二重积分练习题.pdf

题目部分，(卷面共有 100 题,405.0 分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16 小题,共 53.0 分) (2 分)1 (3 分)2二重积分 D xydxdy (其中 D：0yx2,0x1)的值为 （A） 1 6 （B） 1 12 （C） 1 2 （D） 1 4 答 ( ) (3 分)3若区域 D 为 0yx2,|x|2,则 2 D xy dxdy = （A）0； （B） 32 3 （C） 64 3 （D）256 答 ( ) (3 分)4设 D1是由 ox 轴，oy 轴及直线 x+y=1 所圈成的有界闭域，f 是区域 D：|x|+|y|1 上 的连续函数，则二重积分 22 (,) D f xydxdy _ 1 22 (,) D f xydxdy （A）2 （B）4 （C）8 （D） 1 2 答 ( ) (3 分)5设 f(x,y)是连续函数，则二次积分 2 01 11 ( , ) x x dxf x y dy (A) 2 1121 0111 ( , )( , ) yy dyf x y dxdyf x y dx (B) 11 01 ( , ) y dyf x y dx (C) 2 1121 0111 ( , )( , ) yy dyf x y dxdyf x y dx (D) 2 21 01 ( , ) y dyf x y dx 答 ( ) (3 分)6 设函数 f(x,y)在区域 D： y2x ,yx2上连续， 则二重积分( , ) D f x y dxdy 可 化累次积分为 (A) 2 0 1 ( , ) x x dxf x y dy (B) 2 0 1 ( , ) x x dxf x y dy (C) 2 1 0 ( , ) y y dyf x y dx (D) 2 1 0 ( , ) y y dyf x y dx 答 ( ) (3 分)7设 f(x,y)为连续函数，则二次积分 2 2 13 1 0 2 ( , ) y y dyf x y dx 可交换积分次序为 (A) 2 1233 0010 ( , )( , ) xx dxf x y dydxf x y dy (B) 2 1 22133 2 1 00020 2 ( , )( , )( , ) xx dxf x y dydxf x y dydxf x y dy (C) 2 13 02 ( , ) x x dxf x y dy (D) 2 3 2 2cos 0 sin ( cos , sin )df rrrdr 答 ( ) (3 分)8设 f(x,y)为连续函数，则积分 2 122 0010 ( , )( , ) xx dxf x y dydxf x y dy 可交换积分次序为 (A) 122 0010 ( , )( , ) yy dyf x y dxdyf x y dx (B) 2 122 0010 ( , )( , ) xx dyf x y dxdyf x y dx (C) 12 0 ( , ) y y dyf x y dx (D) 2 12 0 ( , ) x x dyf x y dx 答 ( ) (4 分)9若区域 D 为(x1)2+y21,则二重积分( , ) D f x y dxdy 化成累次积分为 (A) 2cos 00 ( , )dF rdr (B) 2cos 0 ( , )dF rdr (C) 2cos 2 0 2 ( , )dF rdr (D) 2cos 2 00 2( , )dF rdr 其中 F(r,)=f(rcos,rsin)r. 答 ( ) (3 分)10若区域 D 为 x2+y22x，则二重积分 22 () D xyxy dxdy 化成累次积分为 (A) 2cos 2 0 2 (cossin ) 2 cosdrrdr (B) 2cos 3 00 (cossin )dr dr (C) 2cos 3 2 00 2(cossin )dr dr (D) 2cos 3 2 0 2 2(cossin )dr dr 答 ( ) (4 分)11设 777 123 ln(),(),sin () DDD Ixydxdy Ixydxdy Ixy dxdy 其中 D 是 由 x=0,y=0, 1 2 xy ,x+y=1 所围成的区域，则 I1，I2，I3的大小顺序是 (A)I1I2I3; (B)I3I2I1; (C)I1I3I2; (D)I3I1I2. 答 ( ) (5 分)12设 22 11 cos sin xy dxdy I xy ，则 I 满足 (A) 2 2 3 I (B)23I (C) 1 2 DI (D)10I 答 ( ) (4 分)13设 1 2 xy其中 D 是由直线 x=0,y=0,及 x+y=1 所围成的区域， 则 I1， I2， I3的大小顺序为 (A)I3I2I1; (B)I1I2I3; (C)I1I3I2; (D)I3I1I2. 答 ( ) (3 分)14设有界闭域 D1与 D2关于 oy 轴对称， 且 D1D2=,f(x,y)是定义在 D1D2上的连续 函数，则二重积分 2 (, ) D f xy dxdy (A) 1 2 2(, ) D f xy dxdy (B) 2 2 4(, ) D f xy dxdy (C) 1 2 4(, ) D f xy dxdy (D) 2 2 1 (, ) 2 D f xy dxdy 答 ( ) (3 分)15若区域 D 为|x|1,|y|1,则 cos() sin() xy D xexy dxdy (A) e; (B) e 1; (C) 0; (D). 答 ( ) (4 分)16设 D：x2+y2a2(a0),当 a=_时， 222 . D axy dxdy (A)1 (B) 3 3 2 (C) 3 3 4 (D) 3 1 2 答 ( ) 二、填空 (6 小题,共 21.0 分) (4 分)1设函数 f(x,y)在有界闭区域 D 上有界，把 D 任意分成 n 个小区域i(i=1,2,n),在 每一个小区域i任意选取一点(i,i),如果极限 0 1 lim( ,) n iii i f (其中入是i(i=1,2,n)的最大直径)存在，则称此极限 值为_的二重积分。 (4 分)2若 D 是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知 (1) D xy =_. (3 分)3设 22 :0,00Dyaxx，由二重积分的几何意义知 222 D axy dxdy _. (3 分)4设 D：x2+y24,y0,则二重积分 32 sin() D x yd _。 (4 分)5设区域 D 是 x2+y21 与 x2+y22x 的公共部分，试写出( , ) D f x y dxdy 在极坐标系 下先对 r 积分的累次积分_. (3 分)6设 D：0x1,0y2(1x),由二重积分的几何意义知 1 2 D y xdxdy =_. 三、计算 (78 小题,共 331.0 分) (3 分)1设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分 2 1 0 2 ( , ) y y dyf x y dx 的积分次序。 (3 分)2设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分 22 0 ( , ) x x dxf x y dy 的积分次序。 (3 分)3设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分 1000 221 ( , )( , ) yy dyf x y dxdyf x y dx 的积分次序。 (3 分)4设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分 2 111 011ln ( , )( , ) e xx dxf x y dxdxf x y dy 的积分次序。 (4 分)5计算二重积分 2 () D xy dxdy 其中 D：0ysinx,0x. (3 分)6计算二重积分 D xydxdy 其中 D 是由曲线 y=x2,直线 y=0,x=2 所围成区域。 (3 分)7计算二重积分 D xydxdy 其中 D 为由 y=x,y=2x,x=4 所围成的区域。 (3 分)8计算二重积分 D xydxdy 其中 D：xyx,1x2. (3 分)9计算二重积分 cos() D xy dxdy 其中 D 是由直线 x=0,y=和 y=x 围成的区域。 (4 分)10计算二重积分 22 () D xyy dxdy 其中 D 是由直线 y=x,y=x+1,y=1 及 y=3 所围成的区域。 (3 分)11计算二重积分 cos(2) D xxy dxdy 其中D:0, 11 4 xy (3 分)12计算二重积分 () D xy dxdy 其中 D 为由 y=x,x=0,y=1 所围成的区域。 (3 分)13计算二重积分 (6 ) D xy dxdy 其中 D 是由直线 y=x,y=5x 及 x=1 所围成的区域。 (3 分)14计算二重积分 D xydxdy 其中 D 是由双曲线 1 y x ，直线 y=x 及 x=2 所围成的区域。 (3 分)15计算二重积分 D ydxdy x 其中 D 是由直线 y=2x,y=x,x=2 及 x=4 所围成的区域。 (3 分)16计算二重积分 D y dxdy 其中 D：|x|+|y|1. (3 分)17计算二重积分 D xyd 其中 D：|x|+|y|1. (4 分)18计算二重积分 2 xy dxdy 其中 1 D:,12 x yxx (4 分)19计算二重积分 22 () D xy dxdy 其中 D 是由直线 y=x,y=x+a,y=a 及 y=3a(a0)所围成的区域。 (4 分)20计算二次积分 33 00 (2) x dxxy dy (4 分)21计算二重积分 D xydxdy 其中 D 是由 y=x,xy=1,x=3 所围成的区域。 (4 分)22计算二重积分 22 () D xyx dxdy 其中 D 是由 y=2,y=x,y=2x 所围成的区域。 (4 分)23计算二重积分 (1) D xydxdy 其中 D 是由曲线1xy ,y=1x 及 y=1 所围成的区域。 (4 分)24计算二重积分 4 1 1 D dxdy x 其中 D 是由 y=x,y=0,x=1 所围成的区域。 (4 分)25计算二重积分 2 D xy dxdy 其中 D 为与 x=0 所围成的区域。 (4 分)26计算二重积分 D xdxdy 其中 D 是由抛物线 2 1 2 yx及直线 y=x+4 所围成的区域。 (4 分)27计算二重积分 x y D edxdy 其中 D 为由 y=x,y=0,x=1 所围成的区域。 (4 分)28计算二重积分 2 2 D x dxdy y 其中 D 是由曲线 xy=1,y=x2与直线 x=2 所围成的区域。 (5 分)29计算二重积分 2 4sin() D yxy dxdy 其中 D 是由 x=0, 2 y ,y=x 所围成的区域。 (4 分)30计算二重积分 2 () D xy dxdy 其中 D：0ysinx, . (5 分)31计算二重积分 22 cos() D x yxydxdy 其中 D：, 0y2. (4 分)32计算二重积分 D xydxdy 其中 D 是由抛物线yx及 y=x2所围成的区域。 (4 分)33计算二重积分 D ydxdy 其中 22 22 :1 xy D ab (4 分)34计算二重积分 D xdxdy 其中 2 :211,01Dxyxx (5 分)35计算二重积分 2 D r drd 其中: cos,0(0) 2 D araa (4 分)36利用极坐标计算二次积分 2 24 22 20 x dxxy dy (5 分)37利用极坐标计算二重积分 y x D arctg dxdy 其中 D：1x2+y24,y0,yx. (4 分)38利用极坐标计算二重积分 D y arctgdxdy x 其中 D：a2x2+y21,x0,y0,a0,x=0 处广义。 (5 分)39试求函数 f(x,y)=2x+y 在由坐标轴与直线 x+y=3 所围成三角形内的平均值。 (6 分)40试求函数 f(x,y)=x+6y 在由直线 y=x,y=5x 和 x=1 所围成三角形内的平均值。 (4 分)41由二重积分的几何意义，求 22 22 1 ( 11) xy xydxdy (4 分)42计算二重积分 D xdxdy 其中 D：x2+y22 及 xy2. 原式= 2 2 12 1 1 24 0 (2) 22 15 y y dyxdx yydy (3 分)43计算二重积分 2 x D e dxdy 其中 D 是第一象限中由 y=x 和 y=x3所围成的区域。 2 3 22 1 0 1 3 0 () 1 1 2 x x x xx e dxdy xex edx e (4 分)44计算二重积分 D xdxdy 其中 D：x2+(y1)21,x2+(y2)24,y2,x0. 2 2 24 02 2 0 2 y y y y dyxdx ydy (5 分)45计算二重积分 2 D xy dxdy 其中 D：x2+y25, x1y2. (5 分)46计算二重积分 D xydxdy 其中 D 是由(x2)2+y2=1 的上半圆和 x 轴所围成的区域。 2 343 10 3 2 1 1 (43) 2 4 3 x x xdxydy xxxdx (4 分)47计算二重积分 22 D xyx dxdy 其中 D 是由直线 x=0,y=1 及 y=x 所围成的区域。 (3 分)48计算二重积分 32 D x y dxdy 其中 D：x2+y2R2. (5 分)49计算二重积分 22 D x dxdy xy 其中区域 2 12, 2 x Dxyx (4 分)50计算二重积分 2 2 D x dxdy y 其中 D 是由直线 x=2,y=x 和双曲线 xy=1 所围成的区域。 (4 分)51计算二重积分 D xdxdy 其中 D：x2+y2a2,y0. (5 分)52计算二重积分 D xdxdy 其中 D： 22 22 1 xy ab (5 分)53计算二重积分 22 4 D xy dxdy 其中 D 为由 y=0,x=1,y=2x 围成的区域。 (5 分)54计算二重积分 xy D ye dxdy 其中 D 是由 y=ln2,y=ln3,x=2,x=4 所围成的区域。 (5 分)55计算二重积分 2 D xy dxdy 其中 D 是由抛物线 y2=2px 和直线 x=p(p0)所围成的区域。 (6 分)56计算二重积分 2 () D xy dxdy D 是由抛物线 y=x2和 y2=x 所围成的区域。 (6 分)57计算二重积分 x y D e dxdy 其中 D 是由抛物线 y=(x1)和直线 y=x,y=2 所围成的区域。 (5 分)58计算二重积分 2 D xyy dxdy 其中 D 是以 O(0，0)，A(10，1)和 B(1，1)为顶点的三角形区域。 (5 分)59计算二重积分 233 (1216) D xx y dxdy 其中 D 是由 x=1,y=x3,y=所围成的区域。 (8 分)60计算二重积分 22 D xy dxdy 其中 D 是以 O(0，0)，A(1，1)和 B(1,1)为顶点的三角形区域。 (3 分)61计算二重积分 sin D xdxdy x 其中 D 是由 y=x,y=0,x=1 所围成的区域。 (4 分)62计算二重积分 sin D x dxdy x 其中 D 是由 y=x2,y=0,x=1 所围成的区域。 (5 分)63计算二重积分 22 ln(1) D xy dxdy 其中 D：x2+y24,x0,y0. (5 分)64计算二重积分 22 D xy dxdy 其中 D：x2+y22x,x2+y24x. (5 分)65计算二重积分 22 D xy dxdy 其中 D：x2+y22x. (4 分)66利用极坐标计算二重积分 22 sin() D xydxdy 其中 D：2x2+y242 (4 分)67计算二重积分 22 1 D xy dxdy 其中 D：x2+y21,x0,y0. (7 分)68设区域 D：x2+y2a2 (a0),计算二重积分 ( , ) D f x y dxdy 其中 22 0,0 ( , ) 0 xy exy f x y 当 其它点 (4 分)69利用极坐标计算二重积分 D ydxdy 其中 D：x2+y2a2,x0,y0. (a0) (3 分)70利用极坐标计算二重积分 22 1 () 3 D xydxdy 其中 D：1x2+y28. (3 分)71计算二重积分 22 (4) D xydxdy 其中 D：x2+y24. (5 分)72计算二重积分 D xydxdy 其中 D：x2+y21,x2+y22x,y0. (5 分)73计算二重积分 22 xy D xyed ，其中区域 D 为 x2+y21 在第一象限部分。 (5 分)74将二重积分( , ) D f x y d 化为在极坐标系中先对 r 积分的累次积分， 其中 D： 0x ,0y1. (6 分)75利用极坐标计算二重积分 D xdxdy 其中 D：x2+y22x,x2+y2x. (5 分)76计算二重积分 其中 D：yx 2 16y,0y2 2,y0. (6 分)77计算二重积分 22 ln(1) D xydxdy 其中 D：x2+y2R2 (R0),x0,y0. (5 分)78利用极坐标计算二重积分 22 sin D xy dxdy 其中 D：1x2+y24,x0,y0. =答案= 答案部分，(卷面共有 100 题,405.0 分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16 小题,共 53.0 分) (2 分)1答案 B. (3 分)2答案 B. (3 分)3答案 A. (3 分)4答案 (B). (3 分)5答案 (C). (3 分)6答案 C. (3 分)7答案 B. (3 分)8答案 C (4 分)9答案 C. (3 分)10答案 D. (4 分)11答案 C. (5 分)12答案 A. (4 分)13答案 B. (3 分)14答案 (A). (3 分)15答案 C. (4 分)16答案 B. 二、填空 (6 小题,共 21.0 分) (4 分)1答案 函数 f(x,y)在 D 上 (4 分)2答案 1 6 (3 分)3答案 1 6 a3 (3 分)4答案 0. (4 分)5答案 记 F(r,)=f(rcos,rsin)r, 2cos12cos 332 00 233 ( , )( , )( , )dF rdrdF rdrdF rdr (3 分)6答案 1 3 三、计算 (78 小题,共 331.0 分) (3 分)1答案 原式= 1222 01 ( , )( , ) x xx dxf x y dydxf x y dy (3 分)2答案 原式= 242 11 02 22 ( , )( , ) y yy dyf x y dxdyf x y dx (3 分)3答案 原式= 2 2 0 12 ( , ) x x dxf x y dy (3 分)4答案 原式= 1 01 ( , ) y e y dyf x y dx (4 分)5答案 原式 3 sin 2 00 1 ( sinsin) 3 () 4 9 x xxx dxxy dy dx (3 分)6答案 原式 2 2 00 2 5 0 1 2 16 3 x xdxydy x dx (3 分)7答案 原式 42 0 4 2 0 3 2 384 7 x x dxxydy xxdx (3 分)8答案 原式 23 1 2 3 1 3 3 4 x xdxydy x dx (3 分)9答案 原式 0 0 cos() (sin()sin2 ) 2 x dxxy dy xx dx (4 分)10答案 原式 3 22 11 3 332 1 3 2 1 () 1 (1) 3 1 22 3 10 y y dyxyy dx yyyy dy yydy (3 分)11答案 原式 1 4 01 4 0 cos2 sin2 1 2 dxxxydy xdx (3 分)12答案 原式 1 00 11 222 0 00 3 1 0 =() 11 ()(2) 22 11 22 x y dyxy dx xydyyy dy y 或解原式 11 0 1 2 0 =() 13 () 22 1 2 x dxxy dy xx dx (3 分)13答案 原式 15 0 1 2 0 (6 ) 76 1 25 3 x x dxxy dy x dx (3 分)14答案 原式 2 1 1 2 2 2 1 11 () 2 151 ln2 82 x x xdxydy x xdx x (3 分)15答案 原式 42 2 4 2 1 3 2 9 x x dxydy x xdx (3 分)16答案 原式 11 00 1 2 0 4 2(1) 2 3 x dxydy x dx (3 分)17答案 原式 11 00 1 2 0 4 2(1) 1 6 x xdxydy xx dx (4 分)18答案 原式 2 2 1 1 2 4 2 1 11 () 3 9 110 x x xdxy dy xdx x (4 分)19答案 原式 3 22 3 223 4 () 1 (2) 3 14 ay ay a a a dyxy dx aya ya dy a (4 分)20答案 原式 3 2 0 93 (3) 22 27 2 xx dx (4 分)21答案 原式 3 1 1 3 3 1 11 () 2 1 10ln3 2 x x xdxydy xdx x (4 分)22答案 原式 2 22 0 2 2 32 0 () 193 248 13 6 y y dyxyx dx yydy (4 分)23答案 原式 11 01 1 2 0 (1) 1 () 2 1 24 y y ydyxdx y yy dy (4 分)24答案 原式 1 4 00 1 4 0 2 1 4 0 1 1 1 1() 21 8 x dxdy x x dx x d x x (4 分)25答案 原式 2 24 2 20 2 22 0 (4) 64 15 y y dyxdx yydy (4 分)26答案 原式 2 44 1 2 2 4 23 2 1 (4) 2 18 x x xdxdy xxx dx (4 分)27答案 原式 1 00 1 0 2 (1) 1 22 x xy xx e dxe dy e edx e e (4 分)28答案 交点为 1 (1,1) 2,(2,4) 2 原式 2 1 3 2 4 xdx x 2 2 1 =x (5 分)29答案 原式 2 00 2 2 0 4sin() 4(1 cos) 2 y ydyyxy dx yy dy (4 分)30答案 原式 sin 2 2 00 3 2 0 () 1 ( sinsin) 3 7 9 x dxxy dy xxx dx (5 分)31答案 原式 2 22 2 00 2 0 cos() sin4 2 16 dxx yxydy x xdx (4 分)32答案 交点为(0， 0)，(1， 1) 原式 2 1 0 1 4 0 1 () 2 6 55 y y ydyxdx yyyy dy (4 分)33答案 由对称性知，此积分等于 D 域位于第一象限中的部分 D1上积分的 4 倍，在第一象限|y|=y. 原式 22 00 2 22 2 0 2 4 2() 4 3 b aax a a axydy b axdx a ab (4 分)34答案 原式 2 111 02 1 2 0 (11) 1 6 x x xdxdy x xxdx (5 分)35答案 原式 2 2 0cos 33 2 0 3 1 (1 cos) 3 2 () 323 a a dr dr ad a (4 分)36答案 原式 2 2 00 2 3 0 3 8 3 dr dr r (5 分)37答案 原式 2 4 01 2 2 1 (4 1) 32 2 3 64 D rdrd drd (4 分)38答案 原式 1 2 0 22 2 2 1 82 (1) 16 D a rdrd drdr a a (5 分)39答案 33 00 3 2 0 ( , )(2)(2) 1 2 (3)(3) 2 27 2 x DD f x y dxy dxdyxy dy xxxdx 而 D 的面积 9 = 2 所求平均值=3. (6 分)40答案 15 0 1 22 0 ( , )() (472) 76 3 x x D f x y dxdydxxby dy xx dx 而 D 的面积 1 1 0 = 4 2 dy xdx 5x 0x dx 所求平均值 2 =12 3 (4 分)41答案 原式= 2222 22 11 1 xyxy xydxdy 2 3 2 1 3 (4 分)42答案 (3 分)43答案 (4 分)44答案 (5 分)45答案 交点为(2，1)与(2，1) 2 2 15 2 11 1 224 0 (43) 62 105 y y y dyxdx yyydy (5 分)46答案 (4 分)47答案 1 22 00 1 3 0 1 3 1 12 y dyxyx dx y dy (3 分)48答案 原式= 22 22 23 RRy RRy y dyx dx 对于 22 22 3 Ry Ry x dx 被积函数 x3为奇函数 积分为零。 故原式=0. (5 分)49答案 原式= 2 2 22 1 2 2 1 (arctan) 42 18 arctanln 254 x x x dxdy xy x dx (4 分)50答案 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 () 9 4 x x x dxdy y xxdx x (4 分)51答案 22 00 22 0 3 2 2 2 3 aax a xdxdy xx dx a (5 分)52答案 由对称性知，此积分等于 D 域位于第一象限中的部分 D1上的积分的 4 倍，在第一象限|x|=x. 22 00 2 22 2 0 2 4 2() 4 3 a bby b b dyxdx a bydy b a b (5 分)53答案 22 22 00 2 2 0 4 8 3 x dxxy dy x dx (5 分)54答案 ln34 ln22 ln3 42 ln2 () 3 13 4 xy yy dyye dx eedy (5 分)55答案 2 2 2 2 2 4 2 22 2 2 5 1 () 28 8 2 21 pp y p p p p ydyxdx y ypdy p p (6 分)56答案 22 11 2 00 11 243 00 ()() 33 140 xy xy x dxdyxdydx xxxdxyyy dy (6 分)57答案 2 2 1 2 1 2 () 3 2 x y y y y dye dx yeye dy ee (5 分)58答案 11013 210 2 00 1 2 0 2 () 3 18 6 y y y y dyxyy dxy xydy y dy (5 分)59答案 3 1 233 0 1 233122 0 1 2515 0 (1216) 12(4() (1284) 1 5 84 x x dxxx y dy xxxxxxdx xxxxdx (8 分)60答案 1 22 0 2 1 22 0 1 2 0 (arcsin) 22 2 6 x x x x dxxy dy yxy xydx x x dx (3 分)61答案 1 00 1 0 sin sin 1 cos x x dxdy x xdx (4 分)62答案 2 1 00 1 0 sin sin sin1 cos1 x x dxdy x xxdx (5 分)63答案 2 2 2 00 5 1 ln(1) ln 4 (5ln54) 4 dr rdr udu (5 分)64答案 4