北京市东城区2017届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版).doc

2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合A=x|（x1）（x3）0，B=x|2x4，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x4Cx|2x3Dx|2x42抛物线y2=2x的准线方程是（）Ay=1BCx=1D3“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A6B8C10D125已知x，yR，且xy0，则（）Atanxtany0Bxsinxysiny0Clnx+lny0D2x2y06已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，则f（x+1）0的解集为（）A（，1B（，1C1，+）D1，+）7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）ABC2D8数列an表示第n天午时某种细菌的数量细菌在理想条件下第n天的日增长率rn=0.6（rn=，nN*）当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率rn会发生变化如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律那么，对这种细菌在实际条件下日增长率rn的规律描述正确的是（）ABCD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9若复数（2i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=10若x，y满足，则x+2y的最大值为11若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=12在ABC中，若AB=2，AC=3，A=60，则BC=； 若ADBC，则AD=13在ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则=14关于x的方程g（x）=t（tR）的实根个数记为f（t）若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（aR），存在t使得f（t+2）f（t）成立，则a的取值范围是三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15已知an是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列an+bn是首项为4，公差为1的等差数列（）求数列an和bn的通项公式；（）求数列bn的前n项和16已知函数部分图象如图所示（）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（）求f（x）在区间0，上的最大值和最小值17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD，BC=1，AB=2，E为PA中点（）求证：PC平面BED；（）求二面角APCD的余弦值；（）在棱PC上是否存在点M，使得BMAC？若存在，求的值；若不存在，说明理由18设函数（）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（）若f（x）0对x（0，+）恒成立，求a的最大值19已知椭圆C： =1（ab0）经过点M（2，0），离心率为A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值20已知集合An=（x1，x2，xn）|xi1，1（i=1，2，n）x，yAn，x=（x1，x2，xn），y=（y1，y2，yn），其中xi，yi1，1（i=1，2，n）定义xy=x1y1+x2y2+xnyn若xy=0，则称x与y正交（）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（）令B=xy|x，yAn若mB，证明：m+n为偶数；（）若AAn，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合A=x|（x1）（x3）0，B=x|2x4，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x4Cx|2x3Dx|2x4【考点】交集及其运算【分析】化简集合A，由集合交集的定义，即可得到所求【解答】解：集合A=x|（x1）（x3）0=x|1x3，B=x|2x4，则AB=x|2x3故选：C2抛物线y2=2x的准线方程是（）Ay=1BCx=1D【考点】抛物线的简单性质【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=故选：D3“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据直线和圆相切得到关于k的方程，解出即可【解答】解：若直线与圆x2+y2=9相切，则由得：（1+k2）x26kx+9=0，故=72k236（1+k2）=0，解得：k=1，故“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的充分不必要条件，故选：A4执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A6B8C10D12【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，S的值，可得当S=时不满足条件S，退出循环，输出k的值为8，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=0满足条件S，执行循环体，k=2，S=满足条件S，执行循环体，k=4，S=+满足条件S，执行循环体，k=6，S=+满足条件S，执行循环体，k=8，S=+=不满足条件S，退出循环，输出k的值为8故选：B5已知x，yR，且xy0，则（）Atanxtany0Bxsinxysiny0Clnx+lny0D2x2y0【考点】函数单调性的性质【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可【解答】解：x，yR，且xy0，对于A：当x=，y=时，tan=，tan=，显然不成立；对于B：当x=，y=时，sin=，sin=1，显然不成立；对于C：lnx+lny0，即ln（xy）ln1，可得xy0，xy0，那么xy不一定大于0，显然不成立；对于D：2x2y0，即2x2y，根据指数函数的性质可知：xy，恒成立故选D6已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，则f（x+1）0的解集为（）A（，1B（，1C1，+）D1，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，函数在（，+）上是增函数，f（0）=0，不等式f（x+1）0等价为f（x+1）f（0），则x+10，得x1，即不等式的解集为1，+），故选：C7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）ABC2D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中左上角的三角形为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面面积S=22=2，高h=2，故棱锥的体积V=，故选：B8数列an表示第n天午时某种细菌的数量细菌在理想条件下第n天的日增长率rn=0.6（rn=，nN*）当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率rn会发生变化如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律那么，对这种细菌在实际条件下日增长率rn的规律描述正确的是（）ABCD【考点】散点图【分析】由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9若复数（2i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=1【考点】复数的基本概念【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数（2i）（a+2i）=（2a+2）+（4a）i是纯虚数，2a+2=0，4a0，解得a=1故答案为：110若x，y满足，则x+2y的最大值为6【考点】简单线性规划【分析】设z=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，2）此时z=2+22=6故答案为：611若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+ay=0，点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得： =1，解得a=故答案为：12在ABC中，若AB=2，AC=3，A=60，则BC=； 若ADBC，则AD=【考点】三角形中的几何计算【分析】利用余弦定理求BC，利用面积公式求出AD【解答】解：AB=2，AC=3，A=60，由余弦定理可得BC=，=，AD=，故答案为，13在ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则=【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】用特殊值法，不妨设ABC是等腰直角三角形，腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，利用坐标法和向量共线，求出点D的坐标，即可得出的值【解答】解：根据题意，不妨设ABC是等腰直角三角形，且腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（1，0），C（0，1），=（1，0），=（0，1）；=+=（，），=（，）；设点D（0，y），则=（1，y），由、共线，得y=，=（0，），=（0，1），当时，=故答案为：14关于x的方程g（x）=t（tR）的实根个数记为f（t）若g（x）=lnx，则f（t）=1；若g（x）=（aR），存在t使得f（t+2）f（t）成立，则a的取值范围是a1【考点】分段函数的应用【分析】若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，若g（x）=（aR），存在t使得f（t+2）f（t）成立，则x0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，解得答案【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，g（x）=，当t0时，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）f（t）成立，则x0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，即，解得：a1，故答案为：1，a1三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15已知an是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列an+bn是首项为4，公差为1的等差数列（）求数列an和bn的通项公式；（）求数列bn的前n项和【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【分析】（）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和【解答】解：（）设等比数列an的公比为qa1=3，a4=24得q3=8，q=2所以an=32n1 又数列an+bn是首项为4，公差为1的等差数列，所以an+bn=4+（n1）=n+3从而bn=n+332n1 （）由（）知bn=n+332n1数列n+3的前n项和为数列32n1的前n项和为=32n3所以，数列bn的前n项和为为32n+316已知函数部分图象如图所示（）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（）求f（x）在区间0，上的最大值和最小值【考点】三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（）根据函数的部分图象得出最小正周期T以及x0的值；（）写出f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）在区间0，上的最值【解答】解：（）函数，函数的最小正周期为T=； 因为点（0，1）在f（x）=2sin（2x+）的图象上，所以2sin（20+）=1；又因为|，所以=，令2x+=，解得x=，所以x0=+=； （）由（）知f（x）=2sin（2x+），因为0x，所以2x+；当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值2；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值117如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD，BC=1，AB=2，E为PA中点（）求证：PC平面BED；（）求二面角APCD的余弦值；（）在棱PC上是否存在点M，使得BMAC？若存在，求的值；若不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EFPC由此能证明PC平面BED（）取CD中点O，连结PO推导出POCD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角APCB的余弦值（）设M是棱PC上一点，则存在0，1使得利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得BMAC此时， =【解答】（共14分）证明：（）设AC与BD的交点为F，连结EF因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点在PAC中，由已知E为PA中点，所以EFPC又EF平面BFD，PC平面BFD，所以PC平面BED （）取CD中点O，连结PO因为PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以POCD又因为平面PCD平面ABCD，PO平面PCD，所以PO平面ABCD取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OFCD所以POOG如图建立空间直角坐标系Oxyz，则A（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）=（1，2，0），=（0，1，1）设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）平面PCD的法向量为=（1，0，0）设的夹角为，所以cos=由图可知二面角APCD为锐角，所以二面角APCB的余弦值为（）设M是棱PC上一点，则存在0，1使得因此点M（0，1），=（1，1，1），=（1，2，0）由，得1+2（1）=0，解得因为0，1，所以在棱PC上存在点M，使得BMAC此时， = 18设函数（）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（）若f（x）0对x（0，+）恒成立，求a的最大值【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出函数f（x）的导数，计算f（0）=0，求出a的值检验即可；（）通过讨论a的范围判断函数的单调性结合f（x）0对x（0，+）恒成立，求出a的具体范围即可【解答】解：（）f（x）的定义域为（1，+），因为，所以f（x）=，因为f（0）为f（x）的极小值，所以f（0）=0，即=0，所以a=1，此时，f（x）=，当x（1，0）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增所以f（x）在x=0处取得极小值，所以a=1 （）由（）知当a=1时，f（x）在0，+）上为单调递增函数，所以f（x）f（0）=0，所以f（x）0对x（0，+）恒成立因此，当a1时，f（x）=ln（x+1）ln（x+1）0，f（x）0对x（0，+）恒成立当a1时，f（x）=，所以，当x（0，a1）时，f（x）0，因为f（x）在0，a1）上单调递减，所以f（a1）f（0）=0，所以当a1时，f（x）0并非对x（0，+）恒成立综上，a的最大值为1 19已知椭圆C： =1（ab0）经过点M（2，0），离心率为A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（）由题意得，求出b，由此能求出椭圆C的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），求出p点的坐标，由B，Q，P三点共线，得，联立方程组求解得x3，y3，再结合已知条件能求出值，则的值可求【解答】解：（）由题意得，解得椭圆C的方程为；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），点P在直线AO上且满足|PO|=3|OA|，P（3x1，3y1）B，Q，P三点共线，（3x1x2，3y1y2）=（x3x2，y3y2），即，解得，点Q在椭圆C上，即，A，B在椭圆C上，直线OA，OB的斜率之积为，即，解得=5=|=520已知集合An=（x1，x2，xn）|xi1，1（i=1，2，n）x，yAn，x=（x1，x2，xn），y=（y1，y2，yn），其中xi，yi1，1（i=1，2，n）定义xy=x1y1+x2y2+xnyn若xy=0，则称x与y正交（）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（）令B=xy|x，yAn若mB，证明