概率论和数理统计试题及答案.doc

概率论和数理统计试题及答案一、填空题: 1、设A与B相互独立，P(A) =, P(B) =, 则P (B-A) = .解：2、设（均匀分布），则 ， ，解： 3、设随机变量服从指数分布，即 定义随机变量 则 的 分布列为 。解： 其中是与无关的量4、设 ,，且，相互独立, 则 , 解：5、设总体，为来自的样本，是未知参数的无偏估计，则。解：因为是无偏估计所以 6、设，,与相互独立，且与分别为的样本均值，样本容量分别为。若已知，则检验假设： ；的检验统计量为 。解：7、设随机变量X服从正态分布N关于的二者必居其一的假设为且假设的拒绝域取为其中是容量为n的样本均值，则以W为拒绝域的检验法犯第II类错误的概率 。解：因为服从于标准正态分布二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、设 是三个事件，则下列事件中必与互斥的是 【 C 】A、 B、C、 D、 2、设随机变量的分布函数，则 【 C 】A、1 B、 C、 D、解： 0 = 0 3、设X服从参数的指数分布，则的概率密度函数是 【 B 】A、 B、C、 D、解： = 0 4、一个螺丝钉的质量是一个随机变量，均值为50g，标准差为5g，应用独立同分布的中心极限定理，则一盒（100个）螺丝钉的质量超过的概率 【 C 】A、 B、 C、 D、解： 5、设x1,x2,，x9是正态总体N(0，2)的样本，则在下列各式中，正确的是【 】A、 B、C、 D、解：选C6、设，用雪比晓夫不等式估计概率是【 】A、 B、 C、 D、 解：选C 7、设且X与Y相互独立，则下列分布错误的是 【 】A、 B、 C、 D、 解：选D8、设 表示假设真, 表示假设假, 拒绝域为，则犯第二类错误的概率为 【 】 A、 B、 C、 D、解：选D三、解答题1、设随机变量X的分布列为：X-112p0.30.50.2求：（1）Y=X2的分布列；(2) 分布列；（3）E(X），D（X)。2、设的联合分布列为（1）求常数a；（2）求的边缘分布列；（3）判别与是否独立解： /12301/152/152/1512/154/154/15由表得即： 所以相互独立3、设电源电压，且某种电子元件在下列三种情况下损坏的概率分别是0.1，0.001和0.2：（a）不超过200伏；（b）在200240伏之间；（c）超过240伏。求：（1）电子元件损坏的概率(设：)；（2）某仪器装配有50个这种电子元件，它们的工作状态相互独立，如果电压超过240时，求这50个电子元件中至少10个损坏的概率（要求：只列式，不计算）。解：1 24、已知随机变量的分布密度，求：（1）系数；（2）；（3）解：1 2 3 5、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度 求：（1）A的值；（2）X 和 Y 的边缘概率密度，并判别 X 和 Y是否相互独立？（3） ，其中解：1 由于 所以 即： 2 不独立 3 yxY=xx=1Y=-x+1A(1/2,1/2)6、有一大批糖果现从中随机抽取6袋，称得重量（以克计）如下： 214，210，213，216，212，213设袋装糖果的重量分布为正态的（1）若已知，求总体均值的置信度为的置信区间；（2）若未知，求总体均值的置信度为的置信区间.解： 1 2 7、设总体的样本的一组观察值为：10，8，12，10。（） 求方差的置信度为的置信区间；（） 能否据此样本认为该总体的数学期望为11（）? 解 (1)因为未知，取统计量）相应地，的置信区间为 由已知n=4，查表：，以及，于是 所求的置信区间为 （2）检验假设： 检验统计量（未知，采用检验）： 显著性水平为的拒绝域为： 查表：，于是 故接受，即认为。 8 某地地震台根据对地应力（电感）测量资料计算出最大压应力值（公斤/厘米2），发现其与地震震级（M）有关系。试由下列观察数据：求对的经验回归方程。解：可以假设线性回归方程为 由最小二乘法可得9. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为21.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】 设A=原发信息是A，则=原发信息是BC=收到信息是A，则=收到信息是B由贝叶斯公式，得 10.（1） 设随机变量X的分布律为PX=k=，其中k=0，1，2，0为常数，试确定常数a.（2） 设随机变量X的分布律为PX=k=a/N， k=1，2，N，试确定常数a.【解】（1） 由分布律的性质知故 (2) 由分布律的性质知即 11.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,得 12.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为250012=30000元.设1年中死亡人数为X，则Xb(2500,0.002)，则所求概率为由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P（保险公司获利不少于20000） 即保险公司获利不少