1998数三真题标准答案及解析.pdf

1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 1998 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一、 填空题填空题 （ 1 ） 设 曲 线( ) n f xx=在 点()1,1处 的 切 线 与x轴 的 交 点 为(),0 , n 则 ()lim n n f =_. 【答答】 1 e 【详解详解】 因为 ( )( ) 1, , 1 n df xdf x nxn xdxdx = = 故过()1,1的切线方程为()11 .yn x = 当0y=时，得 1 1, n x n = 因此 () 1 1 limlim 1. n n nn e n = （2） 2 ln1x dx x = _ 【答答】 ln x C x + 【详解详解】 ()()() 2 ln1111 ln1ln1ln1 x dxxdxdx xxxx = + 2 ln11ln11 xx dxC xxxxxx = += + ln . x C x = + （3） 差分方程 1 21050 tt yyt + +=的通解为_ 【答答】 () 51 5. 126 t t yCt =+ 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 【详解详解】 差分方程可化为标准形式： 1 5 5, 2 tt yyt + += 其通解为 () 51 5. 126 t t yCt =+ （4） 设矩阵,A B满足28 A BA=BAE，其中 100 020 , 001 = AE为单位矩阵， A为 A的伴随矩阵，则B =_ 【答答】 200 040 002 【详解详解 1】 将已知矩阵方程组两边分别左乘A，右乘 1 A得 ()()() 111 28, A A BA A= ABA AAE A 化简有 28=A BABE. 又 2,= A 因此 ()4=A+ E BE. 于是 () 1 1 220 44 010 002 = BE A+ E 1 00 200 2 4 010040 . 1002 00 2 = 【详解详解 2】 对28 A BA= BAE两边分别左乘A，分别右乘 1 A，利用 =AAA E以 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 及 1 =AAE得 28=A BABE. 因此， () 1 8 2. =BAA E 而 () 224 2422, 224 = AA E 1 1 4 42 1 8284. 2 43 1 4 = B 【详解详解 2】 由已知矩阵方程得 () 28 =EABAE 两边分别左乘( ) 1 2 EA，右乘 1 A得 ()()() 1 11 1 8 2828 2 = BEAAAEAAAA ()() 1 1 8 28 22 =+AA EAE () 1 2 1 84. 2 2 = += AE （ 5 ） 设 1234 ,XXXX是 来 自 正 态 总 体 () 2 0,2N的 简 单 随 机 样 本 ， ()() 22 1234 234,Xa XXbXX=+则当a =_,b=_时，统计量X 服从 2 分布，其自由度为_. 【答答】 11 2 20100 【详解详解 1】 即X服从 2 分布，则2n =，且须 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 ()()()() 1234 20,1 ;340,1 .a XXNbXXN 于是 ()()() 1212 220,E XXE XE X= ()()() 1212 2420,D XXD XD X=+= ()()() 3434 34340,EXXE XE X= ()()() 3434 34916100,DXXE XE X=+= 于是()() 3412 342 0,1 ,0,1 , 1020 XXXX NN 且相互独立，由 2 分布的构成知： ()() ( ) 22 12342 234 2 , 20100 XXXX X =+ 所以当 11 , 20100 ab=时，X服从 2 分布，其自由度为 2. 二、选择题二、选择题 （1） 设周期函数( )f x在(), +内可导， 周期为 4.又 ( )() 0 11 lim1, 2 x ffx x = 则曲线 ( )yf x=在点( )()5,5f处的切线斜率为 ( )( )( )() 1 . 0. 1. 2. 2 ABCD 【 】 【答答】 应选()D 【详解详解】 由已知 ( )()( )() ( ) 00 111111 limlim11, 222 xx ffxffx f xx = 于是 ( )12. f = 又 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 ()( )4,f xf x+= 两边求导得 ()( )4,fxfx += 故 ( )( )512.ff= 即曲线( )yf x=在点( )()5,5f处的切线斜率( )52. f = （2） 设函数( ) 2 1 lim, 1 n n x f x x + = + 讨论函数( )f x的间断点，其结论为 ( )A不存在间断点. ( )B存在间断点1x = ( )C存在间断点0x = ()D存在间断点1x = . 【 】 【答答】 应选( )B 【详解详解】 由于 ( ) 2 0, 1, 1 lim1, 0, 1 1, 1. n n x x f xx x xx + = = + + 可见，1x =为( )f x的间断点. （3）齐次线性方程组 2 123 123 123 0, 0, 0 xxx xxx xxx += += += 的系数矩阵记为A，若存在三阶矩阵BO, 使得AB = O,则 ( )( )20. 20 . AB= = 且且BB ( )()10. 10.CD=且且BB 【 】 【答答】 应选( )C 【详解详解 1】 由题设条件：AB = O,且BO知方程组Ax = O,存在非零解，于是0,=A 即 本页已使用福昕阅读器进行编辑。 福昕软件( C ) 2 0 0 5 - 2 0 0 9 ，版权所有， 仅供试用。 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 2 1 110, 11 = 解得1=. 于是 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 = A 由AB = O,知道 TT A B = O. 故方程组0 T =B x存在非零解,于是0. T =BB 【详解详解 2】 因为AB = O, 所以 ( )( )3.rr+AB 又因为 AO,BO, 所以 ( )( )13,13.rr 由于Y与X的联合概率密度为 () 1 , 1020,1020, ,100 0, xy x y = 其他 所以 ( )() 12 11 1000500 100100 DD E Zydxdyxydxdy=+ () 202020 101010 105 y y dyydxdyxy dx=+ () 2020 2 1010 3 102051050 2 yy dyyydy =+ 20000 5 10014166.67(). 3 =+ 元 十二十二、 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别 为 3 份、7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表，从先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率;p （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.q 【详解详解】 设 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 () () 1,2,3 , 1,2 , i j Hii Hjj = = 报名表是的 考区考生的 第 次抽到的报名表是男生表 则 ()()() 123 1 , 3 P HP HP H= ()()() 111213 7820 |,|,|. 101525 P A HP A HP A H= （1） 由全概率公式得： ( )()() 3 11 1 137529 | 3 10152590 ii i pP AP HP A H = =+= （2） 由全概率公式得： ()()() 212223 7820 |,|,|, 101525 P AHP AHP AH= ()()() 1211221213 785 |,|,|, 303030 P A