1999年考研数学一试题答案与解析.pdf

NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 1 1999 年考研数学一试题分析 年考研数学一试题分析 (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) 一、填空题一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) （1） 2 0 11 lim tan x xxx = . 解法一：解法一： 分析 考查要点为未定型极限的处理、洛必达法则、等价无穷小代 换。 2 0 11 lim tan x xxx = 2 0 tan lim tan x xx xx = 3 0 tan lim x xx x = 2 2 0 sec1 lim 3 x x x 2 2 0 tan lim 3 x x x = 1 3 = 解法二：解法二： 2 0 11 lim tan x xxx = 2 0 tan lim tan x xx xx = 2 0 sincos lim tan x xxx xx = 3 0 sincos lim x xxx x 2 0 coscossin lim 3 x xxxx x + = 0 sin lim 3 x x x = 1 3 = 解法三：解法三： 分析 通分，将“型不定式极限转化为 0 0 不定式极限 解 3 0 tan lim x xx x 洛比达法则 2 2 0 sec1 lim 3 x x x 2 2 0 tan lim 3 x x x = 1 3 = 评注 计算“型不定式极限时，总是借助通分或变量代换等化为 0 0 型或 型未定式极限 解法四：解法四： 分析 原式 2 0 tan lim tan x xx xx = 3 0 tan lim x xx x 洛比达 2 2 0 sec1 lim 3 x x x 2 2 0 1tan lim 3 x x x = 1 3 = （2） 2 0 sin() x d xt dt dx = . 解法一：解法一： 分析 考查要点定积分变量变换、积分变上限函数求导数。 () 2 0 sin x d xt dtxtu dx = () 0 2 sin x d u du dx = 2 0 sin x d u du dx = 2 sin x NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 2 注 必须将被积函数中的x设法变换到上限活着能方便的提到积分号外 边，才能对x求导。 解法二：解法二： 计算形如 ( ) 0 ( )( , ) a x F xf x t dt=的函数导数时，首先应借助变量代换等 将移到积分限中或移到积分号外，然后再求导数。 （3） 2 4 x yye=的通解为y = . 解法一：解法一： 分析 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的求法。要求 考生熟知通解求法的方法和步骤，特别是注意特解的设置于特殊方程根及( )f x 形式之间的关系（本题( ) 2x f xe=） 特征方程为： 2 40 =，解得 1 2=， 2 2= 故 * 40yy=的通解为 22 112 xx yCC? =+，由于非齐次项为( ) 2x f x?= 2a =为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 *2x yAxe=，带入原 方程可求得 1 4 A=， 故所求通解为 *222 112 1 4 xxx yyyCCxe? =+=+ 故本题应填 22 12 1 4 xx yCCx? =+ 解法二： 解法二： 评注 求解系数线性微分方程（右端函数 ( )( )( ),cossin xx nm P x eeQ xxRxx +或它们的线性组合，其中( ) n P x，( )Q x， ( ) m Rx都是 x的已知多项式）是“高等数学”的基本运算之一，应熟练掌握。 （4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 . 解法一：解法一： 分析 矩阵A的n个特征值，就是特征方程()det0AE=的n个根，因 此本题的实质是考查n阶行列式的计算和特征方程与特征值的概率。 因为 ()det AE=|EA= 111 111 111 = ? ? ? ? 11 11 11 n n n ? ? ? ? 111 00 00 n = ? ? ? ? NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 3 故矩阵的A的n个特征值是n和0（n-1重） 因此本题应填 1 ,0,0 n n ? ? ? ?. （5）设两两相互独立的三事件, ,A B C满足条件： ( )( )( ) 1 , 2 ABCP AP BP C=时，必有行列式0AB= （C）当nm时，必有行列式0AB； （D）当nm时，必有行列式0AB=； 答 答 应选B 解法一解法一：详解 分析 由各选项可见，主要区分行列式不为零与为零的情形，而题中并未 给出A与B的具体形式，所以无法用计算来回答，方阵的行列式不为零（为零）等 价于该方阵满秩（不 满秩） ，故用秩的方法来讨论。 因为AB为m阶方阵，且 秩()( )( )()min,min,r ABr Ar Bm n 当mn时，有上式可知，()r ABnm= 因此( )()0y xx 于是 2 1 1 22 yy Sy xx yy = = 又 ( ) 2 0 x Sy t dt= 根据题设 12 21SS= 有 ( ) 2 0 1 x y y t dt y = 并且 ( )01.y= 两边对x求导并化简得 ( ) 2 yyy= 这时可降阶得二阶常微分方程，令 py=，则上述方程可化为 2, dp ypp dy =分离 变量得 dpdy py = 解得 1 pC y= 即 1 dy C y y =， 从而有 12 x pC eC=+ 根据( )( ) 01,01yy=，可得 12 1,0CC= 故所求曲线的方程为 x ye= 本题综合考查了曲线的切线。曲边梯形的面积、变上限函数求导数。二阶可降级 微分方程的解法知识点。 解法二解法二： 解 曲线上点(), x y处的切线方程为 ( )( )() Yy xyxXx= 它在轴上的截距为 y x y ，从而 2 1 2(). yy Sy xx yy = NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 12 而 2 0 ( ) x Sy t dt= 由 12 21SS= 则有 2 0 ( )1 x y y t dt y = 恒等式两边求导消去积分，到二阶微 分方程 2 0yyy=而以0,1xy=代入(*)又可得 (0) 1y=，于是便建立了初 值问题： 2 0 (0) 1,(0) 1 yyy yy = = 求通解： 方法 设 ( )yP y=，则 dP yP dy =，方程化为 0 dP P py dy = 即 0 dP py dy = 或 0P =解得 11 (0Pc y pc对应 ）=。将 1 c dx y dy = 再积 分解得 1 2 c x yc e=。 方法 两边乘以 2 1 y ，便得 1 1 1 , y yc y yc =；由此又得 1 2 c x yc e= 再由初 始条件确定 12 1,1cc= ，所求函数为 x ye= 六六、（本题满分6分） 试证：当0x时， ()() 2 2 1 ln1 .xxx 分析 利用函数的单调性与导数正负性之间的关系证明不等式，就本题而言，证 明方法很多，主要取决于如何构造辅助函数，一是直接令 ( )()() 2 2 1 ln1xxxx=证明( )0x； 二是令( ) 1 ln 1 x xx x = + ， 通过( )x 在()0,1及()1,+上的 正负性，说明()() 2 2 1 ln10xxx；三是直接分 011xx和 ( ) () 2 3 21x x x = 所以当01x0 由 ( ) 1=0推知当当01x时 ()() 2 2 1 ln1 .xxx 2证法 ( ) 1 ln 1 x xx x = + 则 ( ) ()() 2 22 121 0 11 x x x xx x + = + ()x0当 ( )10= 所以所以当01x时 ()( )()() 2 22 11 ln10xxxxx= 即 ()() 2 2 1 ln1 .xxx 证法3 由证法1已有( )10= ( ) 10= ( ) 12=，当01x ()()() 22 2 1 1 ln1110 x xxxx + = 注 I 用单调性证不等式，有规范操泎步骤用位格明日中值 定理证不等式，难点在于取什么函数使用位格明口中值定理如果 能像证法 4 那样找到适当函数，那么用后一方法是较方便的 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 14 注 2 证法 2 比证法 1 可以少求几次导数关键在于证法 2 中求一阶导数就将ln x去掉了，较容易地看出了( )x的符号 所以适当选取( )x是必要的证法 2 中这样的( )x还是容易想 到的 注 3 将证法 1 转到证法 3，可以避免证法 1 后半段倒推 ( )xo 以及( )x0( )0x的麻烦，值得注意 七七、（本题满分6分） 为清除井底的污泥， 用缆绳将抓斗放入井底， 抓起污泥后提出井口， 已知井深30m, 抓斗自重400 N, 缆绳每米重500 N ， 抓斗抓起的污泥重2000 N ， 提升速度为3m/s, 在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提 升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：1N1m=1J;m,N,s,J分别表 示米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 分析 这是一道定积分 应用题，要求考生能将这一实际情景中的功的计算转化 为定积分的问题，具体地说，抓斗将污泥从井底提升至井口克服重力包括抓斗自 身，悬提抓斗的；缆绳和抓斗中的污泥三方面克服重力所做的功，而这种缆绳上 升过程中其自身重量及抓斗中的污泥的重量随绳长的变化而变化，因此，需要用 定积分计算其功。 解法一：建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 123 WWWW=+ 其中 1 W是克服抓斗自重做的功； 2 W是克服缆绳重力做的功， 3 W为提出污泥做的功。 又题意知 1 4003012000W= 将抓斗有x处提升到xdx+，克服重力做功为 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 15 () 2 50 30dWx dx= 从而 () 30 2 0 50 022500Wx dx= 在时间, t tdt+内提升污泥需做功为 () 3 3 200020dWt dt= 将污泥从井底提升至井口共需时间 30 10 3 =，所以 () 10 3 0 3 20002057000Wt dt= 因此，共需做功 ( )120002250057000915000WJ=+= 解法二：详解 做x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功W，当抓斗运动到x 处时，作用力( )f x包括抓斗的自重400N，缆绳的重力()( )50 30xN，污泥 的重力( ) 1 200020 3 xN 即 ( )() 20170 40050 30200039000 33 f xxxx=+= 于是 30 2 30 0 0 17085 3900039000|1170002450091500() 33 WxdxxxN= 解法三： 在时间段 ,t tt+内的做功为 400(200020 )50(303 ) 3,wdwttdt=+ 抓起污泥的抓斗提升至井口 所需要时间为10（）因此，克服重力需做功 10 0 400(200020 )50(303 ) 391500wttdt=+= 八、（本题满分7分） 设S为椭球面 22 2 1 22 xy z+=的上半部分，点(), ,P x y zS为S在点P处的切平 面，(), ,x y z为点()0,0,0O到平面的距离，求 () . , , S z dS x y z 解法一： 分析 求此对面积的曲线积分应注意以下关键问题；第一，准确写 出(), ,x y z，第二，准确写出dS（将其化为对坐标的微分）；第三，正确计算 二重积分，每一步都 有一定的计算量并重要选择正确的方法。 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 16 解 设(), ,X Y Z为上任意一点, 则的方程为 1 222 xXyYzZ +=， 从而知 () 1 22 2 2 , , 44 xy x y zz =+ 由 22 1, 22 xy z =+ 有 22 2 1 22 zx x xy = + ， 22 2 1 22 zy y xy = + 于是 2 2 22 22 4 1 2 1 22 xyzz dSdd xy xy =+= + 所以 () () 22 222 00 113 44 , ,442 sD z dSxy ddrdr x y z = 解法二： 详解 令() 22 2 , ,1 22 xy F x y zz=+，设(), ,X Y Z为上任意一点，则的方程为 ()()()0 xyz FXxF YyF Zz+= 即1 222 xXyYzZ += 从而知 () 1 22 2 2 222 , , 44 AxByCzxy x y zz ABC + =+ + 这里 , 22 xy ABCz=， 由曲面方程知 22 1, 22 xy z =+ 于是 22 2 1 22 zx x xy = + ， 22 2 1 22 zy y xy = + 因此 2 2 22 22 4 1 2 1 22 xyzz dSdd xy xy =+= + 故有 () () 22 2 22 222 00 , ,44 113 44 442 ss D zxy dSzz dS x y z xy ddrdr =+ = 本题考查了切平面方程。点到平面距离公式。对面积的曲面面积积分的计算等知 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 17 识点。 解法三： 分析 先计算的表达式，然后利用通常方法计算曲面积分。 详解 的方程为 22 1, 22 xy z =+ 它在点(), ,x y z的法向量为 () 2222 ,1,1 2 12 1 2222 xy xy zz xyxy = 所以切平面的方程为 ()() () 2222 0 2 12 1 2222 xy XxYyZz xyxy += ，化简后得 220xXyYzZ+ =，所以点(0,0,0)到的距离为 () 2222 22 0,0,0 |22|2 ( , , ) 4 2 xyz xXyYzZ x y z xyz xyz = + = + + 于是 () 22 22222 1 22 1 41 ( , , )2 xy xy sdxy zdxdy z dsxyzzzz x y z i i = =+ 2222 22 22 411 41 2( , , )222 2 1 22 xy sd xyzxy dsxy x y z xy ii = () 2 2 222 00 113 44 442 xy dxdydr rdr xy 极坐标 = 九、（本题满分7分） 设 4 0 tan, n n axdx = （1） 求() 2 1 1 nn n aa n + = + 的值； （2） 试证：对任意的常数0, 级数 1 n n a n = 收敛。 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 18 解法一： 分析 (1)是计算问题：12)是证明问题，(1)对(2)有一定的启 发作用。(1)利用部分和的极限求之；而(2)就需要估计 n a 的阶 数从而利用比较法判定 1 n n a n = 的收敛问题!计算和证明都将涉及 被积函数力tan x的函数的积分问题，通常要应用到() 2 1 arctan 1 x x = + 因为 ()() () 22 44 2 00 1 0 111 tan1tantansec 11 tan 1 nn nn n aaxx dxxxdx nnn xtt dt nn n + +=+= = + 又由部分和数列 () () 2 11 111 1 11 nn nii ii Saa ii in + = =+= + 有lim1 n x S = 因此() 2 1 1 nn n aa n + = + =1 （2）先估计an 的值，因为 4 00 1 tantan 11 n t n n n t axdxxtdt tn = + 所以 () 11 1 n a nnnn ），级数 1 1 p n n = 作计较。 十、（本题满分8分） 设矩阵 1 53 , 10 ac Ab ca = 其行列式1,A=又A的伴随矩阵 * A有一个特征值 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 19 0 ，属于 0 的一个特征向量为()1,1,1, T = 求, ,a b c和 0 的值. 解法一： 分析 尽管看上去要计算的参数值较多，但如果能够找到所给条件 之间的联系 ，并转化为求方程组的解，问题就简单得多，根据题目条件，可以 联想到以下公式和定义；*|detAAAE=；* o A =继而得出方程组, oA = 根据题设有*|detAAAEE= 和 *, o a = 又 *|AAA EE=，于是 *, oo AAAA = 即 , oA = 也即 111 5311 1011 o ac b ca = 因此，可得 () () () 11 531 11 o o o ac b ca + += += + = 解此方程组，得 1,3, o bac = 又由|1,Aac和= 有2,3,1 o ab= 1 53331 10 aa a aa = = 故 2ac= 本题综合考查了伴随矩阵与原矩阵的关系、特征值与特征向量、线性方程组求解 等重要知识点。 解法二： 分析 根据 * A的特征值与特征向量算出的特征值与特征向量从而 确定、及 0 的值。 详解 * A的特征值 0 和对应的特征向量，所以有特征值 00 1A =及对应 的特征向量，于是有 0 1 0EA a = 即 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 20 0 0 0 1 1 1 1 5310 1 1 10 ac b ca = + 或 0 0 0 1 10 1 530 1 10 a b ca + = + = += 解此方程组得 0 ,3,1ac b=。 将它们带入|1A= 得 1 5331 10 aa aa = ，解得 2a= 于是 2a=， 0 3,2.1bc=。 十一、（本题满分6分） 设A为m阶实对称矩阵且正定， B为mn实矩阵， T B为B 的转置矩阵，试证： T B AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩( )r Bn=. 解法一： 分析 A 是正定矩阵其定义很多，但在证明上述问题肘利 用如下定义最力有效：昔 A 为正定矩阵，则耐任意的实 n 维向量 0x有0 T B Ax即二次型正定的定义 必要性. 设 T B AB为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列向量 x 0 ， 有 ()0, TT xB AB 即 ()()0, T BxBA Bx 于是， Bx 0.因此， Bx = 0只有零解，故有 ( )r B = n 充分性. 因 (), T TTTT B ABB A BB AB= 故 T B AB为实对称矩阵.若r(B) = n 则线性方程组 Bx = 0只有零解，从而对任意的实n 维列向量 x 0，有 Bx 0.又 A为正定 矩阵，所以对于 Bx 0有()()0, T BxBA Bx 于是当 x 0，有 ()()()0, T Tt xB AB xBxBA Bx= 故 T B AB为正定矩阵 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 21 解法二： 分析 利用正定矩阵的定义可将 T B AB为正定矩阵的充分必要条件转 化为齐次线性方程组0Bx =只有零解。 详解 T B AB是实矩阵，且由是对称矩阵知 () T TTTT B ABB A BB AB=， 因此， T B AB是实对称矩阵。 T B AB为正定矩阵的充分必要条件为对于任意非零向量 12 ( ,) n xx xx? =有 ()0 T B ABx 即 ()()0BxA Bx 由于 A为正定矩阵，所以 ()()0, T BxBA Bx 充分必要条件为 Bx 0，即任意非零向量 12 ( ,) n xx xx? = 都不是齐次线性方程组0Bx=解，由此推得( )r Bn=。 综上所述， T B AB为正定矩阵的充分必要条件为( )r Bn=。 十二、（本题满分8分） 设随机变量X 与Y 相互独立， 下表列出了二维随机变量(),X Y联合分布律及关于 X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处. 详解 1 y 2 y 3 y ii P XxP= 1 x （ 1 24 ） 1 8 （ 1 12 ） （ 1 4 ） 2 x 1 8 （ 3 8 ） （ 1 4 ） （ 3 4 ） jj P YyP= 1 6 （ 1 2 ） （ 1 3 ） 1 分析 由于 X Y 相互独立，因此 , ,1,2 iiii P XxYyP XxP Yyi j= 根据边缘概率分布的性质还知 12 , iii P YyP Xx YyP Xx Yy=+= 以及 123