2018-2019学年高中数学 第二章 数列 专题2.1 数列的概念与简单表示法试题 新人教A版必修5.doc

2.1 数列的概念与简单表示法1数列的相关概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做_），排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成简记为 2数列的分类（1）根据数列项数的多少分有穷数列项数_的数列，例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列项数_的数列，例如数列1，2，3，4，5，6， 是无穷数列（2）根据数列项的大小分递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项_的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的通项公式如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的_我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项4数列表示方法的优缺点通项公式法优点：便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究缺点：一些数列的通项公式表示比较困难列表法优点：内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项缺点：表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难_法优点：能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势缺点：数列项数较多时用图象表示比较困难递推公式法优点：可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系缺点：不容易了解数列的全貌，计算也不方便5递推公式的定义如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项 (或前n项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的_注意：递推公式也是数列的一种表示方法K知识参考答案：1首项 2有限 无限 相等 3通项公式 4图象5递推公式K重点数列的表示方法、通项公式及其应用，根据递推公式写出数列的前几项K难点根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式K易错对递推公式变形时注意n取值的变化根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：（1）观察数列的前几项是否具有以下几个特征：各项的符号特征、各项能否分拆、分式的分子与分母的特征、相邻项的变化规律等；（2）寻找各项与对应的项的序号之间的规律根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）1，3，5，7，9，；（2），；（3）0，2，0，2，0，2，；（4）1，3，3，5，5，7，7，9，9，；（5）3，5，9，17，33，【答案】见解析【解析】（1）数列的各项是连续的正奇数，它的一个通项公式为an2n1；（2）分子是连续的正偶数，分母为分子的平方减去1，它的一个通项公式为an；（3）将数列变形为，易知它的一个通项公式为an；（4）将数列变形为10，21，30，41，50，61，70，81，类似于（3）可得它的一个通项公式为ann；（5）将数列变形为，可得它的一个通项公式为an【名师点睛】寻找各项与对应的项的序号之间的规律的方法：（1）熟记一些特殊数列的通项公式，如等；（2）将数列的各项分解成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分子、分母分别求通项；（3）当数列各项的符号出现“+”“”相间时，可用或来实现数列1，的一个通项公式是ABCD【答案】D【解析】A中，B中，C中，D中，因此排除A、B、C，故选D数列中项的判断与求解（1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项；（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项已知数列的通项公式，则（1）_；（2）_【答案】（1）2；（2）10【解析】（1）因为所以（2）观察可知 故10已知数列的通项公式是，那么A30是数列的一项B44是数列的一项C66是数列的一项D90是数列的一项【答案】C【解析】注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，则问题就可以解决了.易得故选C【名师点睛】若出现的数比较大，可以用解方程的方法加以解决（看求出的解是否为正整数）根据数列的递推公式求由递推公式求通项公式的常用方法：（1）归纳法根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式；（2）迭代法、累加法或累乘法已知，写出前5项，并猜想【答案】前五项分别为，猜想【解析】由题可得故前五项分别为 由，观察，猜想【解题技巧】（1）本题若是求，则由a n+1=2an可得an=2a n1，即，依次向下写，一直到第一项，然后将它们相乘，有，所以an=a12n1=2n这种方法通常叫叠乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项公式的问题中是比较常用的方法，对应的还有叠加法（2）应注意的是：数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的已知，则数列的通项公式ABCD【答案】C【解析】由可得，当时，经检验，也符合上述通项公式故选C 数列的单调性数列单调性的判断方法和应用思路：（1）比较数列中任意相邻两项和的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法；（2）利用数列的单调性：数列递增，数列递减对于通项较复杂的数列问题，常采用“特值探路”的策略，并结合数列的单调性求解已知数列的通项公式为，判断数列的单调性【答案】数列是递增数列【解析】方法1： 则，即，故数列是递增数列方法2：则，又故，即数列是递增数列方法3：令，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，则函数在上单调递增，故数列是递增数列【名师点睛】方法3借助于数列对应的函数，运用我们熟知的函数的单调性进行求解，更加简捷数列的最大（小）项的求法数列的最大（小）项问题有如下两种求法：（1）利用数列的单调性确定数列的最大（小）项当数列不单调时，还需解不等式（或，此时应注意的符号）；（2）通过解不等式组来确定设第项是数列的最大（小）项，则 ，求出k的正整数值即得最大（小）项，这样就不必再判断数列的单调性了已知数列的通项公式，试问数列是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由【答案】数列有最大项为或，且【解析】方法1：作差比较与的大小，判断的单调性，当时，即；当时，即；当时，即故，所以数列有最大项为或，且方法2：作商比较与的大小，判断的单调性，令，解得；令，解得；令，解得故所以数列有最大项为或，且方法3：假设中有最大项，且最大项为第n项，则，即，即，故数列有最大项为或，且对递推公式变形时忽略的取值已知数列满足，则数列的通项公式_【错解】由，可得，两式相除可得【错因分析】仅适用于且时的情况，故不能就此断定就是数列的通项公式【正解】当时，；当时，由，可得，上述两式相除可得，故【名师点睛】在对递推公式变形时，常常会改变n的取值，因此求出的不一定适用于1数列的一个通项公式是ABCD2不能作为数列2，0，2，0，的通项公式的是 ABCD3数列中，则ABCD4在数列中，则ABCD5是数列，的A第项B第项C第项D第项6数列的前n项和，则的通项公式为ABCD7数列中，若，则ABCD8如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是AB CD 9已知数列的通项公式为，则_10数列中，那么满足的有_项11数列中，已知（为常数），且，则_12如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，推测第行的第3个数字为_13数列中的最大项是_14已知数列，其通项公式为 ，判断数列的单调性15已知数列的通项公式为（1）求的值；（2）试判断是否为数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由16不能作为数列的一个通项公式的是ABCD17在数列中，若，则的值为ABCD18传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律，第n个图形中有_个正方形19若数列满足，则_20已知各项都为正数的数列满足，则_21若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质若具有性质，且，则_22已知是递增数列，且对任意的自然数n(n1)，都有恒成立，则实数的取值范围为_23已知数列的通项公式（1）数列中有多少项为负数?（2）数列an是否有最小项?若有，求出其最小项24数列中，求，并归纳出25已知数列中，求数列的通项公式26（2017新课标全国文节选）设数列满足，求的通项公式.1【答案】B【解析】观察数列的前6项知，每一项与项数的关系为，故选B2【答案】C【解析】验证易知，只有C选项中的式子不能作为已知数列的通项公式故选C3【答案】C【解析】因为，所以所以故选C5【答案】B【解析】由数列，可得通项公式为，令，求解得，故选B6【答案】A【解析】因为，所以当时，两式相减可得，又当时，满足上式，故选A7【答案】B【解析】将代入，得，再将代入，得，所以数列周期为，所以，故选B8【答案】D【解析】由，再根据累加法得，故选D9【答案】【解析】因为，所以10【答案】【解析】由二次函数知识可知，该数列为二次函数图象上的整数点，当时满足，故满足的有项11【答案】【解析】由可得，因为，所以，解得，所以，所以12【答案】【解析】由题图可知，从第3行开始，每个数字都等于其“肩上”的两数之和，那么第行的数字为，故第3个数字为14【答案】数列是递增数列【解析】方法1：，则 即，故数列是递增数列.方法2：，则 即数列是递增数列 （注：这里要确定的符号，否则无法判断与的大小）方法3：令，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，则函数在上单调递增，故数列是递增数列15【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）因为数列的通项公式为，所以（2）是数列中的项理由如下：假设是数列中的项，则，解得，所以是数列中的项，且为第项16【答案】C【解析】因为数列的前几项为摆动数列，因此通过验证可知A，B，D都适合，C选项不适合故选C18【答案】【解析】设数列为an，由图知，所以由此猜想：19【答案】【解析】由已知得，所以，20【答案】【解析】由，令，解得，同理可得，所以21【答案】【解析】因为，所以，于是，又，所以22【答案】(-3，+)【解析】由an为递增数列，得an+1-an=(n+1)2+(n+1)-n2-n=2n+1+0恒成立，即-2n-1在n1时恒成立，令f(n)