2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质2 第1课时课件 新人教A版必修4.ppt

第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一),一,二,三,思维辨析,一、周期函数问题思考1.由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2个单位重复出现,这一规律的理论依据是什么?设f(x)=sinx,则sin(x+2k)=sinx(kZ)可以怎样表示?提示sin(x+2k)=sinx(kZ);f(x+2k)=f(x).2.填空:周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.3.周期函数的周期是否唯一?正弦函数的周期有哪些?是否存在最小的一个?是否存在一个最小的正的周期?提示周期函数的周期不唯一;正弦函数的周期为2k(kZ,k0);不存在最小的一个;存在一个最小的正的周期2.,一,二,三,思维辨析,4.填空:最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.在没有特殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期.5.做一做:(1)若函数f(x)满足f(x+3)-f(x)=0,则函数f(x)是周期为_的周期函数.(2)若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)=_.解析(1)由已知得f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为3的周期函数.(2)由已知得f(x+8)=f(x+4)=f(x).答案(1)3(2)f(x),一,二,三,思维辨析,二、正弦函数与余弦函数的周期性问题思考1.就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?提示正弦函数是周期函数,最小正周期是2;余弦函数也是周期函数,最小正周期也是2.2.填空:(1)正弦函数y=sinx是周期函数,2k(kZ,且k0)都是它的周期,最小正周期是2.(2)余弦函数y=cosx是周期函数,2k(kZ,且k0)都是它的周期,最小正周期是2.,一,二,三,思维辨析,答案(1)2(2)4,一,二,三,思维辨析,6.函数y=sinx(x0),y=sinx(x0)是周期函数,y=sinx(x0)是周期函数,y=sinx(0x10)不是周期函数.7.填空:一个函数是否是周期函数,与其定义域有关,一般地,周期函数的定义域是无穷区间.,一,二,三,思维辨析,三、正弦函数与余弦函数的奇偶性及对称性问题思考1.根据诱导公式有sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,这反映了正弦函数和余弦函数的什么性质?提示奇偶性.2.填空:(1)正弦函数y=sinx是奇函数,其图象关于原点对称;(2)余弦函数y=cosx是偶函数,其图象关于y轴对称.,一,二,三,思维辨析,答案(1)A(2)B,一,二,三,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.,答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7),探究一,探究二,探究三,思维辨析,求三角函数的周期【例1】求下列三角函数的周期:(1)y=3sinx,xR;(2)y=cos2x,xR;(3)y=,xR;(4)y=|cosx|,xR.分析对于(1)(2)(3),可采用公式法求周期;对于(4),可借助函数图象观察求得周期.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)3sin(x+2)=3sinx,由周期函数的定义知,y=3sinx的周期为2.(2)cos2(x+)=cos(2x+2)=cos2x,由周期函数的定义知,y=cos2x的周期为.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式,再利用T=求得;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1求下列函数的最小正周期:,(2)y=cos|x|.,(2)因为函数y=cosx为偶函数,所以y=cos|x|=cosx,从而函数y=cos|x|与y=cosx的图象一样,因此最小正周期相同,为2.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,三角函数奇偶性及其应用【例2】判断下列函数的奇偶性:,分析求定义域定义域是否关于原点对称看f(-x)与f(x)的关系确定奇偶性,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)函数f(x)=|sinx|+cosx的定义域为R.f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),函数f(x)是偶函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1.判断函数奇偶性的常用方法:(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.,2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数是非奇非偶函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xcos(+x);(2)f(x)=sin(cosx).解(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)=xcos(+x)=-xcosx,f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x).f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,f(-x)=sincos(-x)=sin(cosx)=f(x).f(x)为偶函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,函数奇偶性、周期性的综合问题,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)因为f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3),所以f(x+6)=f(x),故函数是周期为6的周期函数.又因为函数是奇函数,所以f(2019)=f(6337-3)=f(-3)=-f(3)=-3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(nZ)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.2.推得函数周期的若干形式:(1)若f(x+t)=f(x),则函数周期为t;(2)若f(x+t)=-f(x),则函数周期为2t;,探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案0,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对周期函数的概念理解不清致误【典例】下列说法中,正确的有.(填序号),错解本题错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示根据周期函数的定义、三角函数的图象以及三角函数周期公式对各个命题加以判断.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,研究三角函数的周期时,注意从函数的定义域、解析式以及图象等多方面进行分析,如果通过公式不易求出函数周期,可以通过观察函数图象来确定函数的周期,特别是含有绝对值符号的函数.,1,2,3,4,5,1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析因为xR,且f(-x)=sinx=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.答案A,1,2,3,4,5,答案C,1,2,3,4,5,A.最小正周期为2的奇函数B.最小正周期为2的偶函数C.最