高中数学第一章单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学案北师大版.docx

41单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义42单位圆与周期性内容要求 1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.2.掌握任意角的正弦、余弦的定义(重点).3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点).4.了解周期函数的概念，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数(难点)知识点1任意角的正弦、余弦函数(1)单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆(2)正弦函数、余弦函数的定义如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角的正弦函数，记作vsin_；点P的横坐标u叫作角的余弦函数，记作ucos_.(3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域正弦函数ysin x和余弦函数ycos x的定义域为全体实数，值域为1,1【预习评价】1若角的终边与单位圆相交于点，则sin 的值为()A.B C.D答案B2若角的终边与单位圆相交于点(，)，则cos _.答案知识点2正弦函数、余弦函数值的符号【预习评价】记住特殊角的正弦函数、余弦函数值非常重要，试完成下表：x02ysin x01010ycos x10101知识点3周期函数(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，f(xT)f(x)都成立那么就把函数f(x)称为周期函数，T叫作这个函数的周期(2)ysin x的周期为2k，kZ，最小正周期为2.ycos x的周期为2k，kZ，最小正周期为2.【预习评价】如果存在非零常数T，对于函数f(x)，若存在x值有f(xT)f(x)，则函数f(x)是周期函数吗？提示不一定，如函数f(x)x2，存在非零常数T4，存在x2，使得f(24)f(2)，但是函数f(x)x2不是周期函数.题型一三角函数定义的应用【例1】已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.解析因为sin ，所以y0，且y264，所以y8.答案8规律方法利用正弦函数、余弦函数的定义，求一个角的正弦函数、余弦函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论【训练1】若点P(2m，3m)(m0)在角的终边上，则sin _.解析如图，点P(2m，3m)(m0)在第二象限，且rm，故有sin .答案题型二有关三角函数值的符号问题【例2】(1)是第二象限角，判断sin cos 的正负；(2)若sin cos 0，判断是第几象限角解(1)是第二象限角，sin 0，cos 0，sin cos 0.(2)由sin cos 0知有两种可能：或故是第二象限角或第四象限角规律方法正余弦函数符号的确定(1)终边在坐标轴上的角：终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(1,0)，故sin 0，cos 1.(2)终边在各个象限内的角：利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正【训练2】判断下列各式的符号(1)sin 105cos 230；(2)sin 240sin 300；(3)cossin ；(4)cos 4cos 5.解析(1)因为105是第二象限角，所以sin 1050，又因为230是第三象限角，所以cos 2300，所以sin 105cos 2300.(2)因为240是第三象限角，所以sin 2400；又因为300是第四象限角，所以sin 3000，所以sin 240sin 3000.(3)因为sin 0.所以cossin 0.(4)因为4是第三象限角，所以cos 40，又因为5是第四象限角，所以cos 50，所以cos 4cos 50.【例3】若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)f(x)，当x0，)时，f(x)2sin x，求ff的值解f(x)是奇函数，f(x)f(x)，又f(x)f(x)，函数f(x)的周期为，ffffffff2sin2sin.【迁移1】在例3中把条件“f(x)f(x)”改为“f(x)f(x)”，求f()f()的值解由f(x)f(x)知f(x)f(x)f(x)f(x2)f(x)知f(x)的周期为2.ffffff又f(x)是奇函数，原式2sin2sin.【迁移2】在例3中把条件“f(x)f(x)”改为“f(x)”，则函数f(x)的周期为_解析由f(x)得f(x)f(x)，f(x2)f(x)函数f(x)的周期为2.答案2【迁移3】把例3中的条件“函数f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x)f(x)”改为“函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x)f(x)”，求ff的值解f(x)是偶函数f(x)f(x)，又f(x)f(x)令xx得f(x)f(x2)函数f(x)的周期为2.ffffff2sin2sin.规律方法常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式f(xT)f(x)外，还有如下四种形式：(1)f(xa)f(x)(2)f(xa).(3)f(xa).(4)f(xa)f(xa)以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数课堂达标1若角的终边过点，则cos 的值为()A.B. C. D.解析易知点在单位圆上，故cos .答案A2角的终边经过点P(b,4)且cos ，则b的值为()A3B3C3D5解析r，cos .b3.答案A3已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为_解析由题意知，角的终边上一点的坐标为.cos .又的终边在第四象限的最小值为.答案4若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f1，则f的值是_解析f()f(2)f()1.答案15已知角的终边与单位圆相交于点(a，b)，若sin ，求a、b的值，并说明是第几象限角解由正弦函数的定义可知bsin .又a2b21，a21b2，a.故a，b.当a，b时，点P在第四象限，此时角是第四象限角；当a，b时，点P在第三象限，此时角是第三象限角课堂小结1利用定义求的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出的终边与单位圆的交点坐标，即得值2正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦3正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等作用是把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)范围内角的三角函数值基础过关1若sin cos 0，则在()A第一、二象限B第一、三象限C第一、四象限D第二、四象限答案B2已知是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos x，则x等于()A.BCD解析依题意得cos x0，由此解得x.答案D3下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos(4x)解析A选项中，f(x)sinsin()，不满足对任意x，f(x)f(x)；B选项，f(x)sin 2(x)sin (2x)，不满足对任意x，f(x)f(x)；C选项，f(x)cos (x)cos()，不满足对任意x，f(x)f(x)；D选项，f(x)coscos(4x2)cos(4x)f(x)，选D.答案D4已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)2，f(x3)f(x)，则f(8)_.解析f(x3)f(x)，f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(x)f(x)f(8)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2.答案25下列说法中，正确的为_(填序号)终边相同的角的同名三角函数值相等；终边不同的角的同名三角函数值不全相等；若sin 0，则是第一、二象限角；若是第二象限角，且P(x，y)是其终边上的一点，则cos .解析三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系，故都是正确的；当的终边与y轴的非负半轴重合时，sin 10，故是不正确的；无论在第几象限，cos ，故也是不正确的答案6确定下列三角函数值的符号：(1)sin；(2)cos(925)解(1)2，且是第三象限角，是第三象限角；sin0.(2)9253360155，925是第二象限角cos(925)0.7已知角的终边经过点P(3cos ，4cos )，其中(kZ)，求角的正弦函数值及余弦函数值解(2k，2k)(kZ)，cos 0.又x3cos ，y4cos ，r5cos .sin ，cos .能力提升8已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()AB.C D.解析r，cos ，m0，即m.答案B9当为第二象限角时，的值是()A1B0C2D2解析为第二象限角，sin 0，cos 0，2.答案C10若2k(kZ)，则cos 3_.解析cos 3cos 3cos(6k)cos0.答案011若角的终边与直线y3x重合且sin 0，又P(m，n)是终边上一点，且|OP|，则mn_.解析y3x，sin 0，点P(m，n)位于y3x在第三象限的图像上，且m0，n0，n3m.|OP|m|m.m1，n3，mn2.答案212已知cos 0，sin 0，(1)求角的集合；(2)求角的终边所在的象限；(3)试判断sin，cos的符号解(1)cos 0，角的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上sin 0，角的终边可能位于第一或第二象限或y轴非负半轴上，角的终边只能位于第二象限故角的集合为|2k2k，kZ(2)2k2k(kZ)，kk(kZ)当k2n(kZ)时，2n2n(nZ)，是第一象限角；当k2n1(nZ)时，2n2n(nZ)，是第三象限角即的终边落在第一象限或第三象限(3)由(2)可