高中数学必修2立体几何常考题型：平面.doc

平面【知识梳理】1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.3平面的表示法图的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.4平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl，且Pl【常考题型】题型一、文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例1】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解(1)点P直线AB；(2)点C 直线AB；(3)点M平面AC；(4)点A1平面AC；(5)直线AB直线BC点B；(6)直线AB平面AC；(7)平面A1B平面AC直线AB.【类题通法】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别【对点训练】1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解：(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图(1)；(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)；(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q，如图(3)题型二、点、线共面问题【例2】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内解已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内证法1：(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1、l2、l3在同一平面内证法2：(辅助平面法)l1l2A，l1、l2确定一个平面.l2l3B，l2、l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A、B、C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内【类题通法】证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”【对点训练】2下列说法正确的是()任意三点确定一个平面圆上的三点确定一个平面任意四点确定一个平面两条平行线确定一个平面ABC D解析：选C不在同一条直线上的三点确定一个平面圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定一个平面，不正确，正确当四点在一条直线上时不能确定一个平面，不正确根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故正确.题型三、共线问题【例3】已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示求证：P，Q，R三点共线证明法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R三点共线法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三点共线【类题通法】点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上【对点训练】3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线证明：如下图所示，连接A1B，CD1.显然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.平面ABC1D1平面A1BCD1BD1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.QBD1，即B，Q，D1三点共线【练习反馈】1若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作()AQbBQbCQb DQb解析：选B点Q(元素)在直线b(集合)上，Qb.又直线b(集合)在平面(集合)内，b，Qb.2两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A相交 B重合C相交或重合 D以上都不对解析：选C若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合3下列对平面的描述语句：平静的太平洋面就是一个平面；8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；四边形确定一个平面；平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集其中正确的是_解析：序号正误原因分析太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的平面是无大小、无厚薄之分的如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面平