（全国通用版）2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修2-2.ppt

2.3数学归纳法,第二章推理与证明,学习目标,1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点数学归纳法,对于一个与正整数有关的等式n(n1)(n2)(n50)0.思考1验证当n1，n2，n50时等式成立吗？答案成立.思考2能否通过以上等式归纳出当n51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立.,梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.,正整数,nk1,(2)数学归纳法的框图表示,n=n0,n=k,n=k+1,从n0开始所有的正整数n,1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()2.数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()3.数学归纳法的两个步骤缺一不可.(),思考辨析判断正误,题型探究,类型一用数学归纳法证明等式,证明,例1用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2，其中nN*.,证明(1)当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立.(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么当nk1时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1时等式也成立.根据(1)和(2)可知等式对任何nN*都成立.,反思与感悟用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形.,证明,(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，,即当nk1时，等式也成立.综合(1)，(2)可知，对一切nN*，等式成立.,则当nk1时，,类型二用数学归纳法证明不等式,证明,故左边右边，不等式成立.(2)假设当nk(k2，kN*)时，命题成立，,则当nk1时，,方法一(分析法),只需证(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0，只需证(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0，只需证9k50，显然成立.所以当nk1时，不等式也成立.,方法二(放缩法),所以当nk1时，不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立.,证明,(2)假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，,当nk1时，不等式成立.由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立.,反思与感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.,(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.,证明,证明当n1时，a1a2，命题成立；,当nk1时，命题也成立.由得，对任意正整数n，都有an2.,类型三归纳猜想证明,解答,(1)用a表示a2，a3，a4；,解答,(2)猜想an的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明.,下面用数学归纳法证明.当n1时，,假设当nk(k1，kN*)时猜想成立，,所以当nk1时，,所以当nk1时猜想也成立.根据与可知猜想对一切nN*都成立.,反思与感悟“归纳猜想证明”的一般步骤,跟踪训练3考察下列各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？,解答,解由题意得，221,34413,4568135,5678161357，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n135(2n1)，下面利用数学归纳法进行证明.(1)当n1时，猜想显然成立；(2)假设当nk(k1，kN*)时，猜想成立，即(k1)(k2)(k3)2k2k135(2k1)，,那么当nk1时，(k11)(k12)(k13)2(k1)(k1)(k2)2k(2k1)22k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)2k11352(k1)1所以当nk1时猜想成立.根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.,达标检测,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2.用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)”.在验证n1时，左端计算所得项为A.1aB.1aa2C.1aa2a3D.1aa2a3a4解析将n1代入a2n1得a3，故选C.,解析,答案,3.若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时成立，则有nk1时命题成立.现知命题对nn0(n0N*)时成立，则有A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确解析由已知，得nn0(n0N*)时命题成立，则nn01时命题成立，在nn01时命题成立的前提下，又可推得，n(n01)1时命题也成立，依此类推，可知选C.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：(1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立.(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11.所以当nk1时，等式也成立.由此可知对于任何nN*，等式都成立.上述证明，错误是_.解析本题在由nk成立证明nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.,1,2,3,4,5,答案,解析,未用归纳假设,证明,1,2,3,4,5,左边右边，等式成立.假设当nk(k1，kN*)时，等式成立.,当nk1时，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,左边右边，等式成立.即对所有nN*，原式都成立.,在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(