2019届高考数学思想、数学核心素养与数学文化第3讲分类讨论、转化与化归思想学案理.docx

第3讲分类讨论、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一分类讨论思想的应用应用1由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.(2)在等比数列an中，已知a3，S3，则a1_.解析(1)若a1，有a24，a1m.解得a2，m.此时g(x)为减函数，不合题意.若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意.(2)当q1时，a1a2a3，S33a1，显然成立.当q1时，由a3，S3，由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去).当q时，a16，综上可知，a1或a16.答案(1)(2)或6探究提高1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分0a1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q1和q1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的.【训练1】 (1)(2018长沙一中质检)已知Sn为数列an的前n项和且Sn2an2，则S5S4的值为()A.8 B.10 C.16 D.32(2)函数f(x)若f(1)f(a)2，则a的所有可能取值的集合是_.解析(1)当n1时，a1S12a12，解得a12.因为Sn2an2，当n2时，Sn12an12，两式相减得，an2an2an1，即an2an1，则数列an为首项为2，公比为2的等比数列，则S5S4a52532.(2)f(1)e01，即f(1)1.由f(1)f(a)2，得f(a)1.当a0时，f(a)1ea1，所以a1.当1a0时，f(a)sin(a2)1，所以a22k(kZ).所以a22k(kZ)，k只能取0，此时a2，因为1a|PF2|，则的值为_.解析若PF2F190.则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又因为|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，所以.若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，所以|PF1|2(6|PF1|)220，所以|PF1|4，|PF2|2，所以2.综上知，或2.答案或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】 已知f(x)xaex(aR，e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)e2x对xR恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f(x)1aex，当a0时，f(x)0，函数f(x)是(，)上的单调递增函数；当a0时，由f(x)0得xln a，若x(，ln a)，则f(x)0；当x(ln a，)，则f(x)0.所以函数f(x)在(，ln a)上的单调递增，在(ln a，)上的单调递减.(2)f(x)e2xaex，设g(x)ex，则g(x).当x0，g(x)0，g(x)在(，0)上单调递增.当x0时，1e2x0，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递减.所以g(x)maxg(0)1，所以a1.故a的取值范围是1，).探究提高1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】 已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.当t0时，求f(x)的单调区间.解f(x)12x26tx6t2.令f(x)0，解得xt或x.因为t0，所以分两种情况讨论：若t0，则0，则t0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则等于()A.2a B. C.4a D.(2)(2017浙江卷)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_.解析(1)抛物线yax2(a0)的标准方程为x2y(a0)，焦点F.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|QF|，4a.(2)由题意，不妨设b(2，0)，a(cos ，sin )，则ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin ).令y|ab|ab|，令y，则y210216，20.由此可得(|ab|ab|)max2，(|ab|ab|)min4，即|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.答案(1)C(2)42探究提高1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 (1)如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，那么()A.a1a8a4a5 B.a1a8a4a5 D.a1a8a4a5(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则_.解析(1)取特殊数列an，其中ann(nN*).显然a1a881，都有f(xt)3ex，试求m的最大值.解当t1，)且x1，m时，xt0，f(xt)3exextext1ln xx.原命题等价转化为：存在实数t1，)，使得不等式t1ln xx对任意x1，m恒成立.令h(x)1ln xx(1xm).h(x)10，函数h(x)在1，)上为减函数，又x1，m，h(x)minh(m)1ln mm.要使得对任意x1，m，t值恒存在，只需1ln mm1.h(3)ln 32lnln1，h(4)ln 43ln0恒成立，则即解得log2x3，即0x8，故实数x的取值范围是(8，).(2)g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立.由得3x2(m4)x20，即m43x.当x(t，3)时恒成立，m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x，当x(t，3)时恒成立，则m49，即m.使函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围是.答案(1)(8，)(2)探究提高1.第(1)题是把关于x的函数转化为在0，4内关于t的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练6】 已知函数f(x)x33ax1，