(1分)又AB=AC,B=ACB=45.FCBC,FCA=90-ACB=90-45=45,B=FCA,(2分)ABEACF(ASA).(3分)BE=CF.(4分)(2)过E作EGAB于点G.B=45,GBE是等腰直角三角形,BG=EG,3=45.(5分)ADBC,AE平分BAD,EG=ED,BG=ED.BM=2ED,BM=2BG,即G是BM的中点.(6分)直线EG是BM的垂直平分线,EB=EM,4=3=45,MEB=4+3=45+45=90,即MEBC.(7分)ADBC,MEAD,5=6.1=5,1=6,AM=EM.MC=MC,RtAMCRtEMC(HL),(8分),7=8.BAC=90,AB=AC,ACB=45,BAD=CAD=45,5=7=22.5,AD=CD.ADE=CDN=90,ADECDN(ASA),(9分)DE=DN.(10分),评析本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,角平分线的性质定理,构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键.,16.(2014浙江温州,22,8分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中DAB=90.求证:a2+b2=c2.图1证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.S四边形ADCB=SACD+SABC=b2+ab,又S四边形ADCB=SADB+SDCB=c2+a(b-a),b2+ab=c2+a(b-a),a2+b2=c2.,请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.图2将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中DAB=90.求证:a2+b2=c2.证明:连接.S五边形ACBED=,又S五边形ACBED=,.a2+b2=c2.,证明连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,S五边形ACBED=SACB+SABE+SADE=ab+b2+ab,又S五边形ACBED=SACB+SABD+SBDE=ab+c2+a(b-a),ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),a2+b2=c2.,评析本题主要考查勾股定理的证明,表示出五边形面积是解题关键.,考点一等腰三角形1.(2018郑州一模,13)已知三个边长分别为1,2,3的正三角形从左到右如图排列,则图中阴影部分面积为.,三年模拟,A组20162018年模拟基础题组,答案,解析如图,根据题意得,BGEC,HBG=FCE=60.在ACE中,AB+BC=1+2=3,AC=EC=3.ACE=120,1=30.BGCE,1=2=30,BG=AB=1,GHB=EFC=90,SEFC+SGHB=32+12=,即S阴影=.,解题关键依据条件,判断出两个三角形GHB和EFC是含30角的直角三角形,由等腰三角形的性质得出斜边GB的长,进而求得两个直角三角形的面积.,2.(2017濮阳一模,5)如图,已知ABC,ABBC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是(),答案D由作图知选项D中的点P在线段AB的垂直平分线上,所以PB=PA,BP+PC=BC,PA+PC=BC.故选D.,思路分析根据作图痕迹判断作出的点P的特点,判断是否符合PA+PC=BC.,1.(2018郑州一模,5)如图,已知ABC(ACBC),用尺规在BC边上确定一点P,使得PA+PC=BC,则下列四种不同的作图方法中正确的是(),考点二直角三角形,答案D由题意知PA=PB,根据作图方法可知,选项D的作图所表示的是点P在线段AB的垂直平分线上,即PA=PB.故选D.,2.(2017焦作一模,8)如图,在ABC中,ABC=90,A=30,BC=4.若DE是ABC的中位线,延长DE交ACM的平分线于点F,则DF的长为()A.6B.7C.8D.9,答案A在RtABC中,A=30,BC=4,AC=2BC=8,DE是ABC的中位线,DE=BC=2,EC=4.DFBM,EFC=FCM.CF平分ACM,ECF=FCM,ECF=EFC,EF=EC=4,DF=DE+EF=6.故选A.,3.(2018安阳二模,12)如图,BD是矩形ABCD的一条对角线,点E、F分别是BD、DC的中点,若AB=4,BC=3,则AE+EF的长为.,答案4,解析在矩形ABCD中,C=DAB=90,点E、F分别是BD、DC的中点,EF=BC=,AE=BD,且BD=5,AE=,AE+EF=4.,4.(2017平顶山一模,15)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的四边形,ABCD,CDBC于C,且边AB,BC,CD的长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是.,解析根据题意得点B或点C可以为直角三角形的顶点.当点B为直角三角形的顶点时,如图1,在RtBCD中,BD=5,D为斜边EF的中点,EF=2DB=10;当点C为直角三角形的顶点时,如图2,在RtABC中,AC=2,A为斜边EF的中点,EF=2AC=4.综上所述,原直角三角形纸片的斜边长是4或10.,答案10或4,5.(2016郑州一模,15)如图,RtABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,将边AC沿直线CE翻折,使点A落在AB边上的点D处;再将边BC沿直线CF翻折,使点B落在CD边的延长线上的点B处,两条折痕与斜边AB分别交于点E,F,线段BF的长为.,答案,解析在RtABC中,AC=3,BC=4,由勾股定理,得AB=5,由图形的翻折性质,得A=1,2=3=90,CD=AC=3,B=B,CB=CB=4,1=A,2=ACB=90,CEDBCA,=,=,ED=.在RtCDE中,CE=,1=4,1=A,A=4,A+B=90,A+B=90.4+B=90,即BFD=90,BFD=2=90,1=4,CEDBFD.=,BD=4-3=1,=,BF=.,6.(2018许昌一模,22)(1)观察猜想如图,点B、A、C在同一条直线上,DBBC,ECBC且DAE=90,AD=AE,则BC、BD、CE之间的数量关系为;(2)问题解决如图,在RtABC中,ABC=90,CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰RtDAC,连接BD,求BD的长;(3)拓展延伸如图,在四边形ABCD中,ABC=ADC=90,CB=4,AB=2,DC=DA,请写出BD的长.,解析(1)BC=BD+CE.(2)如图1,过D作DEAB,交BA的延长线于E,ABC=90,DAC=90,BCA+CAB=CAB+DAE=90,BCA=EAD.CBA=EAD=90,AD=AC,ABCDEA,DE=AB=2,AE=BC=4,BE=6,在RtBDE中,由勾股定理得,BD=2.(3)如图2,过D作DEBC于E,作DFAB于F,同理得CEDAFD,CE=AF,ED=DF,设AF=x,DF=y,则解得BF=2+1=3,DF=3,在RtBDF中,由勾股定理得,BD=3.,7.(2016开封一模,22)在ABC中,ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE,连接EC.问题发现:(1)如果AB=AC,BAC=90,当点D在线段BC上时(不与点B重合),如图1,请你判断线段CE与BD之间的关系和关系:(直接写出结论);拓展探究:(2)如果AB=AC,BAC=90,当点D在线段BC的延长线上时,如图2,请判断(1)中的结论是否仍然成立,如成立,请证明你的结论.问题解决:(3)如图3,ABAC,BAC90,若点D在线段BC上运动,试探究:当锐角ACB等于度时,线段CE和BD之间的位置关系仍然成立(点C、E重合除外).此时若作DFAD交线段CE于点F,AC=3,线段CF长的最大值是.,解析(1)CEBD,CE=BD.(2分)(2)成立,理由如下:AE是由AD旋转得到的,AE=AD,BAC=90,EAD=90,BAD=CAE,又AB=AC,BADCAE(SAS).CE=BD,ACE=B,B+ACB=90,ACE+ACB=90.BCE=90,BDCE.(6分)(3)45;.(10分),B组20162018年模拟提升题组(时间:45分钟分值:55分),一、选择题（每题3分，共6分）,1.(2017平顶山一模,9)如图,一张长方形纸片的长AD=4,宽AB=1,点E在边AD上,点F在边BC上,将四边形ABFE沿直线EF翻折后,点B落在边AD的中点G处,则EG等于()A.B.2C.D.,答案C根据题意得,AE=AE,AG=AB=1,A=A=90.设EG=x,则AE=AE=2-x,在RtAEG中,AG2+AE2=EG2,即12+(2-x)2=x2,解得x=,即EG=.故选C.,思路分析设EG=x,表示出AE的长,在RtAEG中运用勾股定理求解.,2.(2017开封一模,8)如图,已知在RtABC中,ABC=90,点D是BC边的中点,分别以B、C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧在直线BC的上方交于点P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:EDBC;A=EBA;EB平分AED;ED=AB,其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4,答案C由题意可得PD垂直平分BC,EDBC正确;ABC=90,PDAB,又D为BC的中点,E为AC的中点,EC=EA,易知EB=EC,EA=EB,A=EBA正确;易知EB平分AED错误,ED=AB正确.所以正确的个数为3.故选C.,思路分析由作图方法知PD垂直平分BC,根据垂直平分线的性质和直角三角形的性质判断正误.,3.(2018安阳二模,15)如图,等腰ABC中,AB=AC=5,BC=8,点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点,直线DE垂直平分BF,垂足为D,当ACF是直角三角形时,BD的长为.,二、填空题(每小题3分,共15分),答案2或,解析由题意知ACF90,当AFC=90时,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BF=BC=4,DE垂直平分BF,BD=BF=2.当FAC=90时,如图,作AGBC于点G.在RtACG中,AG=3.设FG=x,在RtAFG中,AF2=32+x2,在RtACF中,AF2=(4+x)2-52,9+x2=(4+x)2-25,解得x=,BF=BC-FC=,BD=BF=.综上所述,当ACF是直角三角形时,BD的长为2或.,思路分析ACF为直角三角形,分两种情况讨论:当AFC=90时,依据等腰三角形的性质,易求BF、BD的长;当FAC=90时,设FG=x,在RtAFG和RtAFC中,根据勾股定理列方程求解,进而求得BF、BD的长.,4.(2018濮阳一模,15)如图,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,点D,E为AC,BC上两个动点,若将C沿DE折叠,点C的对应点C恰好落在AB上,且ADC恰好为直角三角形,则此时CD的长为.,答案或,解析如图,当ADC=90时,ADC=C,则DCCB,ADCACB.又AC=3,BC=4,=.设CD=CD=x,则AD=3-x,=,解得x=.经检验,x=是该方程的解,CD=.如图,当DCA=90时,DCB=DCA,由折叠的性质可得,C=DCE=90,CB与CE重合.由C=ACD=90,A=A,可得ADCABC.在RtABC中,AB=5,=.设CD=CD=x,则AD=3-x,=,解得x=.经检验,x=是该方程的解,CD=.综上,CD的长为或.,思路分析本题主要考查直角三角形的折叠问题,依据ADC为直角三角形,分两种情况进行讨论.当ADC=90时或当DCA=90时,分别依据相似三角形的边对应成比例,设要求的线段长为x,列方程求解,即可得到CD的长.,5.(2017焦作一模,15)如图,在ABC中,C=90,AB=5,BC=3,D是边AB的中点,点E在边AC上,将ADE沿DE翻折,使点A落在点A处,当AEAC时,AB=.,答案或,解析因为D是边AB的中点,所以DA=DB,在RtABC中,C=90,AC=4.由折叠知DA=DA,所以点A、C、A、B在以点D为圆心的圆上,当AEAC时,有两种情况,如图1和图2:如图1,AEAC,AE=AE,AAC=45,AB为直径,AAB=90,AFA=BFC=45,CF=BC=3,AF=1,AA=AFcos45=.在RtAAB中,AB=.如图2,易得DE垂直平分AA,作DHAC于H,则DH=BC=,AH=AC=2.在RtDHE中,DEH=45,HE=DH=,AE=.AA=.,在RtAAB中,AB=.综上所述,AB的长为或.图1图2,思路分析因为D是AB的中点,所以DA=BD,由折叠得点A在以AB为直径的圆上.分类讨论A的位置,解直角三角形求AA的长,运用勾股定理求得AB的长.,6.(2016焦作一模,10)如图,在ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧交于点M、N,连接MN,交BC于点D,交AB于点E,连接AD.若ABC的周长等于16,ADC的周长为9,则线段AE的长等于.,答案3.5,解析由题意知,MN垂直平分AB,则AD=BD.由题意得CABC=AC+CB+AB=AC+CD+BD+AB=16,CADC=AC+CD+AD=9.AD=BD,AC+CD+BD=9.AB=16-9=7.AE=AB=3.5.,思路分析根据作图方法得MN垂直平分AB,所以ABC与ADC的周长差为线段AB的长,从而求得AE的长.,7.(2016焦作一模,15)如图,矩形ABCD中,AD=4,AB=7,点E为DC边上一动点,ADE沿直线AE折叠,点D落在矩形ABCD内一点D处,若BCD为等腰三角形,则DE的长为.,答案或,解析如图,当BD=CD时,作DMBC,垂足为M,延长MD交AD于N,四边形ABCD为矩形,MNAD,且MN平分AD、BC,连接DD,则DD=AD=AD=4.ADD为等边三角形,DAD=60.由对称性知EAD=DAD=30,DE=ADtan30=.图如图,当BD=BC时,在矩形ABCD中,AD=AD=BD=BC=4,过点D作PQAB,交AB于Q,交DC于P.CDAB,PQCD,AD=BD,AQ=QB=.在RtDAQ中,DQ=,PD=4-.易得EPDDQA.,=,ED=,即ED=.图当CB=CD时,CD+AD=BC+AD=8,AC=,CD+ADAC.不存在D使CB=CD.综上所述,DE的长为或.,思路分析根据矩形的性质和折叠的对称性,确定点D的位置,分类讨论等腰BCD边相等的情况,求线段DE的长.,8.(2018驻马店一模,22)(1)如图1,ABC中,AB=AC,点D在AB上,过点D作DEBC,交AC于E,连接CD,F,G,H分别是线段CD,DE,BC的中点,则线段FG,FH的数量关系是(直接写出结论);(2)将图1中的ADE绕点A旋转到如图2位置,上述结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,在RtABC中,C=90,AC=5,BC=12,点E在BC上,且BE=,过点E作EDAB,垂足为D,将BDE绕点B顺时针旋转,连接AE,取AE的中点F,连接DF.当AE与AC垂直时,线段DF的长度为(直接写出结果).,三、解答题(共34分),解析(1)FG=FH.理由:如题图1,AB=AC,B=ACB.DEBC,ADE=B,AED=ACB,ADE=AED,AD=AE,BD=CE.DG=GE,DF=CF,BH=CH,GF=EC,FH=BD,FG=FH.(2)结论仍然成立.理由:如题图2,BAC=DAE,BAD=CAE.,AB=AC,AD=AE,BADCAE,BD=CE.DG=GE,DF=CF,BH=CH,GF=EC,FH=BD,FG=FH.(3)或.提示:如图(1)中,作EKBC于K,延长AC到H,使得CH=AC,连接BH、EH,延长ED到G,使DG=DE,连接BG、AG.,易证ABH,EBG都是等腰三角形,ABH=EBG,BHEBAG,EH=AG.AECK,ACEK,四边形ACKE是平行四边形.ACK=90,四边形ACKE是矩形,AC=EK=5,CAE=90.,在RtEBK中,BK=6,BC=12,AE=CK=6.在RtAEH中,EH=2,AF=FE,ED=DG,DF=AG=EH=.,如图(2)中,同法可证EH=AG,四边形ACKE是矩形,AC=EK=5,CK=AE=BC+