八年级数学上册第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题2课件新人教版.ppt

13.4最短路径问题,第二课时,（1）在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换（简称平移）.平移不改变图形的形状和大小.（2）三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边.,上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况，今天我们一起来探究下.,探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题,活动1,回顾旧知，引入新知,探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题,活动2,整合旧知，探究新知,例1.如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使ACBC的值最大,怎么作图呢？,【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A(或B)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线AB(AB)与直线l交于点C.,解：如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A，AB的延长线交l于点C，则点C即为所求,探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题,回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点（直线同侧）一线型”时AC+BC最小的吗？试类比证明“ACBC最大”的作法是否正确性？,探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题,活动3,类比建模，证明新知,理由：在直线l上任找一点C(异于点C)，连接CA，CA，CA，CB.因为点A，A关于直线l对称，所以l为线段AA的垂直平分线，则有CACA，所以CACBCACBAB.又因为点C在l上，所以CACA.又在ABC中，CACBCACBAB，所以CACBCACB.,练习点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示.若P是x轴上使得|PAPB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.,【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB与x轴的交点，则此时P是x轴上使得|PAPB|的值最大的点，即PAPB=AB.将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小,探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题,如图，点P与点Q即为所求.,解：延长线段AB，AB与x轴交于点P，则此时P是x轴上使得|PAPB|的值最大的点，即PAPB=AB；作点A关于x轴的对称点A，AB的连线交y轴于点Q，则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.,探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题,常说“遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CDEF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.,探究二：利用平移解决造桥选址问题,活动1,结合实际，难点分解,重点、难点知识,例2.如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,探究二：利用平移解决造桥选址问题,活动2,生活中的实际问题,重点、难点知识,【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A到点B要走的路线是AMNB，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到AA，则AA=MN，AM+NB=AN+NB，这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,图1,探究二：利用平移解决造桥选址问题,重点、难点知识,如图2，连接A，B两点的线中，线段AB最短，因此，线段AB与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.,图2,作法：如图2，平移MN到AA（或者过点A作AA垂直于河岸），且使AA等于河宽连接BA与河岸的一边b交于点N.过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.如图所示，则MN为所建的桥的位置,探究二：利用平移解决造桥选址问题,重点、难点知识,上述作图为什么是最短的？请你想想.,探究二：利用平移解决造桥选址问题,活动3,几何证明,重点、难点知识,证明：由平移的性质，得MNAA，且MN=AA，AM=AN，AMAN，所以A、B两地的距离：AM+MN+BN=AA+AN+BN=AA+AB.如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N，若桥的位置建在NM处，过点N作NMa，垂足为M，连接AM，AN，NB.由平行知：AM=AN，AA=NM，则建桥后AB两地的距离为：AM+MN+NB=AN+AA+NB=AA+AN+NB.在ANB中，AN+NBAB，AA+AN+NBAA+AB，即AM+MN+NBAM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.,图2,练习如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？,解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.如图2所示，则MN为所建的桥的位置,探究二：利用平移解决造桥选址问题,重点、难点知识,知识梳理,本堂课主要知识为两个最值问题：（1）利用轴对称知识解决“线段距离之差最大”问题；（2）利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址”问题,重难点归纳,解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题,（1）“距离之差最大”问题的两种模型：如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为即可.通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点