高考数学一轮复习 必考部分 第七篇 立体几何 第4节 垂直关系课件 文 北师大版.ppt

第4节垂直关系,知识链条完善把散落的知识连起来,【教材导读】1.若一条直线a垂直于平面内的无数条直线,则a吗?提示:当这无数条直线相互平行时,a与不一定垂直.2.若,则内的任意直线都与垂直吗?提示:不一定,平面内只有垂直于交线的直线才与垂直.,知识梳理,1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.,任何,两条相交直线,平行,ab,2.二面角、平面与平面垂直(1)二面角二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的.两个半平面叫作二面角的.如图,记作:二面角-l-或二面角-AB-.,棱,二面角的平面角.以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.,(2)平面与平面的垂直定义.一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.,面,直二面角,垂线,垂直,夯基自测,1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;平行四边形的两边.(A)(B)(C)(D),解析:中的两条直线一定相交,所以这条直线必和两图形所在平面垂直,而中的两条直线可能平行,该直线和两图形所在平面不一定垂直.,A,2.在空间,下列命题正确的是()(A)平行直线在同一平面内的射影平行或重合(B)垂直于同一平面的两条直线平行(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)平行于同一直线的两个平面平行,B,解析:选项A中两直线的射影也可能是两个点,选项A不正确.选项C,D中两个平面也可能相交,即选项C,D均不正确.由线面垂直的性质定理知选项B正确.,3.已知直线a平面,b,则a与b的位置关系是()(A)平行(B)垂直(C)异面(D)以上都有可能,解析:因为b,则b一定平行于平面内的某一条直线c,又a,所以ac,又bc,所以ab.,B,4.已知,=l,al,则()(A)a(B)a(C)a(D)以上都有可能,D,5.PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的序号有.平面PAB平面PBC平面PAB平面PAD平面PAB平面PCD平面PAB平面PAC,解析:易证BC平面PAB,则平面PAB平面PBC;又ADBC,故AD平面PAB,则平面PAD平面PAB.,答案:,考点专项突破在讲练中理解知识,考点一直线与平面垂直的判定和性质(高频考点),考查角度1:利用定理进行逻辑推理证明.高考扫描:2011高考新课标全国卷,2014高考新课标全国卷【例1】如图,已知PA平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MNCD;,转化为证线面垂直。找其它棱的中点，与直线MN做平面是关键！,(2)若PDA=45,求证:MN平面PCD.,证明:(2)因为PA平面ABCD,所以PAAD,又PDA=45,所以PAD为等腰直角三角形,又E为PD的中点,所以AEPD,又由(1)知CDAE,所以AE平面PCD.又AEMN,所以MN平面PCD.,判定定理证明,反思归纳,(1)证明线面垂直的方法直线和平面垂直的判定定理.充分利用条件寻找平面内的两条相交直线和已知直线垂直.常用结论:a.两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直;b.一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直.(2)直线与平面垂直的性质.已知线面垂直,则直线与平面内任意直线都垂直.,勾股定理的逆定理？,(2)求点D到面AEC的距离.,转换三棱锥底面与高的位置,反思归纳,计算证明的关键是利用几何体中的相关数据得到两直线的垂直关系,常与解三角形的应用相关,验证的主要依据就是勾股定理.,平面与平面垂直的判定和性质(高频考点),高考扫描:2015高考新课标全国卷,2012高考新课标全国卷,2010高考新课标全国卷【例3】(2015河南、河北、山西三省一模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C为菱形,CBB1=60,ABB1C.(1)求证:平面AA1B1B平面BB1C1C;,(1)证明:由侧面AA1B1B为正方形,知ABBB1,又因为ABB1C,BB1B1C=B1,所以AB平面BB1C1C,又因为AB平面AA1B1B,所以平面AA1B1B平面BB1C1C.,判定定理,(2)若AB=2,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.,以侧面为底分解成几个棱锥求解简便！,反思归纳,(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为90).(2)三种垂直关系的转化(3)面面垂直性质的应用两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.,(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD,又因为A1O平面ABCD,所以A1OBD.因为ACA1O=O,所以BD平面A1AC,所以BDA1C.由已知AA1=2,AC=2,又AO=OC,A1OAC,所以A1C=A1A=2,所以A1A2+A1C2=AC2,所以A1CA1A,因为B1BA1A,所以A1CB1B,因为BDB1B=B,所以A1C平面BB1D1D.,(2)求三棱锥A-C1CD的体积.,考点三垂直关系中的探究性问题,【例4】(2015河南郑州二模)如图,已知三棱柱ABC-ABC侧棱垂直于底面,AB=AC,BAC=90,点M,N分别为AB和BC的中点.(1)证明:MN平面AACC;,转化为面面平行！,(2)设AB=AA,当为何值时,CN平面AMN,试证明你的结论.,反思归纳,处理空间中垂直关系的探索性问题,一般应先根据条件猜测点或直线的位置,然后再给出证明,存在性问题可利用垂直关系和几何体中的数据构造方程,然后转化为方程解的存在性进行判断.,【即时训练】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.(1)求证:AEDA1;,(1)证明:连接AD1,BC1,由正方体的性质可知DA1AD1,DA1AB,所以DA1平面ABC1D1,所以DA1AE.,(2)求在线段AA1上是否存在点G,使AE面DFG?试证明你的结论.,(2)解:存在点G,当点G为A1点,AE平面DFG.证明如下:由(1)知DA1AE,取CD的中点H,连AH,EH.由DFAH,DFEH,AHEH=H,得DF平面AHE,所以DFAE.又因为DFA1D=D,所以AE平面DFA1,即AE平面DFG.,考点四折叠问题中的垂直关系【例5】如图1,在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图2.(1)求证:DE平面A1CB;,折叠后DE与CB平行吗！,(2)求证:A1FBE;,(2)证明:由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD,又A1DDE=D,所以DE平面A1DC.所以DEA1F,又A1FCD,CDDE=D,所以A1F平面BEDC,所以A1FBE.,转化为线面垂直！,(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由.,(3)解:分别取A1C,A1B的中点P,Q,连接PQ,DP,QE,则PQBC.又因为DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知,DE平面A1DC,所以DEA1C.又因为P是等腰DA1C底边A1C的中点,所以A1CDP,又DEDP=D,所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C平面DEQ.,反思归纳,证明折叠问题中的平行与垂直,关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.,【即时训练】等边三角形ABC的边长为2,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC的中点(如图(1).现将ABC沿CD翻成直二面角A-CD-B(如图(2).在图(2)中:(1)求证:AB平面DEF;,(1)证明:如题图(2)所示,在ABC中,因为E,F分别是AC,BC的中点,所以EFAB,又AB平面DEF,EF平面DEF,所以AB平面DEF.,(2)求多面体D-ABFE的体积.,备选例题,【例题】如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,DAB=60.点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EFAC于点O.沿EF将CEF翻折到PEF的位置,使平面PEF平面ABFED.(1)求证:BD平面POA;,(2)当PB取得最小值时,求四棱锥P-BFE