高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法课件新人教A版.ppt

三反证法与放缩法,【自主预习】1.反证法(1)方法:先假设_,以此为出发点,结合已知条件,应用_等,进行正确的推理,得到和_(或已证明的定理、性,要证的命题不成立,公理、定义、定理、性质,命题的条件,质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明_,我们把它称为反证法.(2)适用范围:对于那些直接证明比较困难的否定性命题,唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问题,常常用反证法证明.,原命题成立,2.放缩法(1)方法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值_或_,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.(2)关键:放大(缩小)要适当.,放大,缩小,【即时小测】1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可把下列哪些作为条件使用()(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等.(4)原结论.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(4),【解析】选C.根据反证法的定义可知,用反证法证明过程中,可应用(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等推出矛盾.,2.在ABC中,若AB=AC,P是ABC内的一点,APBAPC,求证:BAPCAP.,【知识探究】探究点反证法与放缩法1.用反证法证明时,导出矛盾有哪几种可能?提示:与原命题的条件矛盾;与假设矛盾;与定义、公理、定理、性质矛盾;与客观事实矛盾.,2.用反证法证明命题“若p则q”时,q假,q即为真吗?提示:是的.在证明数学问题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者中居其一,q是q的反面,若q为假,则q必为真.,【归纳总结】1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设,2.放缩法证明不等式的理论依据(1)不等式的传递性.(2)等量加不等量为不等量.(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.,3.放缩法证明不等式常用的技巧(1)增项或减项.(2)在分式中增大或减小分子或分母.(3)应用重要不等式放缩,如a2+b22ab,(4)利用函数的单调性等.,类型一利用反证法证明否定性命题【典例】设0a2,0b2,01,(2-c)b1,则(2-a)c(2-b)a(2-c)b1,因为0a2,0b2,00.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2a2+b22ab.从而ab2,得(a+b)24,出现矛盾,故假设不成立,原结论成立,即a+b2.,2.将典例中的条件改为“设二次函数f(x)=x2+px+1”,求证:|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.【证明】假设|f(1)|,|f(-1)|都小于2,则有|f(1)|+|f(-1)|0,这与a+b+c0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于零.,类型三利用放缩法证明不等式【典例】求证:(nN+且n2).【解题探究】典例中如何将中的分母适当放大或缩小转化为求和的形式?提示:(nN+且n2).,【证明】因为k(k+1)k2k(k-1),所以即(kN+且k2).分别令k=2,3,n得,将这些不等式相加得,所以即(nN+且n2)成立.,【方法技巧】放缩法证明不等式的技巧放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即AC,后证CB.常用的放缩技巧有:,(1)舍掉(加进)一些项.(2)在分式中放大(缩小)分子(分母).(3)应用基本不等式进行放缩.,【变式训练】已知S=(n是大于2的自然数),则有()A.S1B.2S3C.1S2D.3S1.,【补偿训练】已知an=4n-2n,Tn=求证:T1+T2+T3+Tn,【证明】因为a1+a2+an=41+42+43+4n-(21+22+2n)=(4n-1)+2(1-2n),所以Tn=,从而T1+T2+T3+Tn=,自我纠错用放缩法证明不等式