概率论理论在不等式证明中的应用.doc

概率论理论在不等式证明中的应用 韩宝燕 （山东工艺美术学院公共课教学部，山东济南250000） 【摘要】不等式作为数学研究的一个重要领域，被应用于实际生活中的物理、化学、生物和信息技术等各领域中，已成为人类生活中不可缺少的一部分，诸多科学家投入大量精力做更加深入的研究。经过人类多年的研究，取得了丰硕的成果。本文在介绍了不等式的国内和国外的发展历程及其重要性的基础上，从概率论的角度给出不等式的证明方法，并给出相对应的例题加深理解。 关键词不等式；概率论；方法 不等式在数学的整个研究过程中占有的非常重要的地位，它既可以作为一种单纯的方法来解决各个领域中的难题，也可以作为桥梁来引申出新的方法，来解决更深层次和领域的问题。不等式证明涉及了包括初等数学、高等数学和数学分析等诸多方面，在数学中有着不可替代的作用。在数量关系上，虽然不等式比相等关系更加广泛的存在于我们的生活中，但是，人们对于不等式的认识要比方程式迟很多。数学不等式的研究，兴起于欧洲国家，东欧国家形成了一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。十七世纪以后，不等式的理论逐渐发展起来，成为了数学基础理论的一个重要组成部分。 在数学不等式的研究历史中，有两个重要的分水岭，分别以Chebyshev（切比雪夫）在1882年发表的论文和1928年Hardy担任伦敦数学会主席届满时的演讲为标志。Hardy，Littlewood和Plya的著作Inequalities的前言中对不等式问题给出了他们自己的见解，并得到了积极响应，即人们一般认为的初等的不等式的证明，应该是“内在的”，且应该给出等号成立的证明。自从著名数学家G.H.Hardy，J.E.Littewood和G.Plya的著作Inequalities出版以来，标志着数学不等式理论及其应用的相关研究正式进入人们的视线，成为一门重要的新兴数学学科，从此，不等式的问题不再是一些零星散乱的、复杂难懂的公式组合，而是一套系统复杂的科学理论。“不等式的重要性，无论怎么强调都不会过分。”在美国数学评论MR2000中，除了MR26中的9个主题分类外，还有24个主题分类分散在其他部分，其中MR39B62（泛函不等式）、39B72、49J20、40（变分不等式）、26E60（平均）等都是MR2000中新增加的。这说明不等式仍然是十分活跃又富有吸引力的研究领域。最后，在不等式证明的研究成果上也可看出不等式证明研究的重要性。如国际上一般不等式的会议每隔两三年就召开一次，并且每次会议都出版了相关的论文集，国内1994年召开几何不等式会议后，1999和xx年又分别在江苏苏州和四川安岳县召开了全国第一、二届不等式研究会议，并已出版论文集。可见由于不等式的研究成果越来越多，更多的目光聚焦熬了不等式证明的研究上。本文，我们应用概率论理论及其经典不等式给出一些不等式的证明。 1运用概率证明不等式 对于一些不等式的证明问题，我们可以运用概率论的相关性质來解题，此方法新颖巧妙，例如以下不等式性质： 定理1：设是一个随机变量，并且E(2)存在，则E(2)(E)2. 此定理的证明应用方差的定义和性质证明，非常简单和显然。 证明：因为D()=E(2)-(E)20，所以结论成立 证明：若我们将f(x)看成为0,1的一个密度为1的随机变量的函数，那么该随机变量的密度函数为： 2在证明不等式时，我们常常运用一些特殊的公式来证明不等式，其中，较为有名的一些公式如下 此不等式在不等式证明中有着非常重要的地位，其本身与柯西不等式相似，在使用时必须要构造出合适的两组数列，才能成功的证明不等式。 （）(柯西施瓦茨不等式)：该不等式可以巧妙应用与证明不等式、求解函数最值、解方程等，柯西不等式有很多种形式，此处，我们仅以列出向量形式，即 本文主要研究的是应用概率论理论给出不等式证明的方法，并给出相应的例题来加以实用。同时在文章的开头对不等式研究的状况和主要性做了阐述。通过论文，我们可以发现很多特殊的公式可以成为证明不等式的一大重要工具，甚至是一些表面看起来毫无关系的公式也能在证明不等式中发挥巨大作用。因此，我们在求证不等式必须要发散思维，举一反三，开阔思路才能更加高效的解决问题。 参考文献 杨学枝.不等式研究.上海:人民教育出版社,1979:3-12. 樊映川.高等数学讲义(上册).上海:人民教育出版社,1979:4-32. 彭军.不等式证明的方法探索J.