高中数学《证明不等式的基本方法模块复习课》新人教A版选修.ppt

第二课 证明不等式的基本方法,【网络体系】,【核心速填】 1.比较法 (1)作差比较法的依据: 若a,bR,则_ab;a-b=0a=b;_a0,b0,则_ab; =1a=b;_ab.,a-b0,a-b0,(3)比较法的步骤:作差(商)变形判符号(与0(或1)比较大小)结论.,2.综合法 推证过程: 3.分析法 推证过程:,4.反证法 反设推理矛盾结论. 5.放缩法 分析待证式的形式特点,适当放大或缩小.,【易错警示】 (1)利用比较法证明不等式时,最后变形的结果要容易判断其符号,即变形为一个常数,或变形为若干个因式的乘积,或变形为一个或几个平方的和等.,(2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号,或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语. (3)用放缩法时,放缩要得当,不能“过大”也不能“过小”.,类型一 比较法证明不等式 【典例1】设ab0,求证:3a3+2b33a2b+2ab2. 【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2). 因为ab0,所以a-b0,3a2-2b22a2-2b20. 从而(3a2-2b2)(a-b)0,故3a3+2b33a2b+2ab2成立.,【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤 (1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件. (2)一般步骤: 作差; 恒等变形; 判断结果的符号;,下结论. 其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形.,【变式训练】1.(2016南阳高二检测)已知a,b是正实数,n是正整数. 求证:(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1). 【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1) =an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1 =a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).,当ab0时,bn-an0,此时(a-b)(bn-an)a0时,bn-an0,a-b0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0. 综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)0. 即(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).,2.(2016福州高二检测)已知(0,), 求证:2sin2,【证明】2sin2- =4sincos- 因为(0,),所以sin0,1-cos0, 又(2cos-1)20,所以2sin2- 0, 所以2sin2 .,类型二 综合法证明不等式 【典例2】已知a0,a2-2ab+c2=0且bca2,试证明:bc. 【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab. 又a2+c22ac,且a0,所以2ab2ac,所以bc. 若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b. 从而a=b=c,这与bca2矛盾.从而bc.,【方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向 (1)依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.,(2)注意点:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当时,取等号”的理由要理解掌握.,(3)思考方向:综合法证明不等式的思考方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.,【变式训练】1.(2016昆明高二检测)已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2. 【解题指南】因为a,b是不相等的正实数,所以a2b+a+b2及ab2+a2+b均可用三正数的均值不等式,从而用综合法可证明.,【证明】因为a,b是正实数, 所以a2b+a+b23 =3ab0, (当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立); 同理:ab2+a2+b3 =3ab0, (当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时,等号成立);,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2, (当且仅当a=b=1时,等号成立); 因为ab,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2.,2.若a,b,c都是正数,能确定 与 的大小吗? 【解析】能确定,因为a,b,c都是正数, +(b+c)4a, +(a+c)4b, +(a+b)4c, 所以 2(a+b+c), 所以,类型三 分析法证明不等式 【典例3】设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10.求证: logac+logbc4lgc.,【证明】由于a1,b1,故要证明logac+logbc4lgc, 只要证明 4lgc. 又c1,故lgc0,所以只要证 4即 4, 因ab=10,故lga+lgb=1,只要证明 4.(*),由a1,b1,故lga0,lgb0, 所以0lgalgb 即(*)式成立.所以,原不等式logac+logbc4lgc得证.,【方法技巧】分析法证明不等式的依据,思维方向及适用方法 (1)依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.,(2)思维方向:分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.,(3)适用方法:当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.,【变式训练】设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数y=f(x+1) 与f(x)的图象关于y轴对称,求证: 为偶函数.,【证明】要证 为偶函数,只需证明其对称轴 为x=0, 即只需证 =0,只要证a=-b,由已知,抛物线f(x+1) 的对称轴x= -1与对称轴x= 关于y轴对称, 所以 -1= ,所以a=-b,所以 为偶函数.,类型四 反证法与放缩法证明不等式 【典例4】已知01,y(2-z)1,z(2-x)1均成立. 则三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)1,由于0x2,所以0x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+11,同理:0y(2-y)1,且0z(2-z)1, 所以三式相乘得0xyz(2-x)(2-y)(2-z)1, 与矛盾,故假设不成立.所以x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.,【方法技巧】 1.反证法 先假设要证明的结论是不正确的,然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析,得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而原来的命题结论正确.,2