毕业论文-随机变量独立性的探讨.doc

学 士 学 位 论 文 系 别: 应用数学系 学科专业: 数学与应用数学 姓 名: 段晓康 学 号: 2012064139 运 城 学 院二 零 一 四 年 五 月随机变量独立性的探讨系 别： 应用数学系 学科专业： 数学与应用数学 姓 名： 段晓康 指导教师： 冯变英 运 城 学 院 二 零 一 四 年 五 月 随机变量独立性的探讨摘 要 随机变量的独立性是概率论与数理统计中最基本的概念之一，它在实际应用中十分广泛，所以，关于随机变量独立性的判断成为概率论一个重要的研究课题，不少文献对随机变量独立性的问题进行了研究.本文首先介绍了随机变量独立性的定义，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法，同时得出了一些相关的推论，并对其运用进行了举例说明. 最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合.关键词 独立性 离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 方差Discussion on the Independence of Random VariablesAbstract Independence of random variables is one of the most basic concepts of probability theory and mathematical statistics, in its practical application is very extensive, so, about the independence of random variables in probability judgment has become an important research topic, a lot of literature on the independence of random variables in the study. This paper first introduces the definition independence of random variables, and the independence of the discrete random variables and continuous random variables are presented for the two discriminant method, and draw some relevant inferences, and its application is illustrated. Finally the article for the integration of some applications of the independence of random variables and random variables in the number of features in.Keywords independence discrete random variables continuous random variables mathematical expectation variance目 录引 言1第1章 随机变量独立性的定义11.1 随机事件独立性的定义11.2 随机变量独立性的定义3第2章 随机变量独立性的判定42.1离散型随机变量独立性的判定42.2连续性随机变量独立性的判定7第3章 独立随机变量的性质103.1数学期望性质103.2方差性质113.3协方差性质123.4相关系数性质12总 结13致 谢13参考文献14 引 言概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.对于现有的知识水平，掌握好这个问题，对于培养抽象概括能力、逻辑推广能力、空间想象能力和自学能力，以及研究这个课题在实际中的应用价值的体现，都有很大的帮助.对于独立性的理解和判定正确与否直接关系到建模解题全过程.事件的独立性和随机变量的独立性在概率计算的简化和证明中有广泛的应用.概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的.随机变量独立性的研究因而倍受重视.随机变量独立性的研究经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的时期.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献1中胡纲、张素霞对随机变量独立性存在的一些易错点进行了分析整合;文献2中佟毅对随机变量独立性的相关内容进行了论述.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论上还是实践中都有着重要意义.但不幸的是，到目前为止人们还没有找到有关随机变量独立性判定的简便有效的方法.本文将在此基础上对随机变量独立性做详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量独立性在求数字特征中的应用做详细的介绍.第1章 随机变量独立性的定义1.1随机事件独立性的定义独立性是概率中一个重要的概念，利用独立性可以简化概率的计算.下面先讨论两个事件之间的独立性，然后讨论多个事件之间的相互独立性.1.1.1两个事件的独立性 两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生.这在实际问题中是很多的，譬如在掷两颗骰子的试验中，记事件为“第一颗骰子的点数为1”，记事件为“第二颗骰子的点数为4”.则显然与的发生是相互不影响的.另外，从概率的角度看，事件的条件概率与无条件概率的差别在于：事件的发生改变了事件发生的概率，也即事件对事件有某种“影响”.如果事件与的发生是相互不影响的，则有 ,它们都等价于另外对,或,上式仍然成立.为此，我们用上式作为两个事件相互独立的定义.定义1.1 对任意两个随机事件与，如果有成立，则称事件与相互独立，简称与独立.否则称与不独立或相依.1.1.2多个事件的相互独立性 首先研究三个事件的相互独立性，对此我们给出以下的 定义1.2 设是三个事件，如果有则称两两独立.若还有则称相互独立. 由此我们可以定义三个以上事件的相互独立性.定义1.3 设有个事件,对任意的如果以下等式均成立则称此个事件,相互独立.从上述定义可以看出，个相互独立的事件中任意一部分内仍是相互独立的，而且任意一部分与另一部分也是独立的.1.2 随机变量独立性的定义以随机事件的独立性为基础，我们再来定义随机变量的独立性.1.2.1二维随机变量的独立性 与是两个随机变量，若对任意区间及，事件与事件都相互独立，则称随机变量与相互独立，简称与独立；否则，就成与不独立.所以我们给出下面定义： 定义1.4 设 是二维随机变量，如果对任意的实数总有，即，则称随机变量相互独立.1.2.2维随机变量的独立性定义1.5 设维随机变量的联合分布函数为=其边际分布函数为=如果对任意个实数，有则称个随机变量相互独立.第2章 随机变量独立性的判定2.1 离散型随机变量独立性的判定2.1.1判别法一用随机变量独立性的定义判别，是对一系列随机事件的独立性做出判定，进而判定随机变量的独立性.这是随机变量独立性的本质回归.定理2.1 设为二维离散型随机变量，则与相互独立的充要条件是对的所有可能值，都有：定理2.2 设为维离散型随机变量，如果对任意个取值有则称相互独立.例2.1 设二维随机变量的联合分布列为0.20.20.30.3 问是否独立？解：的分布列：0.2+0.30.2+0.3 的分布列：0.2+0.20.3+0.3因为（0.2+0.2）（0.2+0.3）=0.2（0.2+0.2）（0.2+0.3）=0.2（0.3+0.3）（0.2+0.3）=0.3（0.3+0.3）（0.2+0.3）=0.3由定理2.1可知独立.2.1.2判别法二设是二维离散随机变量，其联合概率分布（，）可以用下表表示： 表2.1 二维离散随机变量的联合分布概率表且矩阵=称为联合概率分布矩阵，其向量记为.记的联合分列为. 引理2.1 设是非零向量，与线性相关，则可由线性表出. 定理2.3 若则和相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量（或列向量）线性相关.推论2.1 若则和相互独立的充要条件是矩阵的任何两行(或两列)元素对应成比例.推论2.2 若则和不相互独立的充要条件是存在两个行向量（或列向量）线性无关.推论2.3 若则和不相互独立的充要条件是存在两个行（或两列）对应元素不成比例.推论2.4 若则和相互独立的充要条件是矩阵的秩为1.推论2.5 若则和相互独立的充要条件是矩阵的秩大于1.推论2.6 若中有某个但元素所在的行与列的所有元素不全为零，则与不相互独立. 例2.2 设随机变量的概率分布为判断与是否相互独立？解：因为即 所以.由推论2.6可知，与不相互独立.2.2 连续型随机变量独立性的判定2.2.1判别法一定理2.4 设随机变量的联合分布函数为，其边际分布函数分别为则与相互独立的充要条件是对任意实数都有： 该定理把随机变量的概率关系转化为函数关系，而函数关系的判别一般来说会容易些.2.2.2判别法二对于连续型随机变量与的独立性，一些概率教科书给出了如下结果：设是二维连续型随机变量，则与独立的充分必要条件是联合密度函数等于两个边际密度函数的乘积，即 事实上，上面的随机变量相互独立的充要条件是非必要的，更准确地说，二维连续型随机变量相互独立的充要条件是：几乎处处有联合密度函数等于两个边际密度函数的乘积.有了这样的认识，当我们在考试或练习中遇到两个随机变量不独立的证明问题就要慎重了。必须在一个有效区域（非零测度集）上验证，才能说这两个随机变量不独立.下面给出严格意义上的充要条件： 定理2.5 设二维连续型随机变量有联合密度函数，其边际密度函数分别为则与独立的充分必要条件是：几乎处处成立. 该定理给出了判别独立性的一个方法：若几乎处处成立，则与相互独立；若存在非零测度集,使当时恒有，则与不独立. 例2.3 若二维随机变量的联合密度函数为问与是否相互独立？ 解： 先分别求出和的边际密度函数：当或时，而当时，有因此 同样，当或时，而当时，有因此由此可见： 故与不独立，即相依.2.2.3判别法三 定理2.5中的判定独立性的方法对数学要求较高，而且边际密度函数的计算有时也会很繁琐，值得推介的是定理2.7的推论： 推论2.7 设二维随机变量的联合密度函数为连续函数则随机变量与相互独立的充要条件为：（1）存在连续函数与使（2）分别是与无关的常数或例2.4 设的联合密度函数为讨论的相互独立性.解：设，则有：又因为 由此可见相互独立.推论2.8设是连续型随机变量，其联合密度函数为，其中则随机变量相互独立的充要条件为： （1）存在连续函数，使= （2）均为与无关的常数或第3章 独立随机变量的性质在概率论的学习中，人们往往对一些概念和命题由于理解上的偏差而产生错误的结论.下面根据在概率论的教学实践中常见的有关随机变量独立性的几个容易出现错误的命题，结合反例给予说明.3.1数学期望性质 定理3.1 两个随机变量相互独立，则.但反之，不成立.即，得不出相互独立. 例3.1 设服从区域上的均匀分布，其则的联合密度函数为：经计算有， 所以，故与不独立.而所以例3.2 已知随机变量，其中的期望. 误解：因为同理有,且则 分析：对于,不能直接用，因题中与并非相互独立.可利用协方差、的关系来计算.解：因为则 3.2方差性质定理3.2 两个随机变量相互独立，则.但反之，不成立.即，得不出相互独立.例3.3 设随机变量且相互独立，则是多少？解：由知又因为相互独立，所以=2+7=9上面两个定理需要注意的是，期望和方差的两个性质在和相互独立的条件下才成立，否则需利用其它方法解决问题.3.3协方差性质定理3.3 两个随机变量相互独立，则.但反之，不成立.即，得不出相互独立.3.4相关系数性质 定理3.4 两个随机变量相互独立，则.但反之，不成立. 即则，得不出相互独立.定理3.5 两个随机变量相互独立，则与也相互独立，但反之，不成立.即与相互独立，得不出相互独立. 定理3.6 两个随机变量相互独立，则与不相关. 但反之，不成立.即与不相关，得不出相互独立.但当服从二维正态分布时，相互独立与、不相关两个概念等价. 事实上，当相互独立时，,所以从而与不相关.总 结独立性是古典概型事件中一个重要的概念，本文对随机变量的独立性做了详细、全面的论述.先是介绍了随机事件的独立性的定义及性质，从而得到随机变量的独立性的定义及性质，再将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量.文中重点对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性给出了判别方法，从二维到维进行了全面的总结.由部分例题可以清楚的看到如何用定义及性质来解题，让读者看完后能掌握用独立性解题的方法和独立性的概念应用.对于离散型随机变量，可通过式子或联合概率分布矩阵中行(列)向量的线性关系来判别变量间的独立性；对连续型随机变量，可通过边际密度函数的乘积与联合密度函数的关系,或联合密度函数是否可分离来判别变量间的独立性等等