五年级奥数春季班第7讲 圆与扇形进阶.doc

第七讲 圆与扇形进阶模块一、基本图形面积求法：方中圆：正方形面积 : 圆面积=4 : ； 圆中方：圆面积 : 正方形面积= : 2.例1（1）下图中正方形的边长为2，则所在是弯角与所在的弓形的面积分别是 、 。(取3.14)解：正方形的边长为2，所以正方形的面积是4，圆的半径是2，所以四分之一的圆的面积.所以圆角的面积是4=0.86；直角三角形的面积是2，所以弓形的面积是2=1.14.（2）下图中正方形的面积为2，则所在是弯角与所在的弓形的面积分别是 、 。(取3.14)解：正方形的面积是2，所以扇形面积是=1.57，所以圆角的面积是21.57=0.43； 直角三角形的面积是1，所以弓形的面积是1.571=0.57.例2如图，已知正方形的面积是100，则阴影部分的面积和为 。（结果保留）解：正方形的面积是100，正方形内有一个四分之一的圆，圆的半径是10，四分之一圆的面积是25， 所以阴影中的圆角的面积是10025，有外面的大圆的面积是50，阴影中小弓形的面积是大圆面积减去正方形面积的四分之一，所以两个弓形的面积是2(50100)=2550，于是阴影部分的面积=10025+2550=50. 例3（1）如图，阴影部分的面积是多少？解：（1）阴影部分面积=长方形面积扇形圆角，大长方形面积=46=24， 扇形是四分之一个圆，扇形面积=16=4，圆角面积=正方形面积四分之一圆=164，所以阴影部分的面积=24416+4=8.（2）在一个边长为6的正方形内，分别以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（ = 3.14）解：（2）下面的阴影是半圆，上面的阴影是两个圆角，它的面积等于半个正方形的面积半个圆的面积， 所以阴影部分的面积半个正方形的面积=62=18.例4如图所示，分别以直角三角形的三条边为直径做半圆，这三个半圆交出两个月牙形区域（阴影部分），则这两个阴影面积之和为 。解：两个阴影部分的面积之和等于三角形ABC面积+AB为直径的半圆的面积+ BC为直径的半圆的面积AC为直径的半圆面积。 三角形ABC的面积=30，AB为直径的半圆的面积=，BC为直径的半圆的面积=，AC为直径的半圆的面积=，所以阴影部分面积=30+=30.例5已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm，BC=2cm，则阴影部分的面积为 cm2。（取3.14） 解：如图连结CD，可以看出阴影部分的面积=两个半圆的面积和ADC的面积BDC的面积，AC=4，得以AC为直径的半圆的面积=2，BC=2，以BC我直径的半圆的面积=，三角形ABC的面积=42=4，所以阴影部分的面积=2+4=3.85.例6三个半圆，两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10cm，大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大 cm2。（取3.14）解：小圆的半径为10，大圆的半径为20，大圆外的阴影部分面积等于两个小圆面积的和两个月牙部分的面积和，大圆内的阴影部分的面积等于半个大圆的面积两个月牙部分的面积和一个小圆的面积，于是大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大出一个小圆的面积，即100=314cm2.随 堂 练 习1下列图形中阴影部分的面积分别为 、 、 。（取3.14）解：弓形面积=7.125；圆角面积=25=5.375； 月牙面积=27.125=14.25.2计算图形中阴影部分的面积为 平方分米（单位：分米）。解：如图做辅助线，可以看出，阴影部分是由一个三角形、一个圆角和四分之一个圆组成，三角形面积=，圆角面积+四分之一的圆的面积=边长为5 的正方形面积=25，所以阴影部分的面积=12.5+25=37.5.3如图，直角三角形ABC中，AB=4，BC=6，分别以三角形三边为直径画三个半圆，则阴影部分是面积为 。解：阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+三角形ABC的面积以AC为直径的半圆面积，而由于AB2+BC2=AC2，所以以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积=以AC为直径的半圆面积，于是阴影部分的面积=ABC的面积=12。4图中阴影部分的面积为 。（取3.14） 解：如图画出辅助线，看出AE弧的弓形是以AB为直径的圆中的一部分，三角形ABC内部的阴影部分等于扇形CBF三角形BCE+BE为弧的弓形，所以两部分阴影面积的和=扇形CBF的面积三角形BCE的面积+2BE为弧的弓形的面积，BCF=45，所以扇形CBF的面积=122=18，三角形BCE的面积=三角形ABC的面积=36，BE弧的弓形=AE弧的弓形=四分之一个小圆面积三角形ADE的面积 =3636=918，所以阴影部分的面积和=1636+1836=3672=41.04.5如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB20，阴影甲的面积与阴影乙的面积一样大，则BC的长为 。(3.14） 解：连结BD，OD，阴影甲的面积=扇形OAD的面积三角形AOD的面积，阴影乙的面积=四边形OBCD的面积扇形OBD的面积，由题意，扇形OAD