人教a版高中数学必修5第2章数列全部教案同步单元测试卷.doc

人教a版 必修5 第2章 教案及同步测试试卷(含答案)2.1数列的概念与简单表示法2.1.1数列的概念与简单表示法(一)从容说课本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备 课件三维目标一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？生 1，3，6，10，.师 图212中正方形数呢？生 1，4，9，16，25，.师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，;无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，.生 一些分数排成的一列数：，.推进新课合作探究折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，256，；随着对折数面积依次为, , , , ,.生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1256式，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.教师精讲1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第n项，.同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本p 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.知识拓展师 你能说出上述数列中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n.合作探究同学们看数列2，4，8，16，256，中项与项之间的对应关系，项2481632 序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集n*(或它的有限子集1，2，3，n)的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n),.师 说的很好.如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.例题剖析1.根据下面数列an的通项公式，写出前5项：(1)an=;(2)an=(-1)nn.师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=;a2=;a3=;a4=;a5=.(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，；(2)，；(3)0，1，0，1，0，1，；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，；(5)2，-6，12，-20，30，-42，.师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1)an2n1；(2)an；(3)an；(4)将数列变形为10，21，30，41，50，61，70，81，ann；(5)将数列变形为12，-23，34，-45，56，an(-1)n+1n(n1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.合作探究师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数数列(特殊的函数)定义域r或r的子集n*或它的有限子集1，2，n解析式y=f(x)an=f(n)图象点的集合一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10;1, , , ,的图象.生 根据这数列的通项公式画出数列、的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1, , , ,的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数的图象有关.师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.布置作业课本第38页习题2.1 a组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2);(3), , ,.分析：(1)项：1=21-13=22-15=23-17=24-1 序号： 1 2 3 4所以我们得到了an=2n-1；(2)序号：1234 项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了an=或；(3)序号:1234 所以我们得到了an=-.2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数：(1)1,0,1,0;an=,nn*(2)-, , ,; an=(-1)n(3)7,77,777,7 777; an=(10n-1)(4)-1,7,-13,19,-25,31; an=(-1)n(6n-5)(5), , ,. an=点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系.3.已知数列an的通项公式是an=2n2-n，那么()a.30是数列an的一项b.44是数列an的一项c.66是数列an的一项d.90是数列an的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.答案：c点评：看一个数a是不是数列an中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n，使得an=a.4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为cm就是每200张叠起来刚好为1 cm，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a1,a2,a3,ak,.你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为an=，裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm56 294 995 km，大于地球到月球距离的146倍.二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔.达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？2.1.2数列的概念与简单表示法(二)从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力.教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.教具准备 多媒体三维目标一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列an的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.师 你能举例说明吗？生 如数列0，1，2，3，的通项公式为an=n-1(nn*);1,1,1的通项公式为an=1(nn*,1n3);1, , , ,的通项公式为an= (nn*).合作探究数列的表示方法师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, ,为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.师 说得很好，还有其他的方法吗？生 师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型. 生 模型一：自上而下第1层钢管数为4,即141+3;第2层钢管数为5,即252+3;第3层钢管数为6,即363+3;第4层钢管数为7,即474+3;第5层钢管数为8,即585+3;第6层钢管数为9,即696+3;第7层钢管数为10,即7107+3.若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an=n+3(1n7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)生 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.依此类推：an=a n-1+1(2n7).师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.推进新课1.递推公式定义：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3n8).2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法.例题剖析【例1】 设数列an满足.写出这个数列的前五项.师 分析：题中已给出an的第1项即a1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：an=1+我们将如何应用呢?生 这要将n的值2和a1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.师 请大家计算一下!生 解：据题意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例2】 已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an.师 由例1的经验我们先求前5项.生 前5项分别为2，4，8，16，32.师 对，下面来猜想第n项.生 由a1=2，a2=22=22，a3=222=23观察可得，我猜想an=2n.师 很好!生 老师，本题若改为求an是否还可这样去解呢?师 不能.必须有求解的过程.生 老师，我由a n+1=2an变形可得an=2a n-1，即，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有，所以an=a12n-1=2n.师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法.知识拓展已知a1=2，an+1=an-4,求an.师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢?生1 写出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，观察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).生2 他这种解法不行，因为不是猜出an，而是要求出an.我这样解：由an+1-an=-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,an-a n-1=-4an-1-an-2=-4an-2-an-3=-4an=2-4(n-1).师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.教师精讲(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.例如，由数列an中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列an中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4=15,.(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.学生活动根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)(1)a10，an+1an(2n-1)(nn)；(2)a11，a n+1 (nn)；(3)a13，an+13an-2(nn).(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)解：(1)a10，a21，a34，a49，a516，an(n-1)2.(2)a11，a2，a3=，a4，a5 =，an.(3)a131+230，a271+231，a3191+232，a4551+233，a51631+234，an123 n-1.注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.合作探究一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.爬一级梯子的方法只有一种.爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种,则an=an-1+an-2+an-3(n4),则得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n4)，就可以求得a8=81.课堂小结师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.生 对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)布置作业课本第38页习题2.1a组第4、6题.预习内容：课本p41p 44.板书设计数列的概念与简单表示法(二)一、定义 二、例题讲解 小结：7.递推公式：例1 通项公式与例2 递推公式区别备课资料一、数列通项公式的求法介绍求通项公式是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.现举数例.1.观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.【例1】 已知数列, , , , , ,写出此数列的一个通项公式.解：观察数列前若干项可得通项公式为an=(-1)n.2.公式法已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an=,sn-sn-1,n2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”,即a1和an合为一个表达式.【例2】 已知数列an的前n和sn满足log2(sn+1)=n+1,求此数列的通项公式.解:由条件可得sn=2n+1-1，当n=1时，a1=3,当n2时,an=sn-sn-1=2n+1-2n=2n.所以an=3,n=1,2n,n2.3.累差迭加法若数列a n满足a n+1=an+f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项.【例3】 已知数列6，9，14，21，30，求此数列的通项.解：a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,，an-an-1=2n-1,各式相加得an-a1=3+5+7+(2n-1),an=n2+5(nn).4.连乘法若数列a n能写成an=a n-1+(n)(n2)的形式，则可由an=a n-1f(n),a n-1=a n-2f(n-1),an-2=a n-3f(n-2),a2=a1f(2)连乘求得通项公式.【例4】 已知数列an满足a1=1,sn= (nn)，求a n的通项公式.解:2sn=(n+1)an(nn)，2s n-1=na n-1(n2,nn)，两式相减得2an=(n+1)an-na n-1， (n2,nn).于是有, ,，, (n2,nn)，以上各式相乘，得an=na1=n(n2,nn).又a 1=1，an=n(nn).5.求解方程法若数列a n满足方程f(an)=0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式.【例5】 已知函数f(x)=2x-2 -x,数列an满足f(log2an)=-2n,求数列an的通项公式.解:由条件f(log2an)=2 log2an-2-log2an=-2n,即.an2+2nan-1=0,又an0，an=-n.6.迭代法若数列an满足an=f(an-1)，则可通过迭代的方法求得通项公式.二、阅读材料愚公的子子孙孙愚公移山中愚公说过这样一段话：“即使我死了，还有儿子在；儿子又生孙子，孙子再生儿子，儿子又有儿子，儿子又有孙子，子子孙孙无穷无尽”愚公的话，不但表达了他移山的决心，而且提出了一个有趣的无穷数列，即他的子孙后代繁殖的数列.设愚公的儿子，即第一代的人数为a1；愚公的孙子，即第二代子孙的人数为a2；孙子的儿子，即第三代子孙的人数为a3；一般地，第n代子孙的人数为an.这样，我们就得到一个由正整数组成的无穷数列a 1，a2，a3，an.（1)这个数列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态.这个数列的每一项显然都与它前面的项有关，但这种关系不是确定的关系，而具有随机性质.可惜我们没有任何资料来确定(1)的具体数字.如果愚公的时代人们也自觉地计划生育，例如，一对夫妇只生两个孩子(假设愚公子孙们不能互相通婚)，那么数列(1)就可成为递推数列：an+1=2an.(2)如果愚公有3个儿女，即a1=3，就得到下面这个数列：3，6，12，24，48，96，（3)这个数列(3)，就是一个满足an+1=2an的数列.2.2等差数列2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式从容说课本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察分析概括师生互动，形成概念启发引导，演绎结论拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.教学重点 理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.教学难点 (1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备 多媒体课件，投影仪三维目标一、知识与技能1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.二、过程与方法1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.三、情感态度与价值观通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.教学过程导入新课师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本p41页的4个例子)(1)0，5，10，15，20，25，;(2)48，53，58，63，;(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5;(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，.请你们来写出上述四个数列的第7项.生 第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.师 我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.生 这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.师 说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征.生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.师 作差是否有顺序，谁与谁相减？生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.师 以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫等差数列.这就是我们这节课要研究的内容.推进新课等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）对于数列an，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n2，nn*，则此数列是等差数列，d叫做公差.师 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)生 从“第二项起”和“同一个常数”.师 很好！师 请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 生 数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，. 师 好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.合作探究等差数列的通项公式师 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么?生 a2-a1=d,即a2=a1+d.师 对，继续说下去!生 a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;师 好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?生 由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.师 很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗?生 前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.教师精讲由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d,即a1=am-(m-1)d.则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式)由此我们还可以得到.例题剖析【例1】 （1）求等差数列8，5，2,的第20项;（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？分析（1）师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?生1 这题太简单了!首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)(-3)=-49.师 好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.分析（2）生2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1).由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个).说明:(1)强调当数列an的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立.【例2】 已知数列an的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？例题分析：师 由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要根据什么?生 只要看差an-an-1(n2)是不是一个与n无关的常数.师 说得对，请你来求解.生 当n2时，取数列an中的任意相邻两项an-1与an(n2)an-an-1=(pn+1)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p为常数,所以我们说an是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.师 这里要重点说明的是：(1)若p=0，则an是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，.(2)若p0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习(1)求等差数列3，7，11，的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项. 解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.该数列的通项公式为an=3+(n-1)4，即an=4n-1(n1，nn*).a4=44-1=15，a 10=410-1=39.评述：关键是求出通项公式.(2)求等差数列10，8，6，的第20项.解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2.所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-220+12=-28.评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.(3)100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数.解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)7=7n-5.令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项.(4)-20是不是等差数列0， ，-7，的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.解：由题意可知a1=0，,因而此数列的通项公式为.令，解得.因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.课堂小结师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n1).师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道an，a1，d，n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式an=am+(n-m)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.布置作业课本第45页习题2.2 a组第1题，b组第1题.板书设计等差数列的概念、等差数列的通项公式1.定义2.数学表达式 例1.(略)3.等差数列的通项公式 例2.(略) 练习备课资料一、备用习题1.已知an是等差数列，a5=10，d=3，求a10.解法一：设数列的首项为a1，由a5=a1+4d得a1=-2，故而a 10=a1+9d=25.解法二：a10=a5+5d =25.2.已知an是等差数列，a5=10，a 12=31，求a 20，an.解法一：设a n的首项为a1，公差为d，则因为a20=a1+19d=55，所以a n=a1+(n-1)d=3n-5.解法二：因为a 12=a 5+7d,所以d=3.所以得a20=a12+8d=55,a n=a12+(n-12)d=3n-5.注：根据以上两个例题的解法二启发学生得出等差数列的变形公式：an=am+(n-m)d.3.等差数列2，5，8，107共有多少项？解：由107=2+(n-1)3得n=36.引申：设等差数列an的首项为a 1，末项为a n，公差为d，则其项数,这是等差数列通项公式的又一变形公式.4.在-1与7之间顺次插入三个数a、b、c使这五个数成等差数列，试求出这个数列.解法一：因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是数-1与数7的等差中项.所以.a又是-1与3的等差中项，所以.又因为c是3与7的等差中项，.解法二：设a1=-1,a5=7,所以7=-1+(5-1)d d=2.则所求的数列为-1，1，3，5，7.5.在一次大型庆祝“申奥”成功的活动中，广场上正对着观礼台的场地上由近及远地竖立着“2008相聚北京”八块标语牌.每块牌子的高为2 m，距离观礼台最近的标语牌与观礼台的距离为20 m.若一个人从观礼台上距离地面8 m的高处能完整地看清这八块标语牌.问：最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要多少米？(结果精确到1米)答案：最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要149米.二、阅读材料等差数列的子数列问题从等差数列a1,a2,a3,，an,中，选出一些项按原来的次序组成一个新的数列bn，则称数列bn是数列an的子数列.例如，数列2，4，6，8，2n，是数列1，2，3，n，的一个子数列.子数列的概念虽然教材中没有讲，但我们仍可以遇到很多等差数列的子数列问题，在解此类问题时，需注意两点：其一，这些项是按什么“标准”选取出来的，不同的标准，选出来的子数列具有不同的性质，因此要弄清这种“标准”的数学含义，并把它用数学式子表示出来.其二，无论按何标准选取出来的子数列的项，都是原数列的一项，在这意义之下，我们可以得出下面的结论：若原数列an的通项公式为an=f(n)，子数列bm的通项公式为bm=g(m)，则必存在n,mn*使得f(n)=g(m)成立.【例1】 已知一个无穷等差数列an的首项为a1,公差为d，取出这数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是否是等差数列？如果是，它的首项与公差各是多少？如果不是，请说明理由.分析：新数列bn是由原数列an中的项数为7的倍数的各项组成的，因此，有bn=a7n，再由等差数列的定义判定差bn+1-bn是否为与n无关的常数.解：设新数列为bn，依题意可知bn=a7n=a1+(7n-1)d=7dn+a1-d.所以bn+1-bn=7d(n+1)+a1-d-7dn-a1+d=7d为常数.所以新数列是等差数列，其公差为7d，首项为a1+6d.点评:本题的关键在于抓住选项的“标准”，即“项数为7的倍数”，于是得到了bn=a7n，进而得出新的数列bn的通项公式.【例2】 等差数列1 002，1 005，1 008，1 998中能被4整除的项共有多少项?并写出这些项按原来的次序组成的新数列的通项公式.分析：原数列的通项公式为an=1 002+3(n-1)，设数列中各数均为3的倍数，故数列中能被4整除的项必为12的倍数.解：设原等差数列为an，则an=1 002+3(n-1)=3n+999，此数列中各项均为3的倍数.又依题意新数列是由原数列中能被4整除的各项组成的，所以新数列中的各项为12的倍数. 设12k是新数列中的项，则1 00212k1 998，解得83.5k166.5，故k取84，85，86，166，即原数列中能被4整除的项共有83项.这些项组成的新数列的通项公式为bn=12n+996(nn*,1n83).点评:本例还可以运用等差数列的性质，先判断出新数列是以12为公差的等差数列，再找出其首项为1 008，即可写出它的通项公式.2.2.2等差数列通项公式从容说课本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列