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九年级数学教案（下册） 2012年 月 日26.1二次函数第1课时教学目标1知识与技能能够表示简单变量间的二次函数关系理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析，概括的能力.2过程与方法逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量之间关系的体验.3情感、态度与价值观进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用教学重点难点1教学重点二次函数实例分析、二次函数定义的理解2教学难点从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系课型与课时新课 第一节课教学手段教案，尺子，粉笔教学方法提问法，练习法，总结法教学过程（一）创设情境 导入新课导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用，从而导人新课导语二 观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片（或在黑板画出示意图）思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导人新课导语三 观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线 探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？（二）合作交流 解读探究1用自变量的二次式表示函数关系 【想一想】 正方体的棱长为x，表面积为y，则y 6x2 （用含x的代数式表示） 圆的面积为S，半径为R，则S = r2（用含 R 的代数式表示）【探究 l】多边形的对角线d与边数n有什么关系？【思路分析】从多边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？从n个顶点出发，又可以作多少条对角线？【答案】从多边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，从n个顶点出发，可以作n（n-3）条对角线.即d=n（n-3）.【点评】思路是从简单到复杂【易错点】对关系式中不很理解.【探究2】某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量如果每年都比上一年的产量增加x倍那么，两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定y 与x之间的关系应怎样表示？【解析】一年后的产量为20(1+x).再过一年后的产量为20(1+x)2.即两年后的产量为20(1+x)2.【答案】y=20(1+x)2【点评】此题必须理解每一年的产量.2二次函数的定义观察比较以下关系式y=bx2；d=n（n-3）即；y=20(1+x)2即y=20x2+40x+20函数有什么共同点与不同点共同点：A. 等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式 B等式的右边可统一为“ax2+bx+c”的形式二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c （a, b，c是常数，a0）的函数，叫二次函数【注意】函数y=ax2+bx+c中，a0是必要条件，切不可忽视而b，c的值可以为任何实数 定义是关于x的二次整式（切不可把“y=x2+3，也当成二次函数)（三）应用迁移巩固提高类型之一 二次函数定义的判定及其应用例1下列函数是二次函数的有A.y=8x2+1 B.y=2x-3 C.y=3x2+ D.y=【解析】A 符合二次函数定义，故它是二次函数 B.是一次函数 C,D都出现分式，故C,D都不是二次函数.【答案】A【点评】紧扣定义中的两个特征：a0；ax2+bx+c是整式（二次三项式）.变式题 若y=(b-1)x2+3是二次函数，则b1.类型之一 实际问题中的二次函数例2 一个正方形的边长是12cm.若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形.剩余的部分的面积为ycm2.（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数.（2）当小长方形的长中x的值为2，4时，相应的剩余部分面积是多少？【分析】可画出示意图，剩余面积=正方形面积-小长方形面积.解：（1）y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144y是x的二次函数.（2）当x=2，4时，相应的y的值分别为132cm2，104cm2.【点评】几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来.变式题 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.【分析】S表=S侧+2S底解：S侧=2rr=2r2，S底=r2，S表=2 S底+ S侧=2r2+2r2=4r2.【点评】S侧=Ch=2rh.此公式易记错，需借助侧面展开图加强理解.例2 n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.【分析】将n支球队看作是平面内的n各点（任意三点不在同一直线），再将任意两点作为线段的端点连接起来，找出共有多少条线段即可.解：m=n（n-1），即m=n2-n.【点评】这类问题可用数形结合的方法来研究，很直观。板书设计26.1二次函数 （1）【探究 l】【探究2】例1例2探究探究1. 二次函数y=ax2中，当x=1时，y=2，则a= 2 .【解析】将x=1，y=2，代入y=ax2中，解得a=2.2. 已知函数y=(a+2)x2+x+3是二次函数，则常数a的取值范围是 a-2 .【解析】二次函数中二次项系数不能为0. a+20,即 a-23. 下列函数中是二次函数的是 （ C ） A. B.y=x2-(x+1)2 C. D.y=x2+x-1-2【分析】只有C满足二次函数的定义4. 设y=y1-y2，y1与成反比列，y2与x2成正比列，则y与x的函数关系是（ C ） A.正比列函数 B. 反比列函数 C. 二次函数 D. 一次函数【解析】y1与成反比列，可设，即y1=k1x（k10）. y2与x2成正比列，可设y2=k2x2（k20）y=y1-y2=k1x- k2x2， y是x的二次函数.布置作业： 课后反思： 26.1二次函数第2课时教学目标1知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感教学重点难点教学重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质教学难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征课型，课时新课 第二节课教学手段教案，尺子，粉笔，黑板教学方法提问法，练习法，总结法教学过程（一）创设情境 导入新课导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？、导语二 展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流 解读探究1函数y=ax2 的图象画法及相关名称【探究 l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表描点连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图26-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：形状是开口向上的抛物线图象关于y轴对称由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：顶点；对称轴；开口及开口方向.y=x2yOx图26-1-1y=x2yOx图26-1-2y=x2y=2x22函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象.学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图26-1-2.比较图中三个抛物线的异同.相同点：顶点相同，其坐标都为（0，0）.对称轴相同，都为y轴开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实施过程）比较函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.相同点：形状都是抛物线;顶点相同，其坐标都为（0，0）;对称轴相同，都为y轴;开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a0时，开口向上.a0时，开口向下.|a|越大，开口越小.板书设计26.1二次函数 （2）【探究 l】【探究2】例1例2探究探究1. 抛物线y=4x2中的开口方向是 向上 ，顶点坐标是 （0，0），对称轴是 y轴 .抛物线y=-x2的开口方向是 向下 ，顶点坐标是 （0，0），对称轴是 y轴 .2. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= 2 .【分析】a与-2互为相反数3. 在同一坐标系中：y=，y=-x2，y=2x2这三个函数图象开口最大的是:，最小的是y=2x2，开口向下的是y=-x2.解： |-1|2|,抛物线的开口最大，抛物线开口最小.函数y=-x2中，二次项系数为-10）它的图象只是抛物线的一部分，而y=x2的图象是一条抛物线.导语三 比较函数y=x2与y=x2l中的系数有什么异同？猜想它们的图象有何关系？从而引人新课.（二）合作交流 解读探究1二次函数y=ax2+c的图象与性质【做一做】在同一坐标系中，画出函数y=x2-1和函数y=x2+1的图象教师在学生做完以后，可提供如下解答过程 解：先列表x-3-2-10123y=x2+1105212510y=x2+1830-1038然后描点画图，如图26-1-5【想一想】抛物线y=x2+1，y=x2， y=x2-1有哪些相同点和不同点相同点：开口方向相同，它们的开口都向上对称轴相同，它们都关于y轴对称形状大小相同.不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同结合【议一议】三个函数的形状相同，从哪些方向可以看出？用幻灯片展示，将抛物线y=x2向上平移1个单位后抛物线y=x2+1完全重合.观察两个图象中各5个点的特殊位置，在的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况，从而可推断出抛物线y=x2与y=x2+1完全重合从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况，从而可以肯定抛物线y=x2，y=x2+1的形状、大小完全相同.【议一议】抛物线y=ax2与y=ax2c有何联系？【答案】抛物线y=ax2c的形状与y=ax2的形状完全相同，只是位置不同.抛物线y=ax2y=ax2+c. y=ax2y=ax2-c【练一练】教科书P10练习【答案】它们的图象略见下表抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上y轴（0，0）向上y轴（0，2）向上y轴（0，-2）向上y轴（0，k）抛物线向上平移k(k0)个单位后抛物线+k完全重合.（三）应用迁移 巩固提高类型之一 函数y=ax2+c的图象特征与性质的运用例1 抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),则其表达式为 y=-5x2+3 ，它是由抛物线y=-5x2向 上 平移 3 个单位得到的.【分析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a的值，再根据顶点坐标（0，3），可确定c的值，从而可判断平移方向.解：抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，a=-5.又其顶点坐标为（0，3）. c=3.y=-5x2+3.它是由抛物线y=5x2向上平移3个单位得到的.【点评】解这类题，必须根据二次函数y=ax2+c的图象与性质来解.a确定抛物线的形式及开口方向，c确定顶点的位置.抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位.（有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长）类型之二 求二次函数的解析式例2 若抛物线y=ax2+c经过点（-1，2），（0，4），求该抛物线的解析式【分析】抛物线经过点（-1，2），（0，4），那么这两点坐标满足函数关系式，故列方程组可求.解：由已知条件得，解得 所求解析式为y=6x2-4.【点评】二次函数y=ax2+c中有两个待定系数a、c，故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标，列方程组可求出a、c的值例3 已知抛物线y=ax2+c向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x2+2.试求a、c的值【分析】这里a、c值可利用抛物线的特征和平移规律来求出.解：根据题意知，解得，【点评】可根据规律直接求出a、c.板书设计26.1二次函数 （3）【探究 l】【探究2】例1例2探究探究1.抛物线y=-2x2-5的开口方向 向下 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标 （0，-5）. 【分析】根据抛物线y=ax2+c的特征解答即可.2. 抛物线y=ax2+c与y=3x2的形状相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式为 y=3x2+1或y=-3x2+1.解：抛物线y=ax2+c与y=3x2的形状相同，故a=3,又其顶点坐标为（0，1），c=1.所求抛物线y=3x2+1或y=-3x2+1【注意】两抛物线的形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等，故有两种情况3. 抛物线y=-+7向 下 平移 10 个单位后得到抛物线y=-3yxOA4在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）xyODxyOCxyOB解：根据图象知，只有B中两个函数解析式中系数a和c的正、负情况保持一致.故选择B布置作业 课后反思 26.1二次函数第4课时教学目标1知识与技能(1)进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会做函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象(2)能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(3)掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律.2过程与方法经历探索二次函数y=a(x-h)2k的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法3情感、态度与价值观培养学生积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识教学重点难点教学重点作出二次函数y=a(x-h)2+k的图象，探索其性质教学难点抛物线的平移规律的理解以及a、h、k的作用的理解课型，课时新课 第四节课教学手段教案本，尺子，粉笔，黑板教学方法提问法，练习法，总结法教学过程（一）创设情境 导入新课导语一 回忆二次函数y=ax2y=a(x-h)2k.若将y=ax2向左（或向右）平移h个单位，会得到什么抛物线呢？导语二 小明作出了函数y=3x2与函数y=3x2+6x+5的图象，发现它们又极为相似的地方，却不明白是什么原因，你能帮助说明其中的道理吗？导语三 回忆(1)抛物线y=2x2，y=2x2+3，y=2x2-3的对称轴，顶点坐标，开口方向各是什么？它们之间有何关系？(2)抛物线y=ax2中，a起什么作用？对抛物线有何影响？a值相同，能说明什么？从而引人新课.（二）合作交流 解读探究1函数y=a(x-h)2的图象与性质【探究】，在同一坐标系中，画出函数y=-(x+1)2和函数y=-(x-1)2的图象教师可指导以下两方面.(1)列表取值可按课本中提供的数据完成.(2)画出的图象要具有对称性，两个图象中的点选取略有不同.学生做完以后，可借用投影、多媒体展示自己的作品 【想一想】两个函数图象与y=-x2有何关系？它们的对称轴，顶点坐标分别是什么？解：如图26-1-7，函数y=-(x+1)2图象和y=-(x-1)2的图象形状大小，开口方向完全一样，只是位置不同相同.抛物线y=-(x+1)2的对称轴是直线x=-1，顶点为(-1,0), 抛物线y=-(x-1)2的对称轴是直线x=1，顶点为(1,0).观察图象易知（或用多媒体展示抛物线的移动）抛物线y=-x2向左平移1个单位，能与抛物线y=-(x+1)2重合；抛物线y=-x2向右平移1个单位，能与抛物线y=-(x-1)2重合.【注意】观察图象移动过程，要特别注意特殊点（如顶点）移动的情况.【归纳】（1）二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象形状大小，开口方向都完全相同，但顶点和对称轴不同.（2）抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为（h，0），对称轴是x=h.（3）抛物线y=ax2向左平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质【做一做】画出函数y=-(x+1)2-1图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-x2经过怎样的变换可以得到抛物线y=-(x+1)2-1？教师引导学生在前一题的基础上，补上函数y=-(x+1)2-1的图象（或制成幻灯片，让学生观察、比较）如图26-1-8所示解：图象如图26-1-8抛物线y=-(x+1)2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是(-1,-1).把抛物线y=-x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，就得到抛物线y=-(x+1)2-1【注意】可以改变两次平移顺序，即先向左向下平移1个单位，再向下平移1个单位，就得到抛物线y=-(x+1)2-1【归纳】（1）抛物线y=a(x-h)2+k有如下特征：y=a(x-h)2+k开口方向对称轴顶点坐标a0向上h（h，k）a0向上y轴（0，2）3.平移规律平移h个单位向左或右平移h个单位向左或右【注意】口诀：上加下减，左加右减根据顶点坐标来确定移动的方向与数据.（三）应用迁移 巩固提高类型之一 函数y=a(x-h)2+k的图象特征的运用例1 填写下表：解析式开口方向对称轴顶点坐标y=-5x2向下y轴（0，0）y=-x2+5向上y轴（0，5）y=-3(x+4)2向下x=-4（-4，0）y=4(x+2)2-7向上x=-2（-2，-7）【分析】可将各解析式统一为y=a(x-h)2+k的式，再根据图象特征填写解： y=-5x2y=-5(x-0)2+0y=-x2+5y=-(x-0)2+5y=-3(x+4)2y=-3(x+4)2+0.y=4(x+2)2-7y=4(x+2)2-7它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别见上表.【点评】解这类型题要将不同形式的解析式统一为y=a(x-h)2+ k的形式，便于解答.类型之二 平移规律的应用例2 将抛物线y=-3x2向右平移2个单位，在向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（ ）A. y=-3(x-2)2-5 B. y=-3(x+2)2-5 C. y=-3(x+2)2+5 D. y=-3(x-2)2+5【解析】根据平移规律知D正确【点评】抛物线的移动，主要看顶点位置的移动类型之三 二次函数y=a (x-h)2+k的综合应用例3 若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m )2+1的顶点必在第( )象限.A.一 B.二 C.三 D.四【解析】由直线y=3xm经过一、三、四象限知，m0又顶点坐标为（m，1).抛物线的顶点必在第二象限【点评】此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别板书设计26.1二次函数 （4）【探究 l】【探究2】例1例2例3探究探究1. 二次函数y=(x-3)2+4的图象可以看作是二次函数y=x2图象向 右平移3个单位，再向上平移 4 个单位得到的. 2. 如果二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴为x= -l,则h= -1 ；如果它的顶点坐标为（-1，-3)，则k的值为 -3 .3. 确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（学生口答） (1)y=-2(x+3)2+4 (2)y=-(x-3)2-1 (3) y=-( x+1)2 (4) y=x2-7解：( l )开口向下，对称轴为x-3，顶点坐标为（-3, 4 )( 2 )开口向下，对称轴为x =3，顶点坐标为（3，-1) . ( 3 )开口向下对称轴为x-1，顶点坐标为（-l, 0 ) ( 4 )开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-7 )布置作业 课后反思 26.1二次函数第5课时教学目标1知识与技能(1)会画二次函数y=ax2+bx +c的图象，能将一般式化为顶点式掌握顶点坐标公式，对称轴的求法(2)会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题2过程与方法经历二次函数y=ax2+bx +c的图象的作法，体会二次函数解析式间的转化，体会求二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性3情感、态度与价值观培养学生积极参与的态度，体会二次函数解实际问题的意义，增强数学应用的能力教学重点难点教学重点二次函数y=ax2+bx+c的图象画法；以及顶点坐标公式的理解和应用.教学难点正确、灵活地运用顶点坐标公式，并能利用它解决实际问题课型，课时新课 第五节课教学手段 教案本，尺子，粉笔，黑板教学方法提问法，练习法，总结法教学过程（一）创设情境 导入新课导语一 (1)回忆二次函数y=a(x-h)2+k的图象的特征与性质.(2)指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.y=-2(x+3)2-4 y=(x-1)2+5 (3)你能求出函数y=x2-6x+21的顶点坐标吗？从而引入新课导语二 多媒体演示：桥梁的两根钢缆的实物情境，如图26-1-9所示若告诉大家，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，其表达式为y=0.03x2-0.9x+10.你能求出钢缆的最低点到桥面的距离吗？（只谈思路，不计算）从而引入新课.导语三 (1)请一个同学画出函数y=(x-1)2+3的图象的草图.思考：你能画出函数y=x2-2x+4的图象吗？这两个函数有什么关系呢？（二）合作交流 解读探究1函数y=ax2+bx+c的图象的画法【做一做】，画二次函数y=x2-6x+21的图象【思路点拨】先将一般式化成顶点式，再用描点发画出这个函数的图象.解：y=x2-6x+21= y=(x2-12x)+21= y=(x2-12x+36-36)+21 =(x-6)2+3由此可知此抛物线的顶点为(6,3),对称轴为x=6.列表、描点、连线等工作由学生自主完成.【议一议】(1)列表取值时应注意什么问题？(2)画函数y=ax2+bx+c的图象为何先要将其化为顶点式？解：（1）列表取值时x应以顶点的横坐标为中心，两边对称取值.否则画出的抛物线不很对称，不能反映这个抛物线的特征.(2 )因为化为y=(x-h)2+k的形式后，易找出此抛物线的顶点和对称抽便于后来列表取值.2用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标与对称轴.（教师引导）解：y=ax2+bx+c=a(x2+) =a(x2+ =. 抛物线y=ax2+bx+c的对称抽是x=-，顶点坐标是（三）应用迁移 巩固提高类型之一 用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标例1 用配方法，把下列函数写成y=(x-h)2+k的形式，并写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标(1)y=-x2+6x+1 (2)y=-2x2+8x-8【分析】配方法已学过，需按配方的步骤一步一步进行且在配方时，所加的常数项为一次项系数的一半的平方，当然也要扣除这一项，使前后变形保持值不