2016_2017学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课时作业新人教版选修.docx

2.1.1合情推理明目标、知重点1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用 1归纳推理和类比推理定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理(2)合情推理的过程情境导学佛教百喻经中有这样一则故事从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买”仆人拿好钱就去了到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理探究点一归纳推理思考1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理思考2观察下面两个推理，回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：633835105512571477165111 000299711 002139863猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电问题：以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？其结论一定正确吗？答共同特点：部分推出整体，个别推出一般(这种推理称为归纳推理)其结论不一定正确反思与感悟归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)例1已知数列an的第1项a11，且an1(n1,2,3，)，试归纳出这个数列的通项公式解当n1时，a11；当n2时，a2；当n3时，a3；当n4时，a4.通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an.反思与感悟归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式跟踪训练1已知数列an满足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.解(1)当n1时，知a11，由an12an1得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜想出an2n1(nN*)例2在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)_；f(n)_(答案用含n的代数式表示)答案10解析观察图形可知：f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3)10；f(n)f(n1).将以上(n1)个式子相加可得f(n)f(1)3610(1222n2)(123n)n(n1)(2n1).反思与感悟解本例的关键在于寻找递推关系式：f(n)f(n1)，然后用“叠加法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前n项和的变化规律跟踪训练2在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此猜想凸n(n4且nN*)边形有几条对角线？解凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，于是猜想凸n边形比凸(n1)边形多(n2)条对角线因此凸n边形的对角线条数为2345(n2)n(n3)(n4且nN*)探究点二类比推理阅读下面的推理，回答后面提出的问题：1科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等科学家猜想：火星上也可能有生命存在2根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质：猜想不等式的性质：(1)abacbc; (1)abacbc；(2)abacbc; (2)abacbc；(3)aba2b2等等. (3)aba2b2等等思考1这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？答类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理思考2猜想正确吗？答不一定正确思考3类比圆的特征，填写下表中球的有关特征圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长球的表面积圆的面积球的体积圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(xx0)2(yy0)2r2以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(xx0)2(yy0)2(zz0)2r2小结在进行类比推理时要注意对应关系：平面图形中的“线”对应空间图形的“面”；平面图形中的“面”对应空间图形的“体”；平面图形中的“边长”对应空间图形的“面积”；平面图形中的“面积”对应空间图形的“体积”；例3在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2AC2BC2”拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_答案设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则SSSS解析类比条件：两边AB、AC互相垂直侧面ABC、ACD、ADB互相垂直结论：AB2AC2BC2SSSS.反思与感悟类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)跟踪训练3(1)如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解如图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：SS1cos S2cos S3cos .(2)已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由解类比ABAC，ADBC，可以猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD.则.猜想正确如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正确1下列说法正确的是()A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜想D合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论2下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，3657余1.第36颗珠子的颜色为白色3将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_答案解析前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为.4古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000.呈重点、现规律1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程概括为一、基础过关1数列5,9,17,33，x，中的x等于()A47 B65 C63 D128答案B解析5221,9231,17241,33251，归纳可得：x26165.2根据给出的数塔猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113答案B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.3观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)等于()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)4对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A一条中线上的点，但不是中心B一条垂线上的点，但不是垂心C一条角平分线上的点，但不是内心D中心答案D解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心5设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体SABC的体积为V，则r()A. B.C. D.答案C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为V四面体ABCD(S1S2S3S4)R，R.6观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第n个等式为_答案n(n1)(3n2)(2n1)27在ABC中，若C90，则cos2Acos2B1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想解由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥PABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21”证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记POh，由PCPA，PCPB，得PC面PAB，从而PCPM，又PMC，cos sinPCO，cos ，cos .VPABCPAPBPC(PAPBcos PBPCcos PCPA cos )h，()h1，即cos2cos2cos21.二、能力提升8把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是()A如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行答案B解析推广到空间以后，对于A、C、D均有可能异面，故选B.9在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立类比上述性质，相应地在等比数列bn中，若b91，则成立的等式是()Ab1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)Bb1b2bnb1b2b18n(n18，nN*)Cb1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)Db1b2bnb1b2b18n(n18，nN*)答案A解析在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n.若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n.相应地，等比数列bn中有：b1b2bnb1b2b17n(