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第二章 Z变换2-7 Z变换一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。二.收敛域1.定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域。2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。3.一些序列的收敛域(1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0|z|z+|的z,级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。 同样,对于级数 ，满足 的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。(2) 有限长序列(3)右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数, 第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|；第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-|z|；两者都收敛的域亦为Rx-|z|; Rx-为最小收敛半径。(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：(5)左边序列(6)双边序列 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。第一项为右边序列(因果)其收敛域为：第二项为左边序列，其收敛域为：当Rx-Rx+时，其收敛域为2-8 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号， 为其理想抽样信号，则序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有因此， ；这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部相对应。二.Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为Z平面的单位圆的参数， 表示Z平面的辐角，且 。所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。三.序列的傅氏变换1.正变换:2.反变换:2-9 Z反变换一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。z变换公式：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线。二.求Z反变换的方法1.留数法 由留数定理可知： 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点，Res 表示极点处的留数。留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数：2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：2-10 Z变换的基本性质和定理1 线性如果 则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。2. 序列的移位如果 则有：3. Z域尺度变换(乘以指数序列)如果 ，则4. 序列的线性加权(Z域求导数)如果 ，则5. 共轭序列如果 ，则6. 翻褶序列如果 ，则7. 初值定理8. 终值定理9. 有限项累加特性证明：10.序列的卷积和(时域卷积定理) 证明：11.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。12.帕塞瓦定理(parseval)如果：则有：其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。*几点说明：2-12系统函数一.系统函数:线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应 H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。二.因果稳定系统 我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。 z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)| ，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。三.系统函数和差分方程的关系线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解，四.系统的频率响应的意义 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的变换 称作系统频率响应。对于线性移不变系统： 也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。五.频率响应的几何确定1.频响的零极点表达式六.IIR系统和FIR系统1.无限长单位冲激响