专题讲座五行列式计算.doc

专题讲座五 行列式的计算方法1.递推法例1 求行列式的值： （1）的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。解 把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是另一项是上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n 2 阶行列式，这个n 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系： （2）移项，提取公因子：类似地：（递推计算）直接计算若；否则，除以后移项：再一次用递推计算：， 当 （3）当 = ，从从而。由（3）式，若。注 递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.注1 仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式 （3）和三对角线型行列式 （4）有相同的递推关系式 （5） （6）注意两个序列和的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有由（4）式，的每一行都能提出一个因子a ，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故例2 计算n阶范德蒙行列式行列式解:即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积2拆元法例3：计算行列式解（x + a） （x a） 3加边法例4 计算行列式分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法.解 4数学归结法例5 计算行列式解：猜测：证明（1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设nk 1 时命题成立,考察n=k的情形：故命题对一切自然数n成立。5.消去法求三对角线型行列式的值例6 求n阶三对角线型行列式的值： （1）的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。解 用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为类似地做下去，直到第n行减去第n 1行的倍，则第n行变为最后所得的行列式为 （2）上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为 93）又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。注3 一般的三对角线型行列式 （4）也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。6 乘以已知行列式例7 求行列式的值：称为循环行列式，各行自左到右均由循环排列而得，并使主对角线元全为解 设1的立方根为，即其中i是虚数单位，又右乘以行列式则 （1）用，得故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提后的元顺次为，类似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子和于是因互不相等，帮它们所构成的凡德蒙行列式的值不为零，可以从上式的左右两边约去，得。注4 在n阶的一般情形，设1的n次方根为则得行列式的值为这里的是由构成的n阶循环行列式：7 利用线性代数方程组的解例8 求n阶行列式的值： （1）的构造是：第i行的元顺次为又第n行的元顺次为。解 （1）的行列式与凡德蒙行列式 （2）的比值可以看成线性代数方程组 （3）的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式但方程组（3）又可以看成n次多项式方程 （4）（t是未知数，看作系数）有n个根用根与系数的关系，即得8 递推方程组方法例9 求行列式的值： （1）是n阶行列式（在右下角用（n）表示），其结构是：主对角线元全为x ；主对角线上方的元全为y , 下方的元全为z 。解 从 （1）的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，第n 1列减第n列，得 （2）上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是（x y）乘一个n 1阶行列式，这个n 1阶行列式和（2）中的n阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为；展开的另一项是故递推式 （3）若z = y，则上式化为 （4）类似地有又故可对（4）式递推计算如下：上面得到原行列式当z = y时的值。下面讨论zy的情形。把（1）的行列式的y与z对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变。于是y和z对调后，的值不变，这时（3）式变为