古典概型与几何概型（文科）-2024高考数学复习含解析

专题05古典概型与几何概型（文科）-2024高考数（全国通用）

含解析专题05古典概型与几何概型

考向一古典概型

【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）

【母题题文】从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的

数字之积是4的倍数的概率为（）

【答案】C

【试题解析】从6张卡片中无放回抽取2张，

共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）

15种情况，

其中数字之积为4的倍数的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6种情况，故概率为卷=|.

故选：C.

【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高

考的热点.

常见的命题角度有：

（1）列举法求古典概型的概率；（2）树状图法求古典概型的概率.

【得分要点】

（1）理解古典概型及其概率计算公式.

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

考向二几何概型

⑧题昌魏

【母题来源】2021年高考全国卷（理科）

7

【母题题文】在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于〈的概率为（）

【答案】B

【试题解析】设从区间（0,1）,（1,2）中随机取出的数分别为苍九则实验的所有结果构成区域为

O={（x,y）［0<x<l,l<y<2},设事件A表示两数之和大于:，则构成的区域为

4=“无,刈0<无<1,1<乂2,尤+日三，分别求出。,4对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出.

【详解】

如图所示:

设从区间（0,1）,（1,2）中随机取出的数分别为无，儿则实验的所有结果构成

区域为C={(x,y)0v%vl』vyv2},其面积为4=1x1=1.

7

设事件A表示两数之和大于“则构成的区域为

A=即图中的阴影部分，其面积为

5XX

A=I-|||=||>所以尸(A)年=H

【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高

考的热点.

常见的命题角度有:

（1）由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率;

（4）由角度比求几何概型的概率.

【得分要点】

（1）能运用模拟方法估计概率.

（2）了解几何概型的意义.

一、单选题

1.（河南省平顶山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）6把不同的钥匙中只有1把可以打开某个锁,

从中任取2把能将该锁打开的概率为（）

A.-B.JC.-D.-

3236

2.（2022•广东茂名.二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天,

乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三

人在同一天工作的概率为（）

A.1B.冬C.口D.A

353010

3.（2022・安徽•合肥市第六中学模拟预测（文））“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马

匹按奔跑的速度分为上中下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，

每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次

的马快.若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场，则田忌获胜的概率为（）

A.—B.-C.—D.一

2346

4.（2022•四川模拟预测（理））甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A,B,C三个景区中

的一个景区旅游，甲乙去A,B,C三个景区旅游的概率分别如表：则甲、乙去不同景区旅游的概率为（）

去A景区旅游去8景区旅游去C景区旅游

甲0.40.2

乙0.30.6

A.0.66B.0.58C.0.54D.0.52

5.（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测（文））在区间［-2,⑵中任取一个数无，则xe［8,13］的概率

为（）

6.（2022.北京.北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌）,

充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（）

1817

A.—B.—C.—D.—

52271352

7.（2022•河北邯郸•二模）甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一

张给对方.游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为I,3,乙手中的两张纸牌数字分别为2,4.则一个

回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为（）

A.1B.-C.-D.-

2448

8.（2022.河南省杞县高中模拟预测（理））在区间［0』上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于|■的概

率为（）

A.-B.!C.-D.-

4248

9.（2022・全国•哈师大附中模拟预测（文））若在区间［-M］内随机取一个实数乙则直线，=比与双曲线

土-V=i的左、右两支各有一个交点的概率为（）

4

A.-B.gC.-D.-

4284

10.（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M地见面，若甲是7

点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟,

则甲、乙两人能见面的概率为（）.

A.-B.-C.-D.-

3698

二、填空题

11.12020.天津市红桥区高考二模】一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为123,4,5,6,将

这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为.

12.（2022•黑龙江・哈尔滨三中一模（理））关于圆周率兀，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著

名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计无的值：先请120名同学，

每人随机写下一个尤、y都小于1的正实数对（％y）,再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对（％y）

的个数m最后再根据机来估计兀的值.假如统计结果是%=36,那么兀的估计值为.

13.（2022.河南•模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1,0,-2,3的不透明卡片，它们除数字外其余完全

相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作机不放回，再从余下的卡片中取一张记作九则点P（加㈤

在第二象限的概率为.

14.（2021.江西・新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午

8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合.两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分

钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去.则两人能够在图书馆门口会合的概率是

三、解答题

15.（2022•安徽•合肥市第八中学模拟预测（文））2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队

创历史最佳战绩，北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.

某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，并对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物

冰墩墩玩偶，现将100名喜爱冰雪运动的学生参赛成绩制成如下频率分布表，若第三组与第五组的频之和

是第一组的6倍，试回答以下问题；

成绩分组(50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

频率b0.26a0.180.06

（1）求表中。，6的值及受奖励的分数线的估计值：

（2）如果规定竞赛成绩在（80,90]为“良好”，竞赛成绩在（90,100]为“优秀”，从受奖励的15名学生中利用

分层抽样抽取5人，现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个“优秀”的概率.

16.（2020•江苏•一模）2021年江苏省高考实行“3+1+2”模式，“3+1+2”模式是指“3”为全国统考科目语文、

数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史2个科目中选择1

科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目.

（1）若学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科，求学生甲选化学和生物的概率；

（2）设炉+2办+廿=0是关于x的一元二次方程，若ae[0,3],be[0,2],求方程有实数根的概率.

专题05古典概型与几何概型

考向一古典概型

【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）

【母题题文】从分别写有1，2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到

的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

1122

A.-B.-C.—D.一

5353

【答案】C

囹题倒圈

【试题解析】从6张卡片中无放回抽取2张，

共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）

15种情况，

其中数字之积为4的倍数的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6种情况，故概率为

62

15-5'

故选：C.

【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题

目，是历年高考的热点.

常见的命题角度有：

（1）列举法求古典概型的概率；（2）树状图法求古典概型的概率.

【得分要点】

（1）理解古典概型及其概率计算公式.

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

考向二几何概型

【母题来源】2021年高考全国卷(理科)

7

【母题题文】在区间S,D与(L2)中各随机取1个数’则两数之和大于I的概率为()

232

ADC.2D.

-?32329

【答案】B

固题阂回

【试题解析】设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有结果构成区域

为。={5刈0<尤设事件A表示两数之和大于:，则构成的区域为

A=](x,刈0<x<l,l<y〈2,x+y)，，分别求出A对应的区域面积，根据几何概型的的概

率公式即可解出.

【详解】

如图所示：

设从区间(。,1),(1,2)中随机取出的数分别为九,九则实验的所有结果

构成区域为Q={(x,y)|0<x<l/<y<2},其面积为为=1x1=1.

7

设事件A表示两数之和大于“则构成的区域为

y〈2,x+y)^,即图中的阴影部分，其面积为

空,八/八SA23

所以尸(A)=,=&7

A24432

【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题

目，是历年高考的热点.

常见的命题角度有：

(2)由长度比求几何概型的概率；(2)由面积比求几何概型的概率；(3)由体积比求几

何概型的概率；

(4)由角度比求几何概型的概率.

【得分要点】

(1)能运用模拟方法估计概率.

(2)了解几何概型的意义.

一、单选题

1.（河南省平顶山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）6把不同的钥匙中只有1把

可以打开某个锁，从中任取2把能将该锁打开的概率为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

将6把钥匙编号为。、b、c、d、e、f,不妨设能打开锁的为钥匙。，列举出所有的基本

事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

将6把钥匙编号为b、c、d、e、f,不妨设能打开锁的为钥匙a.

从中任取2把，有：ab、ac、ad、ae、af、be、bd、be、bf、cd、ce、cf、de、df、

ef,共15种情况，

能将锁打开的情况有5种，分别为小吟ad、ae、af,故所求概率为1一

故选：C.

2.（2022・广东茂名•二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作

2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31

日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）

.1c211r3

A.—B.—C.—D.—

353010

【答案】B

【解析】

【分析】

列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.

【详解】

解：甲工作的日期为1,2,4,5,7,8,10,29.

乙工作的日期为1,2,3,5,6,7,9,10,30.

丙工作的日期为1,2,3,4,6,7,8,9,29.

在同一天工作的日期为1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29

122

三人同一天工作的概率为尸=巨=g.

故选：B.

3.（2022•安徽•合肥市第六中学模拟预测（文））“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：

在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上中下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、

下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，

比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马

上场，则田忌获胜的概率为（）

【答案】D

【解析】

【分析】

设齐王有上、中、下三等的三匹马A、B、C,田忌有上、中、下三等的三匹马b、c,

列举出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时

比赛的情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

设齐王有上、中、下三等的三匹马A,B,C,田忌有上、中、下三等的三匹马a,b,c,所

有比赛的方式有：Aa,Bb,Cc；Aa,Be,Cb；Ab,Ba,Cc；Ab,Be,Ca；Ac,

Ba,Cb；Ac,Bb,Ca,一共6种.其中田忌能获胜的方式只有Ac,Ba,种，故

此时田忌获胜的概率为）.故选：D.

0

4.（2022•四川模拟预测（理））甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A,B,

C三个景区中的一个景区旅游，甲乙去4B,C三个景区旅游的概率分别如表：则甲、乙

去不同景区旅游的概率为（）

去A景区旅游去8景区旅游去C景区旅游

甲0.40.2

乙0.30.6

A.0.66B.0.58C.0.54D.0.52

【答案】A

【解析】

【分析】

由题可得甲、乙去同一景区旅游的概率，然后利用对立事件的概率公式即得.

【详解】

由题可得甲乙去A,B,C三个景区旅游的概率分别如表:

去A景区旅游去8景区旅游去C景区旅游

甲0.40.20.4

乙0.10.30.6

故甲、乙去同一景区旅游的概率为0.4x0.1+0.2x0.3+0.4x0.6=0.34,

故甲、乙去不同景区旅游的概率为1-0.34=0.66.

故选：A.

5.（2022・陕西・西北工业大学附属中学模拟预测（文））在区间［-2,12］中任取一个数x,则

xe［8,13］的概率为（）

A.—B.-C.-D.-

14753

【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何概型的概率公式可求出结果.

【详解】

12—82

根据几何概型的概率公式得Xe［8,13］的概率为；=不

1Z—（—Z）/

故选：B.

6.（2022•北京•北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每

种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为

（）

A.±B,Ac."D.U

52271352

【答案】C

【解析】

【分析】

直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.

【详解】

依题意，样本空间包含样本点为52,抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16,

所以抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为q16=三4，故选：C.

7.（2022•河北邯郸・二模）甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自

己的纸牌中选一张给对方.游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为1,3,乙手中的两

张纸牌数字分别为2,4.则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字

之和的概率为（）

A.1B.-C.-D.-

2448

【答案】B

【解析】

【分析】

用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】

甲手中的两张纸牌数字用｛1,3｝表示，乙手中的两张纸牌数字用｛2,4｝表示，

一个回合之后，甲、乙两人手中的两张纸牌数字分别为：（1）｛2,3｝、｛1,4｝；

（2）｛4,3｝>｛2,1｝；（3）｛1,2｝,｛3,4｝：（4）｛1,4｝、｛2,3｝共4种情况，

其中甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和共有一种情况，

所以甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为:，故选：B

8.（2022•河南省杞县高中模拟预测（理））在区间［0』上随机取两个数，则这两个数差的绝

对值大于1的概率为（）

A.-B.；C.-D.-

4248

【答案】C

【解析】

【分析】

设在［0』上取的两数为x,y,满足画出不等式表示的平面区域，结合面积比的

几何概型，即可求解.

【详解】

111

设在［0』上取的两数为尤，y,则即或画出可行域，如图

所示,

则或x-y〈-〈所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为:，故所

£

求概率p41；

14

故选：C.

9.（2022.全国.哈师大附中模拟预测（文））若在区间［-1』内随机取一个实数l则直线丁=比

与双曲线土-y2=i的左、右两支各有一个交点的概率为（）

4

A.-B.4C.-D.-

4284

【答案】B

【解析】

【分析】

求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出，的取值范围，结合几何概型的概率公式可

求得所求事件的概率.

【详解】

双曲线的渐近线斜率为土;，则即-；＜/＜；,故所求概率为尸=：,

故选：B.

10.（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M地见

面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者

没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.

A.-B.-C.-D.-

3698

【答案】B

【解析】

【分析】

从早上7点开始计时，设甲经过尤十分钟到达，乙经过y十分钟到达，可得x、y满足的不

等式线组对应的平面区域为如图的正方形ABCD,而甲乙能够见面，X、y满足的平面区域

是图中的四边形跳68.分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概

率公式计算可得.

【详解】

解：从早上7点开始计时，设甲经过x十分钟到达，乙经过y十分钟到达，

fO<x<6

则X、y满足/C，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形

[3<<9

若甲乙能够见面,则X、y满足|x-y区面

该不等式对应的平面区域是图中的四边形EFG8,

^ABCD=6x6=36,SEFGH=SBEH—SBFG=—x4x4——x2x2=6

因此，甲乙能见面的概率尸=沁=5=:

^ABCD0

故选：B.

11.【2020.天津市红桥区高考二模】一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为

123,4,5,6,将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列

的概率为.

【答案】卷

【解析】基本事件总数为6x6x6,事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有

(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1),(2,2,2),(1,3,5),(5,3,1),(2,3,4),(4,3,2),(3,3,3),(2,4,6),(6,4,2),

1Q

(3,4,5),(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6),(6,5,4),(5,5,5),(6,6,6)共18个，所求事件的概率

__1_

=n-

12.(2022•黑龙江・哈尔滨三中一模(理))关于圆周率兀，数学发展史上出现过许多很有创

意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来

估计兀的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对（x,y）,再统计

x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对（x,y）的个数加，最后再根据机来估计兀的值.假

如统计结果是根=36,那么兀的估计值为.

【答案】3.2

【解析】

【分析】

（x，y）表示的点构成一个正方形区域，小y两数能与1构成钝角三角形时的数对（x,y）表示的

点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得.

【详解】

（羽，）表示的点构成一个正方形区域，如图正方形Q4SC（不含边界），x、y两数能与1构成

[x+V>1

钝角三角形满足条件221，ay）表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界），

[x+/<1

711

因此所求概率为n一;_万1.36,估计万a3.2.

―1-42~120

故答案为：3.2

13.（2022•河南•模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1,0,-2,3的不透明卡片，它们除

数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作机不放回，再从余下的

卡片中取一张记作则点尸（牡〃）在第二象限的概率为.

【答案】|

0

【解析】

【分析】

列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可

【详解】

由题,点尸仙〃）所有可能的情况为（-1,0），（-1,-2）,（-1,3）,（0,-1）,（0,-2）,（0,3）,（-2,-1）,

（-2,0）,（-2,3）,（3,-1）,（3,0）,（3,—2）共12种情况,其中在第二象限的为（-2,3）,（-1,3）,

7i

故点P（m,n）在第二象限的概率为二=1

126

故答案为：—

0

14.（2021•江西・新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆

看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合.两人商量好提前到达

图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去.则两人

能够在图书馆门口会合的概率是.

【答案】|

【解析】

先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.

【详解】

设小明到达的时刻为8时x分，小强到达的时刻为8时y分，其中0Wx430,0VyW30,

则当I尤WW10时，两人能够在图书馆门口会合.

如图示：两人到达时刻（尤，y）构成正方形区域，记面积为S,而事件人两人能

够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为5

S,_900-2x200_5

所以P（A）

丁-—9009

故答案为：—■

【点睛】

（1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几

何概型；

（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比.

三、解答题

15.（2022•安徽•合肥市第八中学模拟预测（文））2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落

下帷幕，中国队创历史最佳战绩，北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的及，让越来

越多的青少年爱上了冰雪运动.某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，并对成绩前

15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶，现将100名喜爱冰雪运动的学

生参赛成绩制成如下频率分布表，若第三组与第五组的频之和是第一组的6倍，试回答以下

问题;

成绩分组(50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

频率b0.26a0.180.06

（1）求表中a,b的值及受奖励的分数线的估计值:

（2）如果规定竞赛成绩在（80,90］为“良好”，竞赛成绩在（90,100］为“优秀”，从受奖励的

15名学生中利用分层抽样抽取5人，现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个“优

秀”的概率.

3

【答案】（1）6=008,4=0.42,估计值为85