四川省成都市高中数学 第一章 计数原理综合检测 新人教A版选修2-3.doc

第一章 计数原理综合检测一、选择题1.若A2n3=10An3,则n=().A.1B.8C.9D.10【解析】A2n3=10An3,2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),n=8.【答案】B2.C22+C32+C42+C102等于().A.990B.165C.120D.55【解析】因为Cn+1m=Cnm-1+Cnm,所以C22+C32+C42+C102=C33+C32+C42+C102=C43+C42+C102=C53+C52+C102=C113=165.【答案】B3.设mN*,且m15,则(15-m)(16-m)(20-m)等于().A.A15-m6B.A20-m15-mC.A20-m6D.A20-m5【解析】(15-m)(16-m)(20-m)中20-m是最大的因数,共6个因数,因此记为A20-m6.故选C.【答案】C4.在二项式x+2x4的展开式中,x2的系数为().A.8B.4C.6D.12【解析】Tr+1=C4rx4-r2xr=2rC4rx4-2r,T2=2C41x2=8x2,故x2的系数为8,故选A.【答案】A5.四位男演员与五位女演员(包含女演员甲)排成一排拍照,其中四位男演员互不相邻,且女演员甲不站首尾两端的排法数为().A.A55A64-2A44A54B.A55A64-A44A54C.A55A54-2A44A44D.A55A54-A44A44【解析】四位男演员互不相邻可用插空法,有A55A64种排法,其中女演员甲站在首尾两端的排法有2A44A54种,因此所求排法数为A55A64-2A44A54.故选A.【答案】A6.将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中,每个盒子中既要有白球,又要有黑球,且每个盒子中都不能同时只放入2个白球和2个黑球,则所有不同的放法种数为().A.3B.6C.12D.18【解析】黑:2,2,1白:1,1,2有A31种,黑:1,1,3白:1,1,2有A313种,所以共有A31+3A31=12种.【答案】C7.从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为().A.85B.56C.49D.28【解析】分两种情况:第一种,甲、乙只有1人入选,则有C21C72=42种;第二种,甲、乙都入选,有C22C71=7种.所以共有42+7=49种选法,故选C.【答案】C8.若Cn3=Cn4,则n!3!(n-3)!的值为().A.1B.7C.20D.35【解析】由Cn3=Cn4,即n(n-1)(n-2)321=n(n-1)(n-2)(n-3)4321,解得n=7,所以n!3!(n-3)!=7654!3!4!=765321=35.【答案】D9.(x+1)(2x+1)(3x+1)(nx+1)(nN*)展开式中的一次项系数为().A.Cn+12B.Cn2C.Cnn-1D.12Cn+12【解析】一次项的系数为1+2+3+n=n(n+1)2=Cn+12.【答案】A10.从0,1,2,3,4,5这六个数字中选两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为().A.300B.216C.180D.162【解析】第一类,从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为C32C22A44=72;第二类,取0,此时2,4只能取一个,0不能排在首位,组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21(A44-A33)=108.所以组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180,故选C.【答案】C11.从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点,可得到的不同的四面体的个数为().A.C84-12B.C84-8C.C84-6D.C84-4【解析】在正方体中,6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体,故有(C84-12)个.【答案】A12.用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法计数原理及乘法计数原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可用(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示,其中“1”表示一个球都不取,“a”表示取出一个红球,“b”表示取出一个蓝球,“ab”表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是().A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)【解析】由题意知,5个无区别的红球取出若干个球可表示为1+a+a2+a3+a4+a5;5个无区别的蓝球都取出或都不取出可表示为1+b5;5个有区别的黑球取出若干个球可表示为(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)=(1+c)5.由乘法计数原理可得所有取法可表示为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5.【答案】A二、填空题13.已知(1+3x)n的展开式中,x2的系数是54,则n=.【解析】二项展开式的通项公式Tr+1=Cnr(3x)r=Cnr3rxr,令r=2,得Cn232=54,解得n=4.【答案】414.有两排座位,前排4个座位,后排5个座位,现安排2人就坐,并且这2人不相邻(一前一后也视为不相邻),那么不同的坐法的种数是.【解析】两人都在前排有A32种,两人都在后排有A42种,一前一后有452=40种,故共有A32+A42+40=58种.【答案】5815.若二项式(3-x)n(nN*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则ba+ab的最小值为.【解析】令x=1,得a=2n;令x=-1,得b=4n.所以ba+ab=2n+12n.令t=2n(t2),得ba+ab=t+1t,由“对勾函数”的图象与性质知t+1t2+12=52.【答案】5216.如图,在杨辉三角中,从上往下数共有n行(nN*),在这些数中,非1的数之和为.【解析】根据题意,所求之和S=(20+21+22+2n-1)-(2n-1)=2n-12-1-2n+1=2n-2n.【答案】2n-2n三、解答题17.(1)求证:A75+5A74=A85.(2)若C2n3=10Cn3,求n的值.【解析】(1)左边=A75+5A74=76543+57654=(3+5)7654=87654=A85=右边,故等式得证.(2)由C2n3=10Cn3(n3,nN*),得2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),即4n(2n-1)(n-1)=10n(n-1)(n-2),解得n=8.18.(1)求1x-x29的展开式中的常数项;(2)已知x10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a10(x+2)10,求a1+a2+a3+a10的值.【解析】(1)展开式的通项为Tr+1=C9r1x9-r-x2r=(-1)r2-r2C9rx32r-9.令32r-9=0,得r=6.因此展开式的常数项为T7=(-1)62-3C96=212.(2)分别令x=-2与x=-1,得a0=210,a0+a1+a2+a10=1,两式相减得a1+a2+a10=1-210=-1023.19.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的有3人.(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型中的哪一个人,这件“任选1人去献血”的事情都能完成,所以根据分类加法计数原理,共有28+7+9+3=47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事情才完成,所以根据分步乘法计数原理,共有28793=5292种不同的选法.20.6个女生(其中有一个领唱)和2个男生分成两排表演.(1)若每排4人,共有多少种不同的排法?(2)若领唱站在前排,男生站在后排,且每排4人,有多少种不同的排法?【解析】(1)分三步:第一步,先从8人中选出4人站在前排,另外4人站在后排,有C84种不同的选法;第二步,前面4人进行排列,有A44种排法;第三步,后面4人也进行排列,有A44种排法.由分步乘法计数原理得共有C84(A44)2=40320种排法.(2)首先从除去领唱的5个女生中选出3个与领唱站在前排,然后前排与后排进行排列,所以共有C53(A44)2=5760种排法.21.已知(1+mx)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中x的系数为112.(1)求m,n的值;(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和;(3)求(1+mx)n(1-x)的展开式中x2的系数.【解析】(1)由题意得2n=256,解得n=8.通项Tr+1=C8rmrxr2,x的系数为C82m2=112,解得m=2或m=-2(舍去).故m,n的值分别为2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为28-1=128.(3)(1+2x)8(1-x)=(1+2x)8-x(1+2x)8,x2的系数为C8424-C8222=1008.22.给定数字0、1、2、3、5、9,每个数字最多用一次.求:(1)可以组成多少个四位数?(2)可以组成多少个是四位数的奇数?(3)可以组成多少个自然数?【解析】(1)(法一)从“位置”考虑,由于0不能放在首位,因此首位数字只能有A51种取法,其余三个数位可以从余下的5个数字(包括0)中任取3个排列,所以可以组成A51A53=300个四位数.(法二)“排除法”,从6个元素中取4个元素的所有排列中,减去0在首位上的排列数即为所求,所以共有A64-A11A53=300个四位数.(2)从“位置