北师大八年级上数学第一章勾股定理学单.doc

第一章勾股定理 设计者：曹丽娟第一课时 探索勾股定理一、预备知识三角形三边的关系，直角三角形的定义，平方的计算能力二、学习目标基础性目标1.我会通过测量和数格子法，得到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2.我会根据直角三角的任意两边，运用勾股定理,求出第三边；拓展性目标我会运用勾股定理，计算三角形的面积问题；挑战性目标我会将实际问题转化会数学模型，用勾股定理来求出相关的边。三、核心内容：勾股定理 4、 思维导图（请同学们根据核心内容和自己的理解绘制。下同）：预备知识复习1、三角形按角的大小可分为： 、 、 。2、三角形的三边关系： 三角形的任意两边之和 ；任意两边之差 。3、 直角三角形的两个锐角 ；4、在RtABC中，两条直角边长分别为a、b，则 这个直角三角形的面积可以表示为： 。 新知探究1.画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；直角三角形1直角边a直角边b斜边c三边关系满足关系34直角三角形2直角边a直角边b斜边c三边关系满足关系5132. 2.猜想：直角三角形的三边满足什么关系? xK 3. b1.C 3.任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。猜想： 4.如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？图形A的面积B的面积C的面积A、B、C面积的关系图1-1图1-2图1-3图1-4图15.思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？6.归纳得出勾股定理：直角三角形 等于 ； 我们把直角三角形中的较短直角边叫做勾，较长直角边叫做股，斜边叫做弦。 7.几何语言表述：如图1，在RtABC中，C 90， 则： ； 若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为： 。 8.你认为在这个定理中我们应该注意些什么呢？（1）勾股定理揭示的是直角三角形 的关系；（2）勾股定理只适合于_三角形；（3）如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则有_； （4）在使用勾股定理时，先要弄清 边和 边。示例基础性性练习例1：求下列图形中未知正方形的面积： 解： 例2.求下列图形中未知边的长度 解：1.求下列图形中未知正方形的面积：2.求下列图形中未知边的长度 135 解：3.在ABC中，C=90，（1）若BC=5，AC=12，则AB= ；（2）若BC=3，AB=5，则AC= ；（3）若BCAC=34，AB=10，则BC= ，AC= .（4) 若AB=8.5，AC=7.5，则BC= 。4某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 .示例拓展性练习A53BC例3：RtABC中,C=90,AC=3，AB=5,求BC的长度和该直角三角形的面积是多少？ 解：5在RtABC中,C=90,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为 。6直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为 .7.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20，则斜边上的高为 。8.如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使ABC90，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离为m9.如图,求等腰ABC的面积.解： 挑战性练习10.如图，已知直角ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积11.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长 第二课时 探索勾股定理1、 预备知识勾股定理二、学习目标基础性目标我会用勾股定理解决简单的实际问题，求出相关的边拓展性目标我会运用一些构造图形法，推导验证勾股定理；挑战性目标我会将矩形，正方形与直角三角形联系起来，用勾股定理求出有关的边。三、核心内容：勾股定理 四、思维导图（请同学们根据核心内容和自己的理解绘制。下同）：五、自主学习单预备知识复习1、勾股定理： 2、求下列直角三角形的未知边的长 3、在一个直角三角形中，两条直角边分别为，斜边为：（1）如果，则 ，面积为 ； （2）如果，则三角形的周长为 ，面积为 ；新知探究利用拼图验证勾股定理（课前准备8个全等的直角三角形）：活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：1拼成的图1中有_个正方形，_个直角三角形。2图中大正方形的边长为_，小正方形的边长为_。3你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？ 22 图2活动二：你能利用类似的方法由图2得到勾股定理吗？ 思考：用四个全等的直角三角形，通过拼图验证勾股定理，你还有那些方法？示例基础性练习500400CBA例1：例1我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？解：1.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ ）A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定2.直角三角形两直角边分别为5cm、12cm，那么斜边上的高是 （ ）cm. A、6 B、8 C、80/13 D、60/13 3.在一个直角三角形中，若斜边的长是，一条直角边的长为，那么这个直角三角形的面积是（ ）（A） （B） （C） （D）8XDABC8XDABC8XDABC4.如图1，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则CD=_； 5.如图2，阴影部分的面积为 ； 图1 图26.一个直角三角形的三边分别为3，4，则 7、若等腰三角形的腰为10cm，底边长为16cm，则它的面积是多少？示例拓展性练习例2：如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？解：由题意已知：AB=9,BC=12AB+AC=9+15=24(米）8、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？9.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 ； 10.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 ；11.如图3，已知中，以的各边为边在外作三个正方形，分别表示这三个正方形的面积，图312.如左图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速的建设成本是100万元千米，该沿江高速的造价是多少？ 挑战性练习13如图，矩形纸片ABCD的边AB=10，BC=6，E为BC上一点将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的。14、如下图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？ 第三课时 探索勾股定理练习单【学习目标】灵活应用勾股定理解决问题.一、选择题1、若RTABC中，且c=37,a=12，则b=（ ）A、50 B、35 C、34 D、262、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A、6 B、7 C、8 D、93、若一个直角三角形的三边分别为a、b、c, ,则（ ）A、169 B、119 C、169或119 D、13或25 4、一个直角三角形的一条直角边长为12cm,斜边长为15cm,则此直角三角形的面积为（ ）A.54 cm B.90 cm C.108 cm D.180 cm5、等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为（ ）A.65 B.60 C.120 D.1306、等边三角形的边长是10,它的高的平方等于（ ）A.50 B.75 C.125 D.2007、在ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是（ ）A.4 B.14 C.4或14 D.以上都不对8、把三边分别BC3,AC4,AB5的三角形沿最长边AB翻折成ABC,则CC的长为 ( )A. B. C. D.9、在ABC中,AB13,AC15,高AD12,则BC的长为 ( ）A. 14 B. 4 C.14或4 D.以上都不对 10、在RtABC中，C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为135，则这个三角形三边长分别是 ( ）A5、4、3； B13、12、5； C10、8、6 D26、24、10二、填空题1、正方形的面积为100平方厘米，则该正方形的对角线长的平方为 2、已知直角三角形的三个内角所对的边分别为m,n,p，是直角，则m,n,p三者之间的关系是 3、如图所示，以RTABC的三边向外作正方形，其面积分别为,且 4、在ABC中,C=900,a=30,b=40,则斜边c=_ 5、直角三角形的一条直角边长为12cm,斜边长为15cm,则此直角三角形斜边上的高为 6、如图，,则AD= 7、已知直角三角形的两边长为15和20，则第三边长为 三、解答题1、如图, ABC中,ACB=900,AC=9,BC=12,求RTABC中斜边AB上的高CD2、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.3、求图中阴影部分的面积.4、 已知：如图，AD4，CD3，ADC90，AB13，BC12.求图形的面积.5、如图，在ABC中，ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CDAB与D,求：（1）AC的长； （2）ABC的面积； （3）CD的长。 6、一架长为2.5m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7m。如图所示。如果梯子底端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少米?7、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.8、如图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离.第四课时 一定是直角三角形吗一、预备知识勾股定理：二、学习目标基础性目标1.我能识记勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；2.我能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；拓展性目标我能运用勾股定理逆定理来解决一些实际问题。挑战性目标我能在正方形，矩形中找出相关的直角三角形。三、核心内容：勾股逆定理 四、思维导图（请同学们根据核心内容和自己的理解绘制。下同）：五、自主学习单预备知识复习1.勾股定理：条件： 结论： 2.在ABC中,C=900,a=3,b=4,则斜边c=_新知探究1.下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 ，5，12，13；7，24，25；8，15，17；并回答这样两个问题：（1）这三组数都满足吗？（2）分别以每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？2、勾股逆定理：如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是_三角形。示例基础性性练习例1.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应为直角。工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？ 解： 同理 答：这个零件是符合要求的。1 下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。9，12，15； 15，36，39； 12，35，36； 12，18，222一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（ ）A250 B150 C200 D不能确定3如图：在中，于，则是（ ）A等腰三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形4 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 5、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）倍A、2 B、4 C、3 D、5 6、如图，在四边形ABCD中，已知：AB1，BC2，CD2，AD3，且ABBC.试说明ACCD的理由.示例拓展性练习例2：如图，在ABC中，AC=10cm, CD=8cm, BC边上的中线AD=6cm，问ABC是等腰三角形吗？为什么？解：7.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？8.如图，在DEF中，DE=17cm, EF=30cm, EF边上的中线DG=8cm，问DEF是等腰三角形吗？为什么？9.已知：在ABC中，三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n1)。试判断ABC的形状.挑战性练习10. 如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且CDA=900,求这块草地的面积。11.如图，有一零件是等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC=20，D是AB上的一点，且CD=16，BD=12，ACD的形状，并求ABC的周长。第五课时 勾股定理的应用一、预备知识勾股定理：勾股定理的逆定理二、学习目标基础性目标1.能在直角三角形中，正确运用勾股定理来计算有关边的长度；2.在根据三角形三边的长度来判断三角形是否是直角三角形。拓展性目标将实际问题转化为计算直角三角形的边长挑战性目标会将曲面问题转化为平面图形来进行有关的计算三、核心内容：直线公理，线段公理，勾股定理,勾股定理逆定理 四、思维导图（请同学们根据核心内容和自己的理解绘制。下同）：五、自主学习单预备知识复习1下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,152、 若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为 时 ，这三条线段才能组成直角三角形。3、 圆柱的侧面展开图是_形，圆锥的侧面展开图是_形。 4、 圆的周长公式是 _。新知探究AAA1.如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？以下有四种方法请选择哪种方法蚂蚁走最近？( ) (1) (2) (3) (4)活动一：2.若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，取3，则最短的距离是多少？AB活动二：3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、 12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？小结：解决曲面上两点最短路线问题的方法是： . 示例基础性性练习例1：甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走上午10：00，甲、乙两人相距多远？ 解：由题意可知：1511.791. 下列说法正确的是( )A. 若a、b、c是的三边，则 B. 若a、b、c是的三边，则C. 若a、b、c是的三边，则D. 若a、b、c是的三边，则2.ABC中, C=90，c=25,b=15,则a= .3.三角形的三个内角之比为：，则此三角形是 4.三条线段 m,n,p满足m2-n2=p2 ，以这三条线段为边组成的三角形为 5.如图，直线l上有三个 正方形a,b,c,若a,c 的面积分别是5，11，则b的面积为 。6. 如左图：一座城墙高11.7米，墙外有一条宽为9米的护城河，那么一架长15米的云梯能否到达墙的顶端？示例拓展性练习BEDCA例2：如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m,试求滑道AC的长。解：设滑道AC的长度是x m, 则AB的长度是x m,AE的长度是(x-1) m.7.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 8.如图所示，有一高4，底面直径为6的圆锥。现有一只蚂蚁在圆锥的顶A，它想吃到圆锥底部B点处的食物，需爬行的最短路程是多少？挑战性练习9.有一个长方体纸盒,如图所示,小明所在的数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A相对的B点的最短距离.若长方体的长为12,宽为9,高为5,请你帮助该小组求出A点到B点的最短距离.(参考数据:21.592466,18.442340)10.如图所示,王利家住高楼的15层,一天他去买竹竿,如果电梯的长、宽、高分别是1.2米,1.2米,2.1米,那么能放到电梯内的竹竿的最大长度是多少?第六课时 勾股定理的回顾一、单元知识体系总览:二、典型题型题型1、求线段的长度例1、如图，在ABC中，ACB=90， CDAB，D为垂足，AC=6cm,BC=8cm.求: ABC的面积； 斜边AB的长；斜边AB上的高CD的长。练习1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是_，面积是_。2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为_。3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_。4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 ( ) A、6厘米； B、 8厘米； C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；题型2、判断直角三角形例2、如图己知，求四边形ABCD的面积练习1下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，72. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）Aa:b:c=81617 B a2-b2=c2 Ca2=(b+c)(b-c) D a:b:c =13512 3. 三角形的三边长为,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.4、已知：如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90，求证：A+C=180。题型3、求最短距离如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短的路线长是（ ） A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10cm 题型4、方程思想例题3、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.例题4、已知：如图，在ABC中，AB15，BC14，AC13求ABC的面积练习1、如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长。2、已知：如图，ABC中，C90，AD是角平分线，CD15，BD25求AC的长题型5、分类讨论思想（易错题）例题5.在RtABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 例题6.已知在ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则ABC的周长为 练习1、在RtABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为_，底边上的高是_，面积是_。三、巩固练习1一个直角三角