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关于数学探究课堂设计的思考从圆周角定理一课说起 付新民李筱勇 （陕西省黄陵县侯庄中学727300） 【摘要】数学探究课能体现学生对知识的主动建构，培养学生数学思考能力、解决问题能力，培养学生问题意识、质疑和创新精神，达到对数学文化的理解。但其实施有一定难度，既要从理论上研究，又要调查和实践。本文从圆周角定理一课的设计说起，谈谈关于数学探究课堂设计的几点思考。 关键词数学探究课堂；设计；几点思考； 思考1：这节课教给学生什么？即这节课的教学目标是什么？ （1）知识目标：理解圆周角的概念，理解圆周角定理及其推论。初步学会用圆周角定理解题。 （2）数学思考：通过探究一条弧所对的圆周角与圆心角关系的过程，培养学生观察、猜想、推理证明的能力，实验检验的能力。 （3）解决问题：经历探究一条弧所对的圆周角与圆心角关系的过程，体会一条弧所对的圆周角与圆心角的内在关系、分类讨论的思想方法、从图形运动看分类，克服静止片面的思维方式和化繁为简的解决问题策略。 （4）情感态度：培养学生质疑和反思评价的能力，创新应用能力，合作交流能力，体验探究成功的喜悦和知识的价值。 课时安排：2教时 本节课承担的任务较重，内容较多，为了使学生对新知识的主动建构有充分的时间保证，突出学生探究能力的培养，因此把应用和证明作为另一个重点安排在下一课。 重点： 理解圆周角的概念，理解圆周角定理及其推论。初步学会用圆周角定理解题；通过探究一条弧所对的圆周角与圆心角关系的过程，培养学生观察、猜想、推理证明的能力，实验检验的能力。经历探究一条弧所对的圆周角与圆心角关系的过程，体会一条弧所对的圆周角与圆心角的内在关系。 难点： 体会从事物的量之间存在一定的数量关系出发，猜想出一条弧所对的圆周角与圆心角的度数存在一定的数量关系；体会从图形的运动上看如何对圆周角分类，克服静止片面的思维方式；体会化繁为简的解决问题策略。 思考2：如何设计探究的总问题情境？总问题情境有什么要求？ （1）刘兼教授认为：一个好的问题情境对于理解新的数学概念、形成新的数学原理、产生新的数学公式，或蕴含新的数学思想会有积极的促进作用；能够充分调动起学生原有的生活经验或数学背景，更能激发起由情境引起的数学意义的思考，从而让学生有机会经历“问题情境建立模型解释或应用”这一重要的数学活动过程。 （2）吕传汉先生、夏小刚先生提出了数学情境的创设应遵循的要求：（1）合理性。即情境创设中的背景信息应符合现实生活场景和事物运动的客观规律，其数学信息应符合学生的认知发展规律；（2）问题导向性。即数学情境的创设应以激发学生问题意识为价值取向。（3）有效性。即数学情境的创设应以教学目标的有效实现为着力点。 （3）一个比较好的数学问题情境应该具有衍生性，也就是通过这个情境能够产生一连串、环环相扣、由浅入深的问题。 （4）富有趣味性、有价值，能充分激发学生的探究激情，培养学生的创新能力。 按照以上要求我设计了下面的总问题情境： 剧院和大会堂的观众席常设计在同一条弧上，如图所示：你想知道这样设计有什么好处吗？ 总问题情境的设计目的：激发学生的探究兴趣，引导探究的逐步深入，并不要求学生独立探究，只是为了设置悬念。 思考3：如何设计探究课的环节和步骤？ 笔者认为：探究课按照“问题情境-数学建模-解释应用-反思评价”四个环节较好。 环节一：创设问题情境，激发学生探究兴趣。 课件出示上述总问题情境，激发学生兴趣，设置悬念。引导探究的逐步展开。 环节二：设计环环相扣的问题链，引导学生逐步深入探究问题。 分步骤：（1）由观众的视角引出圆周角的概念。引导学生观察圆周角的特点，归纳出圆周角的概念。 问题：如图：观众A的视角为DAC，观众B的视角为DBC，这两个角有什么特点？从角的概念入手分析。 引导学生归纳出圆周角的概念：像DAC和DBC顶点在圆上两边和圆相交的角是圆周角。 （2）引导学生猜想出：同弧所对的圆周角相等. 问题：仔细观察图中的两个圆周角DAC和DBC还有什么特点？ 引导学生观察得出DAC和DBC是同一条弧DC所对的圆周角。 用量角器度量DAC和DBC你能猜想到什么？ 学生猜想出：同弧所对的圆周角相等。 （3）引导学生质疑反思，引出理论证明的必要性。 问题：能不能通过度量弧DC所对的所有圆周角的方法来证实你的猜想呢？ 学生在讨论的基础上得出：用度量弧DC所对的所有圆周角的方法来证实猜想是很麻烦的。 （4）引导学生探究从理论上证明猜想。 （师）我们已经得出圆周角DAC和DBC所对的弧是同一条弧弧DC，那么它们是否与弧DC所对的圆心角有关系呢？ 激发学生提出寻找同弧所对的圆周角与它所对的圆心角度数的数量关系的问题意识。 （师）如图：你能提出什么问题？ （生）弧DC所对的圆周角DBC、DAC和它们所对的圆心角DOC的度数究竟存在怎样的数量关系呢？ （师）你能探究所提出的问题吗？你是如何探究的？你能猜想出什么？与同桌交流。 学生通过度量和同桌交流不难猜想出：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 引导学生质疑反思： （师）刚才同学们从上图中获得猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。这很好。可是是不是对于弧DC所对的所有圆周角都等于它所对的圆心角DOC的一半呢？用度量实验的方法显然是难以证实的，我们是否能先找出弧DC所对的圆周角的所有情况再来研究呢？ 请你画出弧DC所对圆周角的所有情况。 （师）展示学生对圆周角分类，暴露出学生思维的片面性。 教师补充出学生遗漏的一种情况。 （师）上面的分类根据是什么？ 引导学生得出分类根据：根据圆周角的边与圆心的位置分为三类：圆心在角的内部；圆心在角的外部；圆心在角的一边上。 （师）进一步引导学生分析造成分类不全的原因。 观察课件（几何画板制作）中圆周角的运动，想一想：图形的运动对纠正分类片面有什么作用。 （师）现在我们要证明猜想“一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半”是否正确，你认为从上面的那个图入手最简单？你能用这个图证明吗？学生小组合作完成任务。 学生不难找出最简单的图3进行证明。 教师进一步激发学生的挑战精神。 （师）你们还能证明图1图2的情况吗？想一想证明图1和图2的关键是什么？ 先由学生讨论后，教师点拨辅助线的作法以及将图1和图2的情况转化为图3来解决的策略。 最后由学生小组合作完成证明。引导学生归纳三种情况证明的结论得出：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。 环节三：解释和应用创新。 让学生证明猜想“同弧所对的圆周角相等。”进一步体会圆周角定理沟通同弧所对的圆周角的关系的作用。从理论上解决总问题情境中所提的问题。 （师）你能证明猜想“同弧所对的圆周角相等。”吗？你是怎样想的? 同桌合作完成，教师巡视点拨辅助线作法。 实验验证：用几何画板制作的课件验证圆周角定理和其推论进一步加深学生对圆周角定理和其推论的理解，体会理性探究在发现和证明中的作用。 （师）你知道剧场和会堂将观众席设计成如图所示的道理吗？ 设计简单的题目让学生巩固定理及其推论，初步学会用圆周角定理及其推论解题。体会一条弧所对圆心角在沟通圆周角关系中的作用。 练习： 1.如图：弦AB所对的圆心角AOB=120，求弦AB所对的所对的圆周角的度数。 设计意图：应用圆周角定理，体现分类讨论思想。 2.如下图：C与D有什么关系？A与B呢？证明你的发现，写出你发现的定理。 设计意图：应用圆周角定理，体会圆周角定理沟通圆周角关系的作用。 创新设计： 如图：小明班的教室座位是按直线排列，分别坐在图中D、E、B位置的三位同学D、E、B看黑板的视角CDA、CEA、CBA有何关系？按直线安排座位有什么缺点？你能证明为什么？请你给小明班教室座位的排列设计一个好的方案。（课后小组合作完成）。 学生设计示意图 环节四：评价与反思小结。 通过反思评价达到学生对自己思维的优化调整，通过小结达到提炼升华的目的。 反思评价小结要具体一些，这样学生才会体会深刻。 教师引导学生反思和自我评价。 1.提问学生所学知识。 圆周角的概念是什么？圆周角定理是什么？圆周角定理的推论是什么？ 2.提问学生学到的主要方法。 （1）克服圆周角分类的片面性，我们采用了什么方法？ （2）圆周角的关系是通过谁来沟通的？辅助线是怎么作的？ 3.提问学生在思考和探究问题的方法中所受的启发。 本节课是如何化繁为简解决圆周角定理的理论证明的？ 思考4：如何了解你的学生？ （1）教师要以学生的身份了解学生面对具体问题情境时是如何反应的？他们会如何思考？他们的情绪反应如何？这不能仅靠教师主观推测，还需要收集以往的教学实践资料，需要调研。 （2）对学生存在的思维问题应从学生已有的知识、经验、思维习惯、数学思想方法、数学观，心理发展特点多个层面进行细致具体的分析，对学生的实际情况了解要具体，定位要准确。本课中圆周角分类的片面性实质是学生静止思维方式造成的。 问题知识、经验数学思维解决问题情感态度 （3）按照学生优良 中等 学困生 来收集信息。 思考5：如何诱导你的学生？ （1）设置好的问题情境，激发学生的探究兴趣。 数学探究的问题应是有趣的、有价值的、新鲜的、有美感。能有效地激发学生的探究兴趣。问题的可以是由实际应用提出，也可以从数学理论问题提出，还可以从学生的认知冲突产生。 数学问题情境应是现实的、合理的，符合现实生活场景和事物运动的规律。 数学问题情境应切近学生的生活实际，使学生感到亲切。 数学问题情境的创设应以激发学生问题意识为价值取向。 数学问题情境的创设应以教学目标的有效实现为着力点。 数学问题情境的设置应是难易适度的。符合学生认知发展规律和心理特征。合理开发学生的“思维最近发展区”，使学生跳以跳摘桃子，跳以跳能摘到。使学生不断建立自信、自主、自强的性格，激发他们勇于开拓创新，积极进取。 总问题情境的设计还应激发学生产生一连串环环相扣的子问题链，推动探究的逐步深入。 （2）教师的引导重在诱发学生的认知冲突，使学生陷入问题之中，激发学生的问题意识，促使学生主动提出问题，探究问题，抓住学生思维的结症，即时点拨因势利导。使学生产生顿悟，达到对问题的解决，对数学思想、方法的领会，主动调整自己的思维。本节课从暴露学生分类的片面性入手，诱导学生产生认知冲突，使学生产生探讨造成分类不全原因的问题意识，这时教师再引导学生观察圆周角的运动，使学生产生顿悟-让圆周角运动就能有效地解决分类的片面性。 （3）教师的引导应充分利用学生已有的知识、经验、方法，通过归纳、类比、迁移等手段，引导学生发现和创新。本节课从学生已有的知识、经验、方法-观察与度量入手，引导学生从具体到抽象猜想出圆周角定理，通过质疑，引导学生进一步从理论上证明圆周角定理。 （4）教师的引导不应仅停留在知识层面，更要关注数学方法、数学思想、数学观层面的问题。观察和思考问题的方法，探究问题的方法，因为后者对学生的数学学习和数学创新起到至关重要的作用，影响学生的数学学习能力。本节课教师的引导重点突出沟通同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，分类讨论的思想、运动的思维方式、化繁为简的解决问题的策略。 （5）教师的引导应是有的放矢的。启在要害处、导在关键时。妙在画龙点睛之笔。 （6）教师应引导学生积极反思，主动调整自己的思维方式和习惯。 （7）对数学思想、方法、数学观、解决问题能力的培养要按照从简单到复杂、从具体到抽象、尽可能用简单的例子反映深刻的道理，不要搞得太复杂，以便于学生领会和掌握；训练要按照渗透、练习、提炼升华的步骤循序提高。要突出训练的重点目标强化训练，让学生在不断的训练中反复体会达到领会和掌握；对核心的目标要长期训练循序提高；在一节课中难点目标设置要少而精，最多一到两个，以便于集中力量突破，避免多重难点带来学生学习的困难，挫伤学生学习的主动性。不要面面俱到，应让重点和难点的解决给学生留下深刻的印象。 思考6：如何激励你的学生？ 教师要怀有一颗宽容的心，一颗平常的心态，特别是对学生所犯的错误，要中肯分析，要冷静灵活处理，不断总结处理问题的好方法和经验。想一想，人非圣贤，谁能不犯一点错误呢？更何况是学生？要以法执教。 教师要不断提升个人的师德修养，不断学习研究，做到身正为师学高为范。怀一颗爱心，循循善诱，诲人不倦，做学生的良师益友，与学生平等相处，建立和谐的师生关系。使学生亲其师而信其言，从其道。 对学生要亲切和蔼，信任学生，积极鼓励学生大胆探究，勇于创新。与学生亲密合作，共同分享成功的快乐，寻找失败的原因。 引导和培养学生学习小组，逐步建立平等互助和谐的小组学习氛围，培养团结协作的团队精神。让学生能从小组活动中得以展示、交流、提升、帮助。 思考7：如何安排组织师生互动、生生互动的教学形式？ （1）应根据探究问题的难度、探究课的特点和学生的实际情况决定，对于那些只有通过师生互动才能有效解决的问题就应选择师生互动模式。而对于那些由学生小组可以有效解决的问题以及小组实验活动就应选择小组活动模式。 （2）科学安排教师的导和学生的学。教师的作用重在引导点拨，当然必要时还需要讲解。应根据教学的实际需要，该引导时需引导该点拨处需点拨该讲解时需讲解。应准确把握教学的火候。对于那些必须由学生亲身探究才能领悟的问题、学生能够通过独立完成或小组讨论完成的问题应交给学生完成，教师不能待劳。以便更好发挥学生的主体作用。 （3）按照师生互动解决普遍困难的问题，力争中等及中等以上学生领会，然后这部分学生再帮助中等以下的学生解决困难；对于中等难度的问题可采取难点学生讨论、教师点拨后独立完成；对于简单问题可先让所有学生独立完成后，再由中等及中等以上学生帮助中下学生完成，纠正他们所犯的错误。 （4）精心组织设计小