二次函数最新考题2016年二.doc

二次函数综合大题（二）一解答题（共30小题）1（2015黑龙江）如图，抛物线y=x2bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2（2015达州）阅读与应用：阅读1：a、b为实数，且a0，b0，因为（）20，所以a2+b0从而a+b2（当a=b时取等号）阅读2：若函数y=x+；（m0，x0，m为常数），由阅读1结论可知：x+2，所以当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x=时，周长的最小值为；问题2：已知函数y1=x+1（x1）与函数y2=x2+2x+10（x1），当x=时，的最小值为；问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用学生人数）3（2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由4（2015威海）已知：抛物线l1：y=x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，）（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MNy轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值5（2015日照）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）（）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（）在（）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？6（2015达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7（2015莆田）抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由8（2015长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x1）2+4与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q，以PQ为边作RtPQF，使PQF=90，点F在点Q的下方，且QF=1设线段PQ的长度为d，点P的横坐标为m（1）求这条抛物线所对应的函数表达式（2）求d与m之间的函数关系式（3）当RtPQF的边PF被y轴平分时，求d的值（4）以OB为边作等腰直角三角形OBD，当0m3时，直接写出点F落在OBD的边上时m的值9（2015菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数（1）求k的值；（2）当次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MNx轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值10（2015昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=（1）求抛物线的解析式；（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MGx轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角（090），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由11（2015龙岩）如图，已知点D在双曲线y=（x0）的图象上，以D为圆心的D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明ACO=OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由12（2015济南）抛物线y=ax2+bx+4（a0）过点A（1，1），B（5，1），与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值13（2015包头）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设AOC，BOC，BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MNBC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使AMN=ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由14（2015葫芦岛）如图，直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由15（2015湘西州）如图，已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PEy轴，交AB于点E，过点Q作QFy轴，交抛物线于点F，连接EF，当EFPQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由16（2015抚顺）已知，ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A点坐标为（6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8（1）求抛物线的解析式；（2）如图，将BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由17（2015鞍山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动（1）求抛物线解析式和顶点D的坐标；（2）过点E作EFy轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HPx轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，且速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值18（2015黄冈中学自主招生）如图，二次函数y=ax2+bx（a0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）求实数k的值；求二次函数y=ax2+bx（a0）的解析式；设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EFOB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；在的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由19（2015东城区一模）定义符号mina，b的含义为：当ab时，mina，b=b；当ab时，mina，b=a如：min1，2=2，min1，2=1（1）求minx21，2；（2）已知minx22x+k，3=3，求实数k的取值范围；（3）已知当2x3时，minx22x15，m（x+1）=x22x15直接写出实数m的取值范围20（2015昌平区二模）已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A（4，0）和点B（6，3）（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线y=2x沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D，求直线CD的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离21（2015高邮市模拟）如图，已知关于x的二次函数y=x2+mx的图象经过原点O，并且与x轴交于点A，对称轴为直线x=1（1）常数m=，点A的坐标为；（2）若关于x的一元二次方程x2+mx=n（n为常数）有两个不相等的实数根，求n的取值范围；（3）若关于x的一元二次方程x2+mxk=0（k为常数）在2x3的范围内有解，求k的取值范围22（2015路南区一模）某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量为y1（吨）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图1所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y2（吨）与时间t，t为整数，单位：天）的关系如图2所示（1）求y1与时间t的函数关系式及自变量t的取值范围，并写出y2与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）设国内、国外市场的日销售总量为y吨，直接写出y与时间t的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨？（3）判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值23（2015通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EFx轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQx轴，垂足为点Q，PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使CQM与CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由注：3+2=（+1）224（2015江阴市模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿BCO的线路运动，运动速度为每秒1个单位，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）（1）经过A、B、C三点的抛物线的解析式的对称轴为（2）设经过A、B、C三点的抛物线的对称轴与直线OB的交点为M，线段PQ是否能经过点M？若能请求出t的值（或t的取值范围），若不能，请说明理由（3）当Q在BC上运动时，以线段PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能请求出t的值，若不能，请说明理由25（2015深圳一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值26（2015成都校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，以A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D（1）若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另一个交点E的坐标；（2）若动直线MN（MNx轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时，的值最大，并求出最大值；（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三角形与OCD相似，求实数t的值27（2015北京校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形例如，图1中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3都是点A，B，C的外延矩形，矩形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延矩形（1）如图1，已知A（2，0），B（4，3），C（0，t）若t=2，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为；若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则t的值为；（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）P（x，y）是抛物线y=x2+4x+5上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围；（3）如图3，已知点D（1，1）E（m，n）是函数y=（x0）的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出H的半径r的取值范围28（2015连云港二模）如图1，二次函数y=ax22ax3a（a0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C求抛物线的函数关系式；如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将OBE绕平面内某一点旋转180，得到PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MFx轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标29（2015北塘区一模）如图，已知直线y=x+2与坐标轴交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（1）求b、c的值（2）平行于y轴的直线x=2交直线AB于点D，交抛物线于点E点P从原点O出发，沿x轴正方向以1个单位/秒的速度运动，设运动时间为t，过点P作x轴的垂线与直线AB交于点F，与抛物线交于点G，当t为何值时，FG：DE=1：2？将抛物线向上平移m（m0）个单位后与y轴相交于点B，与直线x=2相交于点E，当EO平分BED时，求m的值30（2015徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交C（5，6）（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且AEC和AED相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标2016年04月06日谭春芬的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2015黑龙江）如图，抛物线y=x2bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题菁优网版权所有【分析】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可【解答】解：（1）由题意得，解得b=4，c=3，抛物线的解析式为y=x24x+3；（2）点A与点C关于x=2对称，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x24x+3与y轴的交点为（0，3），设直线BC的解析式为：y=kx+b，解得，k=1，b=3，直线BC的解析式为：y=x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）点P的坐标为：（2，1）【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键2（2015达州）阅读与应用：阅读1：a、b为实数，且a0，b0，因为（）20，所以a2+b0从而a+b2（当a=b时取等号）阅读2：若函数y=x+；（m0，x0，m为常数），由阅读1结论可知：x+2，所以当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x=2时，周长的最小值为8；问题2：已知函数y1=x+1（x1）与函数y2=x2+2x+10（x1），当x=2时，的最小值为6；问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用学生人数）【考点】二次函数的应用菁优网版权所有【分析】问题1：根据阅读2得到x+的范围，进一步得到周长的最小值；问题2：将变形为（x+1）+，根据阅读2得到（x+1）+，的范围，进一步即可求解；问题3：可设学校学生人数为x人，根据生均投入=支出总费用学生人数，列出代数式，再根据阅读2得到范围，从而求解【解答】解：问题1：x=（x0），解得x=2，x=2时，x+有最小值为2=4故当x=2时，周长的最小值为24=8问题2：函数y1=x+1（x1），函数y2=x2+2x+10（x1），=（x+1）+，x+1=，解得x=2，x=2时，（x+1）+有最小值为2=6问题3：设学校学生人数为x人，则生均投入=10+0.01x+=10+0.01（x+），x=（x0），解得x=700，x=700时，x+有最小值为2=1400，故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.011400=24元答：当学校学生人数为700时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元故答案为：2，8；2，6【点评】考查了二次函数的应用，本题关键是理解阅读1和阅读2的知识点：当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为23（2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4），连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小，可求出直线BA的解析式，即可得出点P的坐标（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：a=，y=（x1）（x5）=x2x+4=（x3）2，抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）理由如下：点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4）如图1，连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小设直线BA的解析式为y=kx+b，把A（6，4），B（1，0）代入得，解得，y=x，点P的横坐标为3，y=3=，P（3，）（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），如图2，过点N作NGy轴交AC于G；作ADNG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=x+4，把x=t代入得：y=t+4，则G（t，t+4），此时：NG=t+4（t2t+4）=t2+4t，AD+CF=CO=5，SACN=SANG+SCGN=ADNG+NGCF=NGOC=（t2+4t）5=2t2+10t=2（t）2+，当t=时，CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2t+4=3，N（，3）【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用4（2015威海）已知：抛物线l1：y=x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，）（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MNy轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式；（2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC2和PA2，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标；（3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值【解答】解：（1）抛物线l1：y=x2+bx+3的对称轴为x=1，=1，解得b=2，抛物线l1的解析式为y=x2+2x+3，令y=0，可得x2+2x+3=0，解得x=1或x=3，A点坐标为（1，0），抛物线l2经过点A、E两点，可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x5），又抛物线l2交y轴于点D（0，），=5a，解得a=，y=（x+1）（x5）=x22x，抛物线l2的函数表达式为y=x22x；（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），PC2=12+（y3）2=y26y+10，PA2=1（1）2+y2=y2+4，PC=PA，y26y+10=y2+4，解得y=1，P点坐标为（1，1）；（3）由题意可设M（x，x22x），MNy轴，N（x，x2+2x+3），x22x令x2+2x+3=x22x，可解得x=1或x=，当1x时，MN=（x2+2x+3）（x22x）=x2+4x+=（x）2+，显然1，当x=时，MN有最大值；当x5时，MN=（x22x）（x2+2x+3）=x24x=（x）2，显然当x时，MN随x的增大而增大，当x=5时，MN有最大值，（5）2=12；综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标分别表示出PA、PC是解题的关键，在（3）中用M、N的坐标分别表示出MN的长是解题的关键，注意分类讨论本题考查知识点较为基础，难度适中5（2015日照）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）（）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（）在（）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？【考点】二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BHx轴于H，如图1易得BCH=ACO=45，BC=，AC=3，从而得到ACB=90，然后根据三角函数的定义就可求出tanBAC的值；（）（1）过点P作PGy轴于G，则PGA=90设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x0，则PG=x，易得APQ=ACB=90若点G在点A的下方，当PAQ=CAB时，PAQCAB此时可证得PGABCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x则有P（x，33x），然后把P（x，33x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标当PAQ=CBA时，PAQCBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作ENy轴于N，如图3易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN作点D关于AC的对称点D，连接DE，则有DE=DE，DC=DC，DCA=DCA=45，从而可得DCD=90，DE+EN=DE+EN根据两点之间线段最短可得：当D、E、N三点共线时，DE+EN=DE+EN最小此时可证到四边形OCDN是矩形，从而有ND=OC=3，ON=DC=DC然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标【解答】解：（）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：抛物线的解析式为y=x2x+3联立，解得：或，点B的坐标为（4，1）过点B作BHx轴于H，如图1C（3，0），B（4，1），BH=1，OC=3，OH=4，CH=43=1，BH=CH=1BHC=90，BCH=45，BC=同理：ACO=45，AC=3，ACB=1804545=90，tanBAC=；（）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似过点P作PGy轴于G，则PGA=90设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x0，则PG=xPQPA，ACB=90，APQ=ACB=90若点G在点A的下方，如图2，当PAQ=CAB时，则PAQCABPGA=ACB=90，PAQ=CAB，PGABCA，=AG=3PG=3x则P（x，33x）把P（x，33x）代入y=x2x+3，得x2x+3=33x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=1（舍去）如图2，当PAQ=CBA时，则PAQCBA同理可得：AG=PG=x，则P（x，3x），把P（x，3x）代入y=x2x+3，得x2x+3=3x，整理得：x2x=0解得：x1=0（舍去），x2=，P（，）；若点G在点A的上方，当PAQ=CAB时，则PAQCAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）当PAQ=CBA时，则PAQCBA同理可得：点P的坐标为P（，）综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）过点E作ENy轴于N，如图3在RtANE中，EN=AEsin45=AE，即AE=EN，点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN作点D关于AC的对称点D，连接DE，则有DE=DE，DC=DC，DCA=DCA=45，DCD=90，DE+EN=DE+EN根据两点之间线段最短可得：当D、E、N三点共线时，DE+EN=DE+EN最小此时，DCD=DNO=NOC=90，四边形OCDN是矩形，ND=OC=3，ON=DC=DC对于y=x2x+3，当y=0时，有x2x+3=0，解得：x1=2，x2=3D（2，0），OD=2，ON=DC=OCOD=32=1，NE=AN=AOON=31=2，点E的坐标为（2，1）【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（）（2）小题的关键6（2015达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）延长EC至E，使EC=EC，延长DA至D，使DA=DA，连接DE，交x轴于F点，交y轴于G点，则有：GD=GD，EF=EF，从而得：（DG+GF+EF+ED）的最小值=DE+DE，求出DE与DE的长即可得到答案（3）根据三角形的面积，首先求得点P到OD的距离，然后过点O作OFOD，使OF等于点P到OD的距离，过点F作FGOD，求得FG的解析式，然后再求直线FG与抛物线交点的坐标即可得到点P的坐标【解答】解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得，解得故二次函数的表达式y=x2x+4；（2）如图：延长EC至E，使EC=EC，延长DA至D，使DA=DA，连接DE，交x轴于F点，交y轴于G点，GD=GDEF=EF，（DG+GF+EF+ED）最小=DE+DE，由E点坐标为（5，2），BC的中点；D（4，4），直角的角平分线上的点；得D（4，4），E（5，2）由勾股定理，得DE=，DE=，（DG+GF+EF+ED）最小=DE+DE=+；（3）如下图：OD=SODP的面积=12，点P到OD的距离=3过点O作OFOD，取OF=3，过点F作直线FGOD，交抛物线与点P1，P2，在RtOGF中，OG=6，直线GF的解析式为y=x6将y=x6代入y=得：x6=，解得：，将x1、x2的值代入y=x6得：y1=，y2=点P1（，），P2（，）如下图所示：过点O作OFOD，取OF=3，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4，在RtPFO中，OG=6直线FG的解析式为y=x+6，将y=x+6代入y=得：x+6=解得：，y1=x1+6=，y2=x2+6=p3（，），p4（，）综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点P到OD的距离是解题的关键，解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题7（2015莆田）抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】（1）由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得到b=a+c，即ab+c=0，即可确定出抛物线恒过定点（1，0）；（2）先求出抛物线y=x2的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PACQ，PA=CQ；存在两种情况：作QMAC于M，则QM=OP=，证明RtQMCRtPOA，MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+2）2，把点A坐标代入求出a的值即可；顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明OQCOPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+，把点C坐标代入求出a的值即可【解答】（1）证明：由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得：b=a+c，即ab+c=0，抛物线y=ax2+bx+c，当x=1时，y=0，“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A（1，0）；（2）解：存在；理由如下：“恒定”抛物线y=x2，当y=0时，x2=0，解得：x=1，A（1，0），B（1，0）；x=0时，y=，顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，PACQ，PA=CQ，存在两种情况：如图1所示：作QMAC于M，则QM=OP=，QMC=90=POA，在RtQMC和RtPOA中，RtQMCRtPOA（HL），MC=OA=1，OM=2，点A和点C是抛物线上的对称点，AM=MC=1，点Q的坐标为（2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=a（x+2）2，把点A（1，0）代入得：a=，抛物线的解析式为：y=（x+2）2，即yx2+4x+3；如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，点C坐标为（1，0），CQPA，OQC=OPA，在OQC和OPA中，OQCOPA（AAS），OQ=OP=，点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=ax2+，把点C（1，0）代入得：a=，抛物线的解析式为：y=x2+；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3，或y=x2+【点评】本题是二次函数综合题目，考查了新定义“恒定”抛物线、用待定系数法求抛物线的解析式、全等三角形的判定与性质、抛物线的对称性、坐标与图形性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线证明三角形全等求出点的坐标才能得出抛物线的解析式8（2015长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x1）2+4与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q，以PQ为边作RtPQF，使PQF=90，点F在点Q的下方，且QF=1设线段PQ的长度为d，点P的横坐标为m（1）求这条抛物线所对应的函数表达式（2）求d与m之间的函数关系式（3）当RtPQF的边PF被y轴平分时，求d的值（4）以OB为边作等腰直角三角形OBD，当0m3时，直接写出点F落在OBD的边上时m的值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）把点B（3，0）代入抛物线y=a（x1）2+4，求出a的值即可；（2）先求出直线BC的解析式，由点Q的纵坐标求出横坐标，求出PQ，即可得出结果；（3）由题意得出点P与点