毕业设计（论文）-傅里叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件.pdf

CHANGSHACHANGSHAUNIVERSITYUNIVERSITYOFOFSCIENCESCIENCETECHNOLOGYTECHNOLOGY毕业设计（论文）毕业设计（论文）题目题目：傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件逐项微分的条件学生姓名：学生姓名：肖运健肖运健学学号：号：200664090212200664090212班班级级:数学数学06-0206-02班班专专业：业：数学与应用数学数学与应用数学指导教师：指导教师：周肖沙周肖沙20102010年年66月月傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件学生姓名学生姓名：肖运健肖运健学学号：号：200664090212200664090212班班级：级：数学数学06-0206-02班班所在院所在院(系系):数学与计算科学学院数学与计算科学学院指导教师指导教师：周肖沙周肖沙完成日期完成日期:20102010年年66月月毕业设计（论文）任务书毕业设计（论文）任务书数学与计算科学学院数学与应用数学专业0602班题目傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件任务起止日期：2010年4月日2010年6月日学生姓名肖运健学号200664090212指导教师周肖沙教研室主任年月日审查院长年月日批准一、毕业设计（论文）任务一、毕业设计（论文）任务课题内容傅里叶级数是在数学与工程技术中都有着广泛应用的一类函数项级数，即由三角函数列所产生的三角形级数。在数学分析教材中，主要介绍了傅里叶级数的收敛性定理及如何将函数展开成傅里叶级数或正、余弦级数。而对于傅里叶级数的解析性质讨论较少，对它的讨论主要体现在章节的习题中。在此，要求学生对傅里叶级数的解析性质作全面系统的收集与研究，一方面是让学生对傅里叶级数内容有更进一步地了解，另一方面提高学生归纳总结及深入研究的能力。课题任务要求1.目的：培养学生科学的思维方式，综合运用所学理论、知识和技能分析和解决实际问题的能力。2.要求（1）根据毕业论文任务书完成开题报告；(2)收集并整理傅里叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分定理；(3)给出相应定理的例题；(4)讨论其中某些定理或习题的条件，能否减弱？或修改某些条件，结论将增强？(5)能否找出教科书在本章中的错题？如果有，给出反例并给出修改条件；（6）翻译一篇相关内容的专业英文资料，要求不少于5000字符。（7）研究要系统、完整、科学、严谨；（8）按时完成毕业论文；（9）论文及相关材料符合“长沙理工大学毕业论文管理条例”和“数计学院毕业论文工作条例”。课题完成后应提交的文件（或图表、设计图纸）1.规范的毕业设计（论文）一本（撰写规范见教务处网页）；2.任务书一份；3.开题报告（含文献综述）一份；4.译文（5000字）及原文影印件各一份；5.论文电子文档由学院收集保存。主要参考文献与外文翻译文件（由指导教师选定）1华东师范大学数学系.数学分析M，北京：高等教育出版社出版，年份：页码2陈建功.三角级数论M，上海：上海科学技术出版社出版，年份：页码3李铁木.分析提纲与命题证明(第二册)M，北京：宇航出版社出版，年份：页码4北京大学数学系林源渠等.数学分析习题集M，北京：高等教育出版社出版，年份：页码5G.H.哈代W.W.洛戈辛斯基著，徐瑞云、王斯雷译.傅里叶级数M，上海：上海科学技术出版社，年份：页码6朱时.数学分析札记M，贵州：贵州教育出版社，年份：页码7汪林，戴正德，杨富春，郑喜印.数学分析问题研究与评注M，北京：科学出版社，年份：页码8何琛，史济怀.高等学校教学参考书数学分析M，北京：高等教育出版社，年份：页码9美HJ威佛.离散和连续傅里叶分析M，北京：北京邮电学院出版社，年份：页码10PusishedsyarrangementwiththeoriginalpubisherPearsonEducationInc.publishingasPrenticeHall(翻译文章)同组设计者无注：1.此任务书由指导教师填写。如不够填写，可另加页。2.此任务书最迟必须在毕业设计（论文）开始前一周下达给学生。3.此任务书可从教务处网页表格下载区下载二、毕业设计（论文）工作进度计划表二、毕业设计（论文）工作进度计划表序序序序号号号号毕毕毕毕业业业业设设设设计（论计（论计（论计（论文）工文）工文）工文）工作作作作任任任任务务务务工工工工作作作作进进进进度度度度日日日日程程程程安安安安排排排排周周周周次次次次11112222333344445555666677778888999910101010111111111212121213131313141414141515151516161616171717171818181819191919202020201搜集资料一2开题报告一一3英文翻译一一4撰写毕业论文一一一一一一一5中期检查一6毕业论文修改一7毕业论文答辩一8毕业论文资料整理一910注：1.此表由导师填写；2.此表每个学生人手一份，作为毕业设计（论文）检查工作进度之依据；3.进度安排请用“一”在相应位置画出。三、学生完成毕业设计（论文）阶段任务情况检查表三、学生完成毕业设计（论文）阶段任务情况检查表时间第一阶段第二阶段第三阶段内容组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况检查记录教师签字签字日期签字日期签字日期注：1.此表应由指导教师认真填写。阶段分布由各学院自行决定。2.“组织纪律”一档应按长沙理工大学学生学籍管理实施办法精神，根据学生具体执行情况，如实填写。3.“完成任务情况”一档应按学生是否按进度保质保量完成任务的情况填写。包括优点，存在的问题与建议4.对违纪和不能按时完成任务者，指导教师可根据情节轻重对该生提出忠告并督促其完成。四、学生毕业设计（论文）装袋要求：四、学生毕业设计（论文）装袋要求：1.毕业设计（论文）按以下排列顺序印刷与装订成一本（撰写规范见教务处网页）。(1)封面(2)扉页(3)毕业设计（论文）任务书(4)中文摘要(5)英文摘要(6)目录(7)正文(8)参考文献(9)致谢(10)附录（公式的推演、图表、程序等）(11)附件1：开题报告（文献综述）(12)附件2：译文及原文影印件2.需单独装订的图纸（设计类）按顺序装订成一本。3.修改稿（经、管、文法类专业）按顺序装订成一本。4.毕业设计(论文)成绩评定册一份。5论文电子文档由学院收集保存。学生送交全部文件日期学生（签名）指导教师验收（签名）傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件摘要应用贝塞耳不等式得出：若f以2为周期且具有二阶连续的导函数，则f的傅立叶级数在)(+上一致收敛于f的关键结论。通过对一致收敛性、逐项积分和逐项微分条件的分析和证明，我得到如果傅立叶级数一致收敛，傅立叶级数也可逐项积分和逐项微分。在傅立叶级数框架下继续研究，傅立叶级数是非常重要的理论工具，在理工科中应用很多，尤其在工科上极为重要，对傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件的分析能够让我们能够更好理解并在实践中应用傅立叶级数关键词：一致收敛性；逐项积分；逐项微分；傅立叶级数傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件UUUUNINININICCCCONVERGENCEONVERGENCEONVERGENCEONVERGENCEOFOFOFOFFFFFOURIEROURIEROURIEROURIERSEREESSEREESSEREESSEREESONEONEONEONEBYBYBYBYONEONEONEONEINTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALANDANDANDANDDIFFERENTIALDIFFERENTIALDIFFERENTIALDIFFERENTIALCONDITIONSCONDITIONSCONDITIONSCONDITIONSITEMIZEDITEMIZEDITEMIZEDITEMIZEDABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACTIhavecometotheconclusionwithapplicationofBesselinequality:Ifthatcycleandhasasecond-ordercontinuousderivativethentheFourierseriesconvergestofinthekeyconclusion.Bystudyinguniconvergence、onebyoneintegralanddifferentialconditionsitemwithitemanalysisandproofifwegetuniconvergenceofFourierseriesFourierseriescanalsobeintegralandonebyonebyonedifferential.IntheframeworkofFourierseriestocontinuetostudyFourierseriesisaveryimportanttheoreticaltoolinmanyscienceandengineeringapplicationespeciallyinengineeringcourse.theuniconvergenceofFourierseriesonebyoneintegralanddifferentialitemizedConditionsofanalysiscanenableustobetterunderstandandapplyinpracticingtheFourierseriesKeywords:Keywords:Keywords:Keywords:uniconvergenceitemizedpointstermdifferentiationFourier傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件目录1绪论11.1背景11.2展望22傅立叶的形式介绍32.1傅立叶级数的三角形式32.2傅立叶级数的复指数形式42.3三角形式和复指数形式的傅立叶级数及其系数之间的关系63函数项的一致收敛定义74傅立叶级数收敛定理及其判别法84.1傅立叶级数收敛定理84.2傅立叶级数收敛判别法85对傅立叶级数的一致收敛条件的研究136对傅立叶级数的逐项积分和逐项微分条件的研究17参考文献19致谢20傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件第1页共20页1绪论1.1背景傅立叶级数Fourierseries一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J傅立叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅立叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅立叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。傅立叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。傅立叶对科学界的贡献傅立叶是法国分析学派公认的代表他认为:“数学分析与自然界本身同样的广阔.”1807年他开始热传导的数学研究工作此项目1812年荣获巴黎科学院的格兰德（Grand）奖.他1822年出版的名著热的分析理论是一本将数学理论应用于物理学的典范是数学物理学的一个里程碑.他杰出的贡献就在于阐述并列举了相当一类函数（连续的或不连续的）能用形如的三角级数来表示但没有给出明确的条件和完整的证明.傅立叶这项工作的重大意义是它不仅推动了偏微分方程理论的发展而且改变了数学家们对函数概念的一种传统的有局限的认识从而大大地扩充了函数概念的本身.傅立叶级数还对积分概念产生了重要影响它重申和强调定积分可作为和式的极限来定义致使黎曼（Riemann）于1854年在用三角级数表示函数的文章中第一次阐述了目前教科书中通用的积分定义.此外傅立叶级数对一致收敛性概念、无穷行列式、康托尔的集合论的建立和发展都起到了促进作用.傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件第2页共20页傅立叶在1811年首先给出了级数收敛及级数和的正确定义并指出了拉格朗日的一个错误.傅立叶指出通项趋近于零并非级数收敛的充要条件而仅是必要条件.傅立叶在级数方面的工作引出了分析学的许多重大问题从而开辟了分析学的新时代.他的论著简洁而清晰具有很强的几何直观和实际的物理意义.而在处理问题时又表现出高超的分析技巧和使用符号的才能.因此著名物理学家麦克斯韦（Maxwell）称“傅立叶的论著是一部伟大的数学诗”.恩格斯（Engels）则把傅立叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔（Hegel）相提并论他写道:“傅立叶是一首数学的诗黑格尔是一首辩证法的诗.”傅立叶还写过一本方程测定分析（1831年）其中包括他16岁时对笛卡儿符号法则的改进证法和在此基础上得到的给定范围内次代数方程实根个数的判别法.在数学中以他的姓氏命名的有:傅立叶级数、傅立叶系数、傅立叶变换、傅立叶积分、傅立叶代数、傅立叶公式、傅立叶和、傅立叶乘子、傅立叶积分方程、傅立叶积分算子等等而其中以他的姓氏命名的变换、公式等有多种.1.2展望由于傅立叶级数在工业方便的应用非常广泛，所以未来对傅立叶级数的研究一定会更有深度包含更广的范围，未来的傅立叶级数在工业应用中极为重要，所以未来傅立叶级数的发展前景会更好。傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件第3页共20页2傅立叶级数的形式介绍三角函数集在区间(式中02=T)是一个完备正交函数集。复指数函数集在区间内也是完备正交函数集。所以函数在区间内可以展开为正交三角函数或是正交复指数函数的加权和，将函数周期化扩展到整个时间轴，就得到周期函数的三角函数级数展开或复指数函数级数展开，它们是傅立叶级数两种不同的表示形式。2.1傅立叶级数的三角形式设周期信号)(tf，其周期为，角频率为Tf2200=，则该信号可展开为下面三角形式的傅立叶级数(3-2)式(3-2)中各正、余弦项的系数称为傅立叶系数。(3-3)傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件第4页共20页上面积分区间可以是周期信号的任意一个周期。式(3-2)还可写成下列形式，(3-4)式中(3-5)若将式(3-4)转化成式(3-2)，其系数之间的关系如下：(3-6)从物理概念上来说，式(3-4)中信号的直流分量；信号的基波或基波分量，它的角频率与原周期信号相同，是基波振幅，是基波初相角；信号的二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，是二次谐波振幅，是其初相角；以此类推，称为信号的次谐波，是次谐波振幅，是其初相角；比较大的那些分量有时候又通称为高次谐波。2.2傅立叶级数的复指数形式三角形式傅立叶级数，物理含义明确，但运算不便，因而常用复指数形式的傅立叶级数。设周期信号，其周期为，角频率为Tf2200=，该信号复指数形式的傅立叶级数为傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件第5页共20页(3-7)其中(3-8)称为复指数形式傅立叶级数系数。三角形式的傅立叶级数物理含义明确，而指数形式的傅立叶级数数学处理方便，而且很容易与后面介绍的傅立叶变换统一起来。两种形式的傅立叶级数的关系可由下式表示其中：傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件第6页共20页2.3三角形式和复指数形式的傅立叶级数及其系数之间的关系三角形式和复指数形式的傅立叶级数及其系数之间的关系三角形式和复指数形式的傅立叶级数及其系数之间的关系三角形式和复指数形式的傅立叶级数及其系数之间的关系。周期信号展开为傅立叶级数傅立叶级数形式展开式傅立叶系数傅立叶系数之间关系三角形式指数形式傅立叶级数的一致收敛性、逐项积分和逐项微分的条件第7页共20页3函数项的一致收敛定义一致收敛的概念：函数项级数在收敛域I上收敛于和)(xs，指的是它在I上的每一点都收敛，即对任意给定的0及收敛域上的每一点x，总相应地存在自然数)(xN，使得当Nn时，恒有时，不等式，都存在着一个与x无关的自然数N使得当Nn时对区间I上的一切x恒有+=0100 xnxnxxfn=0100)(limxxxfnn设=0100)(xxxf，则)(xf在0+上不连续，又)(xfn在0+上不连续，从而)(xfn在0+上不一致收敛，由)(xf不连续可得，)(xf在0+上不可微，但)(xf在0+上可积。（2）当.0)+aax，)(1)(lim+=axxfxfnx故nxnxxfxfxanxa+=+=+b的联合概率；)(1)(1cccbYaXPbYaXPbYaXP=)(1bYaXP=1bYaXPbYPaXP+=1-)()()(baFbFaFYx+（1-1）式(1-1)是式（1-2）的特殊情况，证明留作习题。)()()()(122111222121baFbaFbaFbaFbYbaXaP+=0)(:)()(yxpxYyxpyp例1a从装有3个红球、4个白球u、5个篮球的罐中随机地抽取3个球。设X和Y分别代表取到的红球数和白球数，则X和Y的联合概率质量函数为)(jYiXPjip=，分别如下：=31235)00(p=22010220403122514)10(=p220303121524)20(=p220431234)30(=p220303122503)01(=p22060312151413)11(=p220183122413)21(=p220153121523)02(=p220123121423)12(=p220131233)03(=p这些概率用表6-1表示。值得注意的是，X的概率质量密度为行和，Y的概率质量密度为列和。由于X或Y的概率质量函数为边缘处的值，所以通常分别成为各自的边缘概率质量函数。例1b假定在一个特定的社区里15%的家庭没有孩子，20%的家庭有1个孩子，35%的家庭有2个孩子，30%的家庭有3个孩子；同时进一步假设在每一个家庭中有男孩或者女孩的机会均等且独立。如果从这个社区里随机地选一个家庭，B代表男孩的数目，G代表女孩的数目，联合分布密度函数如表6-2所示这些概率如下所示:PB=0G=0=P没有孩子=0.15PB=0G=1=P一个女孩且只有一个孩子=p一个孩子P一个女孩|一个孩子=（0.20）(21)PB=0G=2=P2个女孩且只有2个孩子=P2个孩子P2个女孩|2个孩子=（0.35）2)21(表6-2中其余概率的证明留给读者。称X和Y的联合连续型的（jointcontinuous）如果存在一个函数)(yxf，对所有的实数X和Y，使得对所有实数对组成的任一集合C（即C使二维平面上的一个集合）具有性质；=CyxdxdyyxfCYXP)()()(函数)(yxf称为X与Y的联合概率密度函数（jointprobabilitydensityfunction）.设A，B为任意的实数集，令:)(ByAxyxC=yAxBddyxfBYAXp=)(因为yaxbddyxfbYaXPbaF=)()(因此，只要偏导数存在，对上式求导得)()(2baFbabaf=由式（1-4）可以得到联合密度函数的另外一种解释如下：当da，db很小而且)(yxf在ab点上连续时，baydaaxdbbbaddbafddyxfdbYbdaXaPb)()(=+因此，)(yxf是随机向量（XY）落在（ab）附近的可能性大小的一个量度。如果X和Y事联合连续型的，在X与Y也分别为连续型的，其概率密度函数可如下求得：xAXyxAdxfddyxfYAXPAXp)()()(=其中=yxdyxfxf)()(是X的概率密度函数。同理，Y的概率密度函数为=xYdyxfyf)()(例1c设X与Y的联合密度函数为1Y1(b)PXY，（c）PXa.解(a)dyeedxdyeeYXPxyyx)1|(22111022101=102121)1(eedyeey(b)=yxyxyyxyxdxdyeedxdyeeYXP:)(0022223132122)1(2030202=dyedyedyeeyyyy(c)aaxaxyedxedxdyeeaXP=+=若若其中C是某个常数。（a）确定c的值。（b）求X与Y的边缘密度函数。（c）计算所选的点到坐标原点的距离D不大于a的概率（d）求DE解（a）因为=1)(dydxyxf所以+=2221Ryxdydxc使用极坐标计算+222Ryxdydx，或者更简单地，注意上述积分别代表圆的面积，所以等于2R。因而，21Rc=(b)+=22221)()(RyxxdyRdyyxfxf=ccdyR2122xRc=2222xRR=22Rx当22Rx时，上式为0。根据对称性，Y的边缘密度函数为222222202)(RyRyyRRyfY=（c）所选点到原点的距离22YXD+=的分布函数为：对Ra0，)(2222aYXPaYXPaFD+=+=+=22222221)(ayxayxdydxRdydxyxf2222RaRa=这里利用+222ayxdydx时半径为a的圆的面积，所以等于2a。（d）从（c）部分可以得到D的密度函数为22)(RaafD=Ra0因此=RRdaaRDE022322例1eX与Y的联合概率密度函数为其他0+=aYXayyxyxYXdxdyedxdyeaYXPaF00)()()(1110|1)1(0)1(+=+=+aaeedyeeyayyay求微分得到XY的密度函数为+=aaafYX0)1(1)(2。仿照二维的情形，我们用同样的方法可以定n个随机变量的联合概率分布。例，如n个随机变量nXXX21的联合分布函数F).(21naaa为nnnaXaXaXPaaaF=)(221121此外，如果存在一个联合概率密度函数，使得对n维空间中的任一子集C，有nnCxxxndxdxdxxxxfCXXXPn)()(2121)(2121=则n个随机变量的联合3连续型。特别地，对任意n个实数集合nAAA.21，有=nnAAAnnnndxdxdxxxxfAXAXAXP11)(21212211例1f（多项分布）多项分布是最重要的联合分布之一，它产生于进行n次独立重复实验的序列。设每次实验的结果是r个可能的结果之一，且各自出现的概率分别为1121=riirpppp。如果令iX代表n次实验中第i个结果出现的次数，则rnrnnrrpppnnnnnXnXnXP21213212211!=（1-5）其中nnrii=1。这是因为，由实验的独立性假设知，对n次实验中第i个结果出现in（i=123r）次的任一实验结果序列，其发生的概率等于，而这样的实验结果序列共有n！个（n个元素，其中1n各相同，另2n个相同，另rn个相同，共有n!(!21!.!rnnn)种不同的排列），由次即得式（1-5）。以式（1-5）为联合概率质量函数的联合分布称为多项分布。读者注意，当r=2的时，多项分布就化为二项分布。作为多项分布的一个应用，假定将一个均匀筛子掷9次，则1出现3次，2和3各出现2次、4和5各出现1次，6没有出现的概率等于9011223)61(!2!2!3!9)61()61()61()61()61()61(!0!1!1!2!2!3!9=6.2独立随机变量随机变量X和Y是独立的，如果对任意的实数集合A和B，有BYPAXPBYAXP=(2-1)换句话说，X和Y是独立的，如果对所有A、B，事件AXEA=和事件BYFB=独立利用概率论的三个公里可以证明式(2-1)成立，当且仅当对有所得ab有bYPaXPbYaXP=因此，如果X和Y的联合分布函数用F来表示，则X和Y独立，当且仅当对一切ab有)()()(bFaFbaFYX=当X和Y事离散型随机变量时，独立性条件式（2-1）等价于对有所得xy有)()()(ypxpyxpYX=实际上，如果式（2-1）满足，我们令其中的A和B分别为单点集，A=xB=y即得式（2-2）。反之，式（2-2）成立，则对任意集合AB，有)()()(ypxpyxpBYAXPYByAxXByAx=)()(AXPBYPxpypByAxXY=从而式（2-1）成立在联合连续的情况下，条件独立性等价于对有所得xy有从而式（2-1）成立。在联合连续的情况下，条件独立性等价于对有所有的xy，有因此，更一般的江，X和Y是独立的，如果已知其中的一个随机变量的值不会改变另一个随机变量的分布。随机变量不独立，则称为相关的。例2a假设进行m+n次独立实验，成功的概率均为p。如果X代表前n次实验中成功的次数，Y代表后m次实验中成功的次数，则X和Y是独立的，因为前n次实验中成功的次数不会影响后m次实验中成功次数的分布（因为假设是独立实验）。事实上，对整数xy有ymyxnxppymppxnyYxXP=)1()1(mynx00yYPxXP=另一方面，X与Z是相关的，其中Z是m+n次实验中成功的总次数。（为什么？）例2b设在某一天里进入邮局的人数是一个参数为的泊松随机变量。试证：如果每一个进入邮局的人是南京的概率为p是女性的概率为1-p，则进入邮局的男性的认识和女性人数是分别以p和)1(p为参数的独立泊松随机变量解令X与Y分别代表进入邮局的男性人数和女性人数。利用式（2-2）来证明X和Y的独立性。为得到PX=i，Y=j的表达式，将X+Y作为条件如下：|jiYXPjiYXjYiXPjYiXP+=+=+=|jiYXPJiYXjYiXP+=+例。)P(FF|P(EF)P(F)|P(EP(E)cc+=由于|jiYXPjiYXjyiXPjYiXP+=+=+=现在，因为X+Y代表进入邮局的总人数，故由假设可知)!(jiejiYXPji+=+=+此外，考虑i+j个人进入邮局，因为每个进入邮局的人是男性的概率为p所以恰有i个人为男性（从而有j个人为女性）的概率正好是二项概率jippiji)1(+，也就是说，jippijijiYXjYiXP)1(|+=+=+=将式(2-4)、（2-5）代入式（2-3）则()!)1(!)(1jpeipejpip=从而()!)(!)1(!)(1ipejpeipeiXPipjjpip=同理可得()!)1(1jpejYPjp=式（2-6）、（2-7）及（2-8）既是我们所要证明的结果。例2c一个男人在和一个女人约定在某地相会，假如每个人到达的时间是相互独立的，且在中午12时到下午1时之间是均匀分布，求先到者要等待10分钟以上的概率。解设男人到达的时间为12时X分，女人到达的时间是12时Y分，则X和Y为独立随机变量，服从（060）上的均匀分布。要求的概率为PX+10Y+PY+10X由对称性可知等于2PX+10Y而+=+yxYXyxdydxyfxfdydxyxfYXP1010)()(2)(2102=60102260101003625)10()60(26012dyydxdyy下一个例子是涉及几何概率的一个最古老的问题，通常称为蒲丰（Buffon）投针问题，它是18世纪法国博物学家蒲丰最先研究和解决的。例2d（蒲丰投针问题）桌面上面有一些平行线，每两条线之间的距离都等于D，一根长度为L（LD）的针随机地投在桌面上，试问此针与其中一条平行线相交的概率是多少（另外一种可能是这根完全落在两条平行线之间的带中）？解以X表示这根针的中点到离它最近的一条平行线的距离，以表示这个针与X所在的投影线的夹角（见图6-2），如果图6-2中右方直角三角形的斜边的长度小于L2，则此针必与一条线相交。即当cos22cosLXLX或时，针与一条线相交。因为X和0在D2之间变化，在0到2之间变化，故可设他们是独立的，jijijipjipejieppijijYiXP)1(!)()!()1(=+=+并且在自己的变化范围上式均匀分布的随机变量。因此dxdyDdxdyyfxfLXPyLyLxX=20cos20cos24)()(cos2DLydyLD2cos2420=例2e（正太分布的刻画）一颗子弹打在靶子上，令X和Y分别表示子弹的弹着点距靶心的水平偏差和垂直偏差，并且假定1X和Y为独立的连续性随机变量，且具有可微密度函数。2X和Y的联合密度)()()(yfxfyxfyx=作为(xy)的函数只依赖22yx+粗略的讲，假定（2）表示子弹射中x-y平面内任意一点的概率，仅依赖于该店到靶心的距离而不依赖于其他方向角。假定（2）的另外一种等价描述为联合密度函数是旋转不变量。更有趣的是，假定（1）和（2）隐含着X和Y都是正太分布的随机变量这一事实。为了证明这一点，首先注意到由上面的假定可以导出关系式)()()()(22yxgyfxfyxfYX+=其中g为某一个函