毕业设计（论文）-偏振器件的矩阵表示法研究.doc

武汉工业学院毕 业 论 文 论文题目：偏振器件的矩阵表示法研究姓 名 学 号 071203119 院 （系） 数理科学系 专 业 电子信息科学与技术 指导教师 2011年6月10日 目 录摘 要IAbstractII前 言1第一章 偏振光概述21.1自然光与偏振光21.2光波的表达方式21.3光的偏振态21.4偏振光的基本性质31.4.1偏振度31.4.2偏振光的干涉31.5偏振光的获取方法5第二章 晶体光学基础72.1晶体的双折射72.2晶体特性82.3晶体光学的应用9第三章 晶体偏振器件103.1偏振器件简介103.2偏振起偏棱镜103.3波片113.4偏振器件与波片的作用12第四章 偏振矩阵144.1斯托克斯矢量144.2琼斯矢量144.3示例15第五章 偏振的矩阵表示175.1偏振光的矩阵表示175.2偏振器件的矩阵表示185.2.1偏振器件的密勒矩阵185.2.2偏振器件的琼斯矩阵195.2.3琼斯矩阵的应用示例225.2.4密勒矩阵与琼斯矩阵的联系与区别24结 束 语26谢 辞27参考文献28摘 要随着激光器的出现和激光技术的发展，古老的光学获得新的生命，其应用范围日益扩大，有的已发展成高科技产业，有的则形成新型检测技术，例如：光纤通信、光大气通信、光盘存储、光全息技术、光弹技术、光散射技术、激光加工技术、光调制技术以及光传感技术等。为了进一步发展和应用这些技术，经常需要处理光的偏振问题，因而已开始形成光学技术中新的分支：光偏振技术。偏振光是光在晶体中传播所产生的一种特殊形态，偏振光的干涉与光的干涉一样有着重要的实际应用，尤其是对于现代晶体光学器件的工作原理的理解有着非常重要的帮助。本课题主要是利用数学知识探讨偏振态的矩阵表示方法和各种具体偏振器件的矩阵表示，从而为进一步便于对偏振光传播和偏振光的干涉应用中偏振态的演变进行分析。同一方向传播的光，其偏振态可以不同。在光学和光电子技术中，经常需要检查和测量光的偏振特性，改变偏振态，以及利用偏振特性进行一些物理量的测量等。为此需要产生和检查光束偏振态的器件(偏振器)以及改变偏振态的器件(波片)。本文先简单介绍偏振光学的基本知识，如偏振光的偏振态，偏振光的基本性质等，再介绍晶体光学的相关知识，引出偏振器件，最后研究偏振器件的矩阵表示。关键词：晶体光学；偏振光；偏振态AbstractWith the emergence of laser diode and the development of laser technology,the old optical acquired new life that its application scope expand increasingly, some has already developed into high-tech industries, others form to new detection technology, such as optical fiber communication, light air communications, CD storage, light holographic technology, bolts technology, light scattering technology, laser processing technology, light modulation technique and optical sensing technology, etc. In order to further development and application of these techniques, often need to deal with light polarization problem, so she has started to form into a new branch of optical technology: light polarization technique.Polarized light is a special form of the result of light spreading in crystal.The interferrence of polarized light has important pratical application as that of light,especially for the understanding of the work principle of modern crystal light devices.This topic is mainly discussed with the matrix presentation method of polarization state and various specific polarized devices by use of mathematical knowledge .And thus to further analysis of the spreading of polarized lisght and the evolution of the application of the interference of the polarized light.Light that spread with the same direction, can be different polarization. In optical and electronic technology, often need to check and measure the polarization of light polarization characteristic, change, and the use of polarization characteristic of some parameters measurement, etc. Therefore, it is necessary to produce and check the beam polarization devices (polarization device) and change the device (polarization wave plate).This paper first introduces the basic knowledge of polarization optical polarization of polarized light, such as the basic properties, polarized light, then introduces related knowledge of crystal optics, leads study finally polarizers, polarizers matrix expression.Keywords：Crystal optics；Polarized light；Polarization stateII前 言波的振动方向和波的传播方向平行的波称为纵波；波的振动方向和波的传播方向相互垂直的波称为横波。在纵波的情况下，通过波的传播方向的所有平面内的运动情况都相同，其中没有一个平面显示出比其他平面特殊，这通常称为波的振动对传播方向具有对称性。对横波来说，通过波的传播方向且包含振动矢量的那个平面显然和其他不包含振动矢量的其他平面有区别，这通常称为波的振动方向对传播方向没有对称性，波的振动方向对于传播方向的不对称性叫做偏振，它是横波区别于纵波的一个最明显的标志，只有横波才有偏振现象。光的干涉现象和衍射现象充分显示了光的波动性，但是它们不涉及光是纵波还是横波的问题，因为不管是纵波还是横波都同样能产生干涉和衍射现象。光的偏振现象则是从实验上证实了光波是横波，这正是麦克斯韦电磁理论所预言的结果。光的偏振现象与各向异性晶体有着密切的联系：一束非偏振光入射到各向异性晶体中，一般的将分解为两束偏振光，即为双折射现象；最为重要的偏振器件是由晶体制成的，主要包括偏振棱镜和波片。偏振矩阵是一种很好的研究偏振态的数学工具，用矩阵探讨偏振态表示方法和各种具体偏振器件的矩阵表示，从而为进一步便于对偏振光传播和偏振光的干涉应用中偏振态的演变进行分析。如同光的干涉和衍射现象一样，光的偏振现象在科学技术特别是激光技术中有着重要的应用。光的偏振是光的电磁理论的一个重要内容，利用光的偏振特性设计的各种精密仪器已为科学研究、工程技术、生产技术的检验提供了极有价值的方法。例如依据光的偏振设计的各种光调制解调器已被广泛地应用于液晶显示、激光调制、光通信、光信息处理等许多领域。28第一章 偏振光概述1.1自然光与偏振光从普通光源发出的光叫做自然光，可以看做是具有一切可能的振动方向的许多光波的总和，这些振动同时存在或迅速且无规则的互相替代，因此，自然光的特点是振动方向的无规则性，但统计来说，对于光的传播是对称的，在与传播方向垂直的平面上，无论哪一个方向的振动都不比其它方向更占优势。在任何实验中，如果用两个光矢量互相垂直，位相没有关联的线偏振光来代替自然光，并且让这两个线偏振光的强度都等于自然光总光强的一半，可以得到完全相同的结果。因此，自然光可以用互相垂直的两个光矢量表示，这两个光矢量的振幅相同，但位相关系是不确定的，瞬息万变的，我们不可能把这两个光矢量再进一步合成为一个稳定的线偏振光或圆偏振光。1.2光波的表达方式光波是一种横波，它的光矢量始终与传播方向垂直。频率、相位、振动方向，亦即角频率、传播方向、电矢量的振动方向是光波的三个特性，光波表达式如下：偏振光方程1：(1-1)(1-2)(1-3)1.3光的偏振态光有五种偏振态，如下：1.线偏振光如果在光波中，光矢量的振动方向在传播过程中保持不变，只是它的大小随位相改变，这种光称为线偏振光。光矢量与传播方向组成的平面称为线偏振光的振动平面。2.圆偏振光如果光矢量的大小不变，而方向绕传播轴均匀地转动，端点的轨迹是一个圆，这种光称为圆偏振光。3.椭圆偏振光如果光矢量的大小和方向在传播过程中都有规律地变化，光矢量的端点沿着一个椭圆轨迹转动，这种光称为椭圆偏振光。4.部分偏振光如果在传播过程中，由于受到外界的作用，造成各个振动方向上的强度不等，使某一方向的振动比其他方向占优势，这种光称为部分偏振光。5.自然光 如太阳光、白炽灯光、气体放电光源发光等，在垂直于光传播方向的任一横截面内，光振动矢量满足以下三个条件：各向出现概率相等；各向振动的时间平均值相等；各振动之间无固定的相位关系的光是自然光。1.4偏振光的基本性质1.4.1偏振度下图为部分偏振光的强度随光矢量方向的变化表示2：强度极大 强度极小 图1 部分偏振光的强度随光矢量方向的变化图中光矢量沿垂直方向的振动比其他方向占优势，其强度用表示；光矢量沿水平方向的振动较之其他方向处于劣势，其强度用表示。部分偏振光可以看作是由一个线偏振光和一个自然光混合组成，其中线偏振光的强度为，它在部分偏振光的总强度中所占的比率叫做偏振度： (1-4)自然光偏振度; 线偏振光偏振度；其他情况下;愈接近于，光束的偏振化程度愈高。1.4.2偏振光的干涉 有相同的频率和有固定的位相差，并且在同一平面上振动的两偏振光可以产生干涉现象，它可分为平行的平面偏振光的干涉和会聚的平面偏振光的干涉两种。平行的平面偏振光的干涉：当起偏镜和检偏镜正交时，没有光能通过检偏镜。然而，此间在两者间插入一块光轴平行于表面的晶片，如图2所示，则有光从检偏镜透过；若晶片是楔形板，则见有明暗相间的条纹出现3。加晶片后能见到光的这种现象即为一种平面偏振光的干涉现象。图2 获得平行的平面偏振光的装置 图3 起偏镜和检偏镜正交的情形 图4 起偏镜和检偏镜平行的情形图3中,和代表正交的起偏镜和检偏镜的主截面，代表晶片的主截面。设为通过起偏镜的平面偏振光的振幅,它在晶片内分解为振幅为和的光和光。通过厚度为的晶片后，光和光的位相差为 (1-5)式中和分别为晶片对光和光的主折射率。具有这样固定位相差的光和光，合成一个椭圆偏振光4，但是当令其通过检偏镜时和在主截面上的分振幅分别为 (1-6)(1-7)此式表示，通过的两平面偏振光是等振幅而且振动在同一平面()的两个相干光；它们的位相差除了外还要加上和在主截面投影所引起的位相差,所以此两相干光的总位相差 (1-8)当 (1-9)时，通过有最大光强度5；此时，没有光通过检偏镜。所有连续递增厚度的楔形晶板挡在正交的和之间时，从能看到明暗相间的条纹6。若起偏镜和检偏镜平行放置7,如图，则透过检偏镜的两相干光的振幅分别为 (1-10)(1-11)可见,除外，在一般值下,；它们的位相差只决定于。当或其整数倍时，由透射的光有最大光强；当及其奇数倍时，由透射的光强最小（时最小为零）。对于某一给定的晶片，由于只与有的差别, 所以在正交（）系统和平行()系统所得干涉条纹的明暗位置正好相反。 用白光照射系统时，对各种波长的光，干涉最大和最小的条件不能同时满足，因而自出射的光呈一定的彩色，而同一晶片，在正交系统透射光所呈的彩色与平行系统中所呈的彩色不同，这两种彩色互为补色。此外，当由正交向平行过渡或其相反过渡，即转动起偏镜和检偏镜之一时，由于位相差有突然的变化()，所以,出射光的彩色会随之突然由一种彩色变为它的补色。通常称之为色偏振。色偏振是检验双折射现象的极灵敏的方法，它在检验玻璃元件有无应力及区别某些纤维方面得到相当普遍的应用。 会聚的平面偏振光干涉: 观察会聚的平面偏振光干涉的实验布置如图5所示,其中晶片的光轴与晶片表面垂直并且平行于系统的光轴。如果,透镜和不放在起偏镜和检偏镜之间,因为在晶片内光和光都沿光轴进行，没引入位相差，所以没有干涉现象。但若利用透镜产生会聚于晶片的平面偏振光，又用透镜将此会聚光再变为平行平面偏振光，当晶片是厚为的方解石时，通过检偏镜可以观察到干涉图样。其中黑十字称等旋线，又以透镜光轴为中心的明暗相间的圆环，称等色线8。 图5 会聚的平面偏振光的干涉 偏光显微镜中利用会聚的平面偏振光的干涉图样来测定光轴的位置已成为在切割与磨制晶体时的重要手段；对于大块晶体的定轴,已应用与图5相似的光学系统制成了晶体定轴投影仪。1.5偏振光的获取方法 偏振光的产生有四种基本方法：用线栅偏振器和偏振片产生偏振光；由反射产生偏振光；由散射产生偏振光；利用晶体获得偏振光。用线栅偏振器和偏振片产生偏振光：利用金属丝对平行的电矢量吸收的原理，产生电矢量垂直于金属丝的偏振光。由反射产生偏振光：入射角为布儒斯特角，即 (1-12)反射光为线偏振光。振动方向垂直于入射面多次透射后，透射光也为线偏振光。 由散射产生偏振光：一束非偏振光入射到气体上，那么在与入射光束垂直的方向上被散射的光是线偏振光。散射光的振动方向在光线传播方向的垂直平面内。 利用晶体获得偏振光：利用晶体的双折射特性9。 第二章 晶体光学基础2.1晶体的双折射晶体光学是研究可见光通过透明晶体时所产生的一种光学现象及其原理的一门科学。由于它主要是借助于偏光显微镜去研究矿物，它又是一门实验性很强的科学。当一束单色光在各向同性介质的界面折射时，折射光只有一束，而且遵守折射定律；当一束单色光在各向异性晶体的界面折射时，一般可以产生两束折射光，即o光和e光，且o光和e光与晶体密不可分，这种现象叫做晶体的双折射。以双折射现象比较显著的方解石为例：方解石也叫冰洲石，化学成分是碳酸钙，天然方解石晶体的外形为平行六面体，六面体共有八个顶角，其中两个由三面钝角组成，称为钝隅。其余六个顶角都由一个钝角和两个锐角组成。方解石的两束折射光线中，有一束总是遵守折射定律，即不论入射光束的方位如何，这束折射光线总是在入射面内，并且折射角的正弦与入射角的正弦之比等于常数。这束折射光称为寻常光，用符号o表示；另一束折射光则不然，一般情形下，即使入射角为零，折射角也不为零，而且这束光往往不在入射面内。这束光称为非常光，用符号e表示。方解石晶体的一个重要特性是存在而且仅存在一个特殊的方向，当光在晶体中沿着这个方向传播时不发生双折射，此方向即为晶体的光轴。实验证明，方解石晶体的光轴方向就是从它的一个钝角所作的等角分线方向，即与钝隅的三条棱成相等角度的那个方向。晶体的光轴不是一条直线，而是一个方向。在晶体的每一点，都可以作出一条光轴来。方解石、石英、KDP一类晶体只有一个光轴方向，称为单轴晶体。自然界的大多数晶体有两个光轴方向，称为双轴晶体。另外，想岩盐、萤石这类属于立方晶系的晶体，是各向同性的，不产生双折射。在单轴晶体内，由o光线和光轴组成的面称为o主平面；由e光线和光轴组成的面称为e主平面。一般情况下，o主平面和e主平面是不重合的。但是，实验和理论都指出，若光线在由光轴和晶体表面法线组成的平面内入射，则o光和e光都在这个平面内，这个平面也就是o光和e光共同的主平面。这个由光轴和晶体表面法线组成的面称为晶体的主截面。在实用上，都有意选择入射面与主截面重合，以使所研究的双折射现象大为简化。对于天然方解石晶体来说，如果它的各棱都等长，通过组成钝隅的每一条棱的对角面就是它的主截面。自然，与这些面平行的截面也是方解石的主截面。方解石天然晶体的主截面总是与晶面交成一个角度为和的平行四边形。如果用检偏器来检验晶体双折射产生的o光和e光的偏振状态，就会发现o光和e光都是线偏振光，并且，o光的电矢量与o主平面垂直，因而总是与光轴垂直；e光的电矢量在e主平面内，因而它与光轴的夹角就随着传播方向的不同而改变。由于o主平面和e主平面在一般情况下并不重合，所以o光和e光的电矢量方向一般也不互相垂直，只有当主截面是o光和e光的共同主平面时，o光和e光的光矢量互相垂直。A D D DD DB AC D B C （b） （a） （b） 图6 光在晶体中的折射先看光矢量垂直于图面的这支偏振光（图6），这支光在第一块棱镜里是o光，在第二块棱镜里却成了e光。由于方解石的折射率大于空气的折射率，这支光在通过界面时是从光密介质进入光疏介质，因此将远离界面法线传播；再看光矢量平行于图面的这支光。它在第一块棱镜里是e光，在第二块棱镜里却成了o光。因此在通过界面时是从光疏介质进入光密介质，将靠近法线传播。这样，从渥拉斯登棱镜射出来的是两束夹有一定角度的光矢量互相垂直的线偏振光。制造渥拉斯登棱镜的材料也可以用水晶，水晶比方解石容易加工成完善的光学平面，但分出的两束光的夹角却小得多。2.2晶体特性1.光轴在双折射晶体中存在一个特殊的方向，当光束在这个方向传播时不发生双折射，此方向称为晶体的光轴。在光轴方向上，o光和e光都遵守折射定律。而且： (2-1)2.主截面晶体的主截面是由光轴和晶体表面法线构成的平面。当光线在主截面入射（不与光轴重合）时，在晶体内o光和e光都在主截面内，但和不等。3. o光和e光的主平面o光主平面是o光和晶体光轴组成的平面，且o光振动方向垂直于o主平面。e光主平面是e光和晶体光轴组成的平面，且e光振动方向垂直于e主平面。当入射光在主截面内时，o光e光主平面均为主截面。4.正负晶体当时为正晶体，e光波面（椭球面）在o光波面（球面）之内；时为负晶体，o光波面（球面）在e光波面（椭球面）之内。2.3晶体光学的应用 晶体光学主要应用于鉴别透明矿物、研究岩石学、矿物学、宝石学和材料学。晶体光学是研究岩石学、矿物学和宝石学的重要方法，是学习宝石学的重要基础，是宝石学课程的一个组成部分10。第三章 晶体偏振器件3.1偏振器件简介 偏振器件是能够产生偏振光的器件。检验偏振器件的质量，或者说当自然光通过偏振器件后是否能够产生完全的线偏振光的办法是让光相继通过两个器件和，它们是两片完全相同的偏振片，前者用来产生偏振光，后者用来检验偏振光。当它们相对转动时，透过两片偏振片的光强就随着两偏振片的透光轴的夹角而变化。如果偏振片是理想的，当它们的透光轴互相垂直时，透射光强应该为零。当夹角为其它值时，根据马吕斯定律，透射光强：；实际的偏振器件往往不是理想的，自然光透过后得到的不是完全的线偏振光，而是部分偏振光。因此，即使两个偏振器件的透光轴互相垂直，透射光强也不为零。这时的最小透射光强与两偏振器透光轴互相平行时的最大透射光强之比叫做消光比，它是衡量偏振器件质量的重要参数；消光比愈小，偏振器件产生的偏振光的偏振度愈高。人造偏振片11的消光比约为。3.2偏振起偏棱镜利用晶体的双折射现象，可以制成各种偏振棱镜。比较重要的有尼科尔棱镜、格兰棱镜和渥拉斯登棱镜。尼科尔棱镜4的制法如下：取一块长度约为宽度三倍的优质方解石晶体，将两端磨去约，使其主截面的角度由变为，然后将晶体沿着垂直于主截面及两端面的平面切开，把切开的面磨成光学平面，再用加拿大树胶胶合起来，并将四周涂黑，就成了尼科尔棱镜。加拿大树胶是一种各向同性的介质，它的折射率比寻常光的折射率小，但比非常光的折射率要大。尼科尔棱镜不适用于高度汇聚或发散的光束。而且，晶莹纯粹的方解石天然晶体都比较小，制成的尼科尔棱镜的有效使用面积都很小，而价格却十分昂贵。但是，由于它对可见光的透明度很高，并且能产生完善的线偏振光，所以尽管有上述缺点，对于可见的平行光束来说，尼科尔棱镜仍然是一种比较优良的偏振器。尼科尔棱镜的出射光束和入射光束不在一条直线上，这在仪器中会带来不便。例如，当尼科尔棱镜作为检偏器绕光的传播方向旋转时，出射光束也在打圈子。格兰棱镜是为了改进尼科尔棱镜的这种缺点而设计的。它也用方解石制成，不同之处是端面与底面垂直，光轴既平行于端面也平行于斜面，亦即与图面垂直。当光垂直于端面入射时，o光和e光均不发生偏折，它们在斜面上的入射角就等于棱镜斜面与直角面的夹角，选择角使得对于o光来说入射角大于临界角，发生全反射而被棱镜壁的涂层吸收；对于e光来说，入射角小于临界角能够透过，从而射出一束线偏振光。组成格兰棱镜之间的两块直角棱镜之间可以用加拿大树胶胶合。用加拿大树胶胶合有两个缺点，一是加拿大树胶对紫外光吸收很厉害，二是胶合层易被大功率的激光所破坏。在这两种情形下，往往用空气层来代替胶合层。这时角约为，孔径角约为。这种棱镜能够透过波长短到的紫外光。渥拉斯登棱镜能产生两束互相分开的光矢量互相垂直的线偏振光。它是由两块直角方解石棱镜胶合而成的。这两个直角棱镜的光轴互相垂直，又都平行于各自的表面。图6中，当一束很细的自然光垂直地入射到AB面上时，由第一块棱镜产生的o光和e光不分开，但以不同的速度前进。由于第二块棱镜的光轴相对于第一块棱镜转过了，因此在界面AC处，o光和e光发生了转化。3.3波片还有一类常用的晶体光学器件叫做波片。由起偏器获得的线偏振光垂直入射到由单轴晶体制成的平行平面薄片上，晶片的光轴与其表面平行，设为y轴方向。这时入射的线偏振光将分解为o光和e光，它们的光矢量分别沿x轴和y轴。习惯上把两轴中的一个称为快轴，另一个称为慢轴，意即光矢量沿着快轴的那束光传播得快，光矢量沿着慢轴的那束光传播得慢。对于负单轴晶体，e光比o光速度快，所以光轴方向是快轴，与之垂直的方向是慢轴。由于o光和e光在晶片中速度不同，它们通过晶片后产生一定的相位差。设晶片的厚度为d,在晶片中o光的光程是，e光的光程是，两者的光程差是，位相差是。这种能使光矢量互相垂直的两支线偏振光产生相位延迟的晶片称为波片或位相延迟片。这样两束光矢量互相垂直且有一定位相差的线偏振光，叠加结果一般为椭圆偏振光，椭圆的形状、方位、旋向随位相差改变。下面是几种特殊的波片：1/4波片：如果波片产生的光程差，式中m为整数，这样的波片叫做1/4波片。1/4波片的最小厚度：，当时，e光超前。当入射的线偏振光的光矢量与波片的快轴或慢轴成角时，通过1/4波片后得到圆偏振光。反过来，1/4波片可以使圆偏振光或椭圆偏振光变成线偏振光。半波片：如果波片产生的光程差，式中，m为整数，这样的波片叫做半波片或1/2波片。圆偏振光通过半波片后仍为椭圆偏振光，但旋向改变。线偏振光通过半波片后仍然是线偏振光，但光矢量的方向改变。设入射的线偏振光的光矢量与波片的快轴（或慢轴）的夹角为，通过晶片后光矢量向着快轴（或慢轴）的方向转过2。全波片：如果波片产生的光程差，式中，m为整数，则称为全波片。1/4波片、半波片或全波片都是针对某一特定的波长而言的，这是因为一个波片所产生的光程差基本上是不随波长改变的。例如，若波片产生的光程差=560nm，那么对波长560nm的光来说，它是全波片。这种波长的线偏振光通过以后仍为线偏振光。但对其它波长来说，它不是全波片，其它波长的线偏振光通过以后一般得到椭圆偏振光。目前制造波片的材料多为云母。云母是双轴晶体，当光垂直入射时，也分解成光矢量互相垂直的两个分量。由于两个分量的折射率不同，产生一定的光程差。云母容易理解成很薄的薄片，而且厚度容易控制，所以用来制造波片是很适宜的。另外，经过拉伸的聚乙烯醇薄膜也可以用来制造波片。3.4偏振器件与波片的作用图7 自然光通过偏振器件与波片后偏振态的变化1. 第一个偏振器件的作用是从自然光中获得偏振光，称为起偏器。2.入射到波片中，被分解成两个方向和，两者的大小为 两者产生的位相差：(1)当用/4波片时，对于,e光出射波片时超前o光,两束光叠加后为右旋椭圆偏振光。对于,o光出射波片时超前e光,合成为左旋椭圆偏振光。当度时，,合成为圆偏振光。(2)当用波片时，；当时，e光超前o光,出射为线偏光，振动方向转过2。1/4波片将线偏振光变为椭圆偏振光或将椭圆偏振光变成线偏振光。1/2波片的作用是将振动方向旋转2角。第4章 偏振矩阵4.1斯托克斯矢量斯托克斯（G.G.Stokes）引入四个参量12(4-1) (4-2) (4-3) (4-4)表示平面单色波，代表偏振光的光强，为x分量和y分量的强度差，表示偏振光的水平优先度，表示正优先度，大于零，则表示/4线偏振分量较强,为右旋偏振优先度，大于零表示光波是右旋偏振态。将4个斯托克斯参量表示成41阶的斯托克斯矢量 (4-5)可以来描述光的偏振态，全偏振光时满足：，部分偏振光：,而对非偏振光：,正比于光强I。若用角表示椭圆的取向，角表示椭圆率及转向，则有如下关系：(4-6)(4-7)(4-8) 则偏振光又可以用邦加莱球表示13。4.2琼斯矢量光的偏振态也以用琼斯矢量表示，设光在与传播方向(z方向)垂直的xoy平面中，在相互垂直的x和y方向上的分量(4-9)(4-10) 用偏振光矢量两个分量构成的一列矩阵表示光的偏振态，称为琼斯矢量：(4-11)其中。4.3示例例：一电矢量为，其中： 试将其表示成矩阵形式。解：对这一电矢量：（4-12）（4-13） 相位差为。(1)用斯托克斯矢量表示：（4-14）（4-15）（4-16）（4-17）（4-18） 对于具体的和b取值不同的偏振光，可经归一化，提出公因子，用更简洁的形式表示： （见表1） (2)用琼斯矢量表示：（4-19）（4-20）（4-21）同样经归一化14，提取公因子，用简洁的形式表示（见表1）：表1 不同偏振态的斯托克斯矢量和琼斯矢量表示斯托克斯矢量琼斯矢量说明+450线偏振线偏振左旋圆偏振右旋椭圆偏振右旋椭圆偏振 第五章 偏振的矩阵表示 5.1偏振光的矩阵表示根据波的叠加原理，任一种偏振光都可以表示为光矢量相互垂直的两个线偏振光的叠加。即在xOy坐标中，任一种偏振光的光矢量都可以用沿x轴和y轴的两个分量来表示(5-1)(5-2)其相应的振幅为(5-3)(5-4)这样一来，像普通二维矢量可以用它的两个垂直分量构成的一列矩阵表示一样，任一偏振光可以用由它的光矢量的两个分量构成的一列矩阵表示，这一矩阵称为琼斯矢量，记作(5-5)相应的偏振光强度为(5-6)当只考虑光强的相对值时，可以把表示偏振光的琼斯矢量归一化15，即用去除式中的两个分量，得到(5-7)量可以写成由于偏振光的偏振态取决于它两个分量的振幅比和位相差，因此归一化琼斯矢(5-8)式中，。通常我们只关心相对位相，所以上式中可以略去不写，得到进一步简化的归一化琼斯矢量(5-9)表2给出了一些偏振态的归一化琼斯矢量。如果偏振光依次通过N个偏振器件，它们的琼斯矩阵分别为、，则透射光的琼斯矢量为(5-10)表2 一些偏振态的归一化琼斯矢量偏振态归一化琼斯矢量线偏振光光矢量沿x轴光矢量沿y轴光矢量与x轴成角圆偏振光右旋圆偏振光左旋圆偏振光5.2偏振器件的矩阵表示在涉及到偏振光的问题时，常常需要确定各种偏振器、位相延迟期及其它偏振灵敏装置对于光束偏振态的作用和影响。这类问题采用矩阵方法比较方便。一个偏振器件的作用在于对入射偏振光束的光矢量进行一个线性变换，因此这种变换可以用矩阵表示。由于矩阵运算中间过程不需要对每个问题的物理意义都去进行周密的思考，因此可以使计算简便。上文引入了斯托克斯矢量和琼斯矢量表示光的偏振态，则当光波经一系列复杂的偏振元件，只要经简单的矩阵运算就可以得出出射光的偏振态，这是用矩阵表示偏振的优点，在运算之前我们还必须对偏振器件也用矩阵表示，与表示光的偏振态的斯托克斯矢量和琼斯矢量相对应，可用密勒矩阵和琼斯矩阵来表示偏振器件。5.2.1偏振器件的密勒矩阵16SSG图 8 偏振光通过偏振器件后偏振太的变化若用斯托克斯矢量S表示入射光的偏振态，用斯托克斯矢量S表示经一偏振器件后相应出射光的偏振态（图8），则S可以经过一矩阵运算得到： (5-11)式中矩阵M称为密勒矩阵，密勒矩阵也可以用于表示入射偏振光连续经过多个光学器件的运算：，其中为每个元件的密勒矩阵，且后经过的元件的密勒矩阵放在左边，可以用矩阵乘法来简化偏振光运算。常见偏振器件的密勒矩阵见表3。5.2.2偏振器件的琼斯矩阵偏振器件对于输入偏振光（用琼斯矢量表示）的作用是一个线性变换，也就是说，出射光的琼斯矢量的两个分量，是入射光琼斯矢量的两个分量，的线性组合。琼斯表示法的一个重要的应用，就是计算偏振光通过偏振器件后偏振态的变化，偏振器件的特性可以用一个22矩阵来描述。设入射光为，经过偏振器件之后，出射光为，其中(5-12)(5-13)称为该器件的琼斯矩阵，四个矩阵元（）一般是复常数，具体形式与坐标系的选择有关。若用琼斯矢量J来表示光的偏振态，则光经过偏振器件后的偏振态J同样可以通过一个矩阵运算来得到：(5-14)式中矩阵G称为琼斯矩阵。例如一块相位延迟为，且快轴与x轴成角波片，其琼斯矩阵可以表示为：(5-15)下面探讨线偏振器和波片的琼斯矩阵。图9 线偏振器的琼斯矩阵推导线偏振器的琼斯矩阵：设偏振器透光轴与x轴成角，如图9所示。入射光的两分量沿透光轴方向的两分量各为与，它们透过偏振器后在x，y轴上投影组合成： (5-16) (5-17)写成矩阵形式 (5-18)因此线偏振器的琼斯矩阵形式为 (5-19)图10 波片的琼斯矩阵推导波片的琼斯矩阵：设波片的位相延迟为，快轴与x轴成角，如图10所示。令入射光的琼斯矢量为，它在波片快、慢轴上的分量分别为 (5-20) (5-21)并写成矩阵形式 (5-22)通过波片后，两分量变为 (5-23) (5-24)写成矩阵形式 (5-25)出射光的光矢量在轴和轴的分量分别为 (5-26) (5-27)即 (5-28)代入各量得 (5-29)经整理化简，得波片的琼斯矩阵 (5-30)由式(5-30)可以求得各种波片在不同情况下的矩阵形式。当时， (5-31)当时，为1/4波片， (5-32)当时，为1/2波片， (5-33)琼斯矩阵同样也可以用来表示入射偏振光连续经过多个光学器件的运算：，其中为每个元件的琼斯矩阵，且后经过的元件的矩阵放在左边，常见偏振器件的琼斯矩阵见表3。5.2.3琼斯矩阵的应用示例先看一个简单问题的求解。为了决定一束圆偏振光的旋向，可将1/4波片置于检偏器之后，再将1/4波片转到消光位置，这时发现1/4波片的快轴方向是这样的：它需沿着逆时针方向转才能与检偏器的透光轴重合，如图11所示，问该圆偏振光是左旋还是右旋？图11 圆偏振光旋向推导解：设检偏振器透光轴沿x轴方向转动波片，出现消光，即此时光的振动方向垂直透光轴，在y轴方向。 (5-34)此时波片的矩阵： (5-35) (5-36)又则 (5-37)即 (5-38)可得式： (5-39) (5-40)解得,则为右旋光。再来分析一个琼斯矩阵的具体应用例子。自然光通过光轴夹角为的线偏振器之后，又通过，波片，快轴沿波片y轴，试用琼斯矩阵计算透射光的偏振态。解：自然光通过起偏器，成为线偏振光，其琼斯矢量为： (5-41)波片，波片，波片的琼斯矩阵G分别如下：则(5-42)透射光为：(5-43)Y轴方向落后，是左旋的椭圆偏振光，它的矢量端点轨迹为：(5-44)其中。所以有5.2.4密勒矩阵与琼斯矩阵的联系与区别斯托克斯矢量和琼斯矢量用不同的系列参数均可以用来描述光的偏振态，且可以通过两个斯托克斯矢量相加或者两琼斯矢量相加来求计算给定偏振光波相加的结果。而用密勒矩阵和琼斯矩阵来表示偏振器件，进而以相应的矩阵运算来处理偏振光的的传播是一种非常有用的数学方法和工具，但从上文的讨论和分析可知，这两种矩阵表示和运算之间也存在着不同，如琼斯矢量用于光波间相干迭加，而斯托克斯矢量则用于光波间的非相干迭加；琼斯矩阵运算能保留偏振光位相信息，而密勒矩阵运算则不能；密勒矩阵运算能处理包含消偏在内的问题，而琼斯矩阵运算则不能等。表3 常见偏振器件的密勒矩阵和琼斯矩阵光学元件密勒矩阵琼斯矩阵水平线起偏器垂直线起偏器线起偏器线起偏器波片（垂直快轴）波片（水平快轴）右旋圆起偏器左旋圆起偏器结 束 语光的偏振性质和传播过程中的各向异性过程，使光增加了一个可被控制的自由度，即偏振状态。通过适当的光路安排，可进一步将偏振状态的改变按一定规律转换成传播方向、位相、频率以及光强的改变。干涉、衍射和偏振都是波动光学的主要内容，在讨论光的本性时，必须把它们联系在一起。由于通常的光学仪器大部分都与成像和摄谱有关，所以必须掌握光学的基础知识，再者偏振现象比较不易观察，涉及到各向异性晶体等，比较难于接受。偏振问题是光学学习中的一个比较难于理解的问题，而矩阵方法在偏振光的表示和运算中有着独特的优点，本文全面系统地讨论分析了矩阵方法在偏振光的表示和运算中的应用。偏振光干涉是一种特殊的双光束干涉，它由同一束光的两个正交线偏振成分在某一方向上的分量叠加产生，并且它的两个干涉成分的位相差由同一束光经历的各向异性过程造成。偏振光干涉的两个干涉成分基本上甚至完全是共光路的，因而其干涉效果比较不容易受震动和气流等环境因素的干扰，并且它不需要一般双光束干涉装置中的分束和合束器件，但需要以偏振光作为输入，而且为了使经过各向异性过程后的两个正交分量投影到同一方向上，还需要在最后输出之前设置线偏器。晶体光学是光学的一个分支，它从麦克斯韦方程组和物质方程出发，利用多种数学工具，定量讨论晶体的各种光学性质以及光在晶体中的传播规律和在界面上的折反射规律，从而解释与晶体有关的各种光学现象，并为利用晶