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文档简介

2.2.2 反证法,直接证明:,(1)综合法,(2)分析法,由因导果,执果索因,将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染,至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗?,引例1:,间接证明:,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法。,反证法是一种常用的间接证明的方法。,反证法: 假设命题结论的反面成立,经过正确的推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。,反证法的思维方法: 正难则反,一般地,假设原命题不成立,,经过正确的推理,,最后得出矛盾。,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,,这样的证明方法叫做反证法(归谬法)。,其过程包括:,反设假设命题的结论不成立;,存真由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立。,归谬从假设出发,经过一系列正确的推理,得出矛盾;,归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。,例1 已知a0,证明x的方程ax=b 有且只有一个根。,应用反证法的情形: (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论 (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” -类命题; (4)结论为 “唯一”类命题;,正难则反!,常见否定用语,是不是 有没有 等不等 成立不成立 都是不都是,即至少有一个不是 都有不都有,即至少有一个没有 都不是部分或全部是,即至少有一个是 唯一至少有两个 至少有一个有(是)全部没有(不是) 至少有一个不全部都,例3:证明:圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.,已知:在O中,弦AB、CD相交于P,且AB、CD不全是直径 求证:AB、CD不能互相平分。,A,B,C,D,用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知:如图,在O中,弦AB、CD交于点P,且AB、CD不是直径.求证:弦AB、CD不被P平分.,例 1,证明:,假设弦AB、CD被P平分,,连结 AD、BD、BC、AC,因为弦AB、CD被P点平分,所以四边形ACBD是平行四边形,所以,因为 ABCD为圆内接四边形,所以,因此,所以,对角线AB、CD均为直径,,这与已知条件矛盾,即假设不成立,所以,弦AB、CD不被P平分。,用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知:如图,在O中,弦AB、CD交于点P,且AB、CD不是直径.求证:弦AB、CD不被P平分.,例 1,由于P点一定不是圆心O,连结OP,根据垂径定理的推论,有,所以,弦AB、CD不被P平分。,证明:,假设弦AB、CD被P平分,,即过点P有两条直线与OP都垂直,,这与垂线性质矛盾,即假设不成立,证法二,OPAB,OPCD,,演练反馈,2、平面内有四个点,没有三点共线, 证明:以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形,证明:假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。,(1)如果点D在 之内,根据假设,,都为锐角三角形,所以,这与一个周角为360矛盾。,2019/11/16,15,可编辑,演练反馈,2、平面内有四个点,没有三点共线, 证明:以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形,(1)如果点D在 之外,根据假设,,都是锐角三角形,即,这与四边形内角和矛盾。,所以,综上所述,假设不成立,从而题目结论成立。,即这些三角形不可能都为锐角三角形。,总结提炼,1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾,自相矛盾等,反设 归谬 结论,2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?,推理,合情推理 演绎推理 (归纳、类比) (三段论),证明,直接证明 间接证明 (分析法、综合法) (反证法),数学公理化思想,例1:用反证法证明: 如果ab0,那么,例4 求证: 是无理数。,作业,思考?,A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎,为什么?,分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - - -那么A假且B假;,由A假, 知B真. 这与B假矛盾.,那么假设C没有撒谎不成立;,则C必定是在撒谎.,思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙

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