专题复习利用几何知识解方案设计问题含答案.pdf

利用几何知识解方案设计问题 几何方案设计问题近年各地中考比较常见的一种新题型，该问题是 指应用几何知识对有几何背景的实际问题按题目的要求，对图形进行分 割，选择，判断，设计，计算的一种数学试题。利用几何知识进行方案 设计，不仅要熟炼地运用几何图形的性质，而且要掌握全等，相似，图 形变换，三角函数等有关知识，还要有较强的几何作图能力，在解题中 还应当考虑采用分类讨论，类比归纳，猜想验证等数学方法。 类型一、利用几何知识解方案设计问题： （2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、 幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于 笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公 路旁修建一服务区，向、两景区运送游客小民设计了两种方案，图 （1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和， 图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于 点），到、的距离之和 （1）求、，并比较它们的大小； （2）请你说明的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如 图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一 服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值 B A P X 图（1） Y X B A Q P O 图（3） B A P X 图（2） 解：图10（1）中过B作BCAP,垂足为C,则PC40,又AP10, AC30 在RtABC 中，AB50 AC30 BC40 BP S1 图10（2）中，过B作BCAA垂足为C，则AC50， 又BC40 BA 由轴对称知：PAPA S2BA (2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA，由轴对 称知MAMA MB+MAMB+MAAB S2BA为最小 （3）过A作关于X轴的对称点A, 过B作关于Y轴的对称点B， 连接AB,交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 过A、 B分别作X轴、Y轴的平行线交于点G, AB 所求四边形的周长为 类型二、利用计算比较方案的优劣： （宁夏中考）居民楼的采光是人们购买楼房时关心的一个重要问 题冬至是一年中太阳 光 相对地球北半球位置最低的时刻，只要此时楼房的最低层能采 到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射宁夏地区冬至时阳光与 地面所成的角约为30，如图所示现有A、B、C、D四种设计方案提供 的居民楼的高H(米)与楼间距L(米)的数据，如下表所示仅就图中居民 楼乙的采光问题，你认为哪种方案设计较为合理，并说明理由(参考数 据 =1732) A B C D H(米) 12 15 16 18 L(米) 18 25 28 30 解：根据题意：tan30= /3=05773 设计合理的楼房应满足：H/L05773 对于A方案：12/18=0666705773，对于B方案：15/25=0 605773， 对于c方案：16/28=0571405773 C方案设计较为合理 类型三、利用图形变换的知识进行图案设计： （09义乌)（1）如图1，正方形网格中有一个平行四边形，请在图1 中画一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分； (2)把图2中的平行四边形分割成四个全等的四边形（要求在图2中 画出分割线），并把所得的四个全等的四边形在图3中拼成一个轴对称 图形或中心对称图形，使所得图形与原图形不全等且各个顶点都落在格 点上。 温馨提示：作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用0.5毫米及 以上的黑色签字笔涂黑。 解：（1）画图正确（注：所画直线必须过平行四边形对称中 心）； （2）附：部分参考分法及拼法 四、基本训练 1（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是 轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角 形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（ ） A等腰三角形 B正三角形 C等腰梯形 D菱形 2（05日照）一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形，且 有一个内角为60的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花 卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案某同学为此提供 了如图所示的五种设计方案其中可以满足园艺设计师要求的有（ ） A2种 B3种 C4种 D5种 3（07四川乐山）认真观察图（3.1）的4个图中阴影部分构成的图 案，回答下列问题： 图（3.1） （1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征 特征1：_； 特征2：_ （2）请在图（10.2）中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你 所写出的上述特征 图（3.2） 4（2008莆田）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个 四边形花园，要求花园所占面积是 ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出人口，要求 分别在 ABCD的四条边上，请你设计两种方案： 方案（1）：如图（1）所示，两个出入口E、F已确定，请在图 （1）上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法； 方案（2）：如图（2）所示，一个出入口M已确定，请在图（2） 上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法 5（07潜江等）经过江汉平原的沪蓉(上海成都)高速铁路即将动 工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图，一测量员在江岸边的A处测 得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向 正东方向前进100米到达点C处，测得 （1）求所测之处江的宽度（ ）； （2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案， 并在图中画出图形 A C B 图 图 6（09达州)阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量 旗杆的高度，他们带了以下测量工具：皮具三角尺标杆小平面镜 等. 首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含30角）来测量”.于是大家 一起动手，测得小明与旗杆的距离AC为15，小明的眼睛与地面的距 离为1.6，如图甲所示. 然后，小红和小强提出了自己的想法. 小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.” 小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！” 根据以上情景，解答下列问题： （1）利用图甲，请你帮助小明求出旗杆AB的高度（结果保留整数. 参考数据：，）； （2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一 中方案在图乙中画出测量示意图，并简述测量步骤. 7（09济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建 于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小 组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪 塔的高度，携带的测量工具有：测角仪皮尺小镜子. （1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意 图.她先在塔前的平地上选择一点，用测角仪测出看塔顶的仰角，在点 和塔之间选择一点，测出看塔顶的仰角，然后用皮尺量出两点的距离 为m,自身的高度为m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（，结 果保留整数）. 图1 图2 （2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影的 长为m（如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请 回答下列问题： 在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ； 要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ . 8（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村 庄，A村到公路l的距离AC1km，B村到公路l的距离BD2km，B村在A 村的南偏东方向上 （1）求出A，B两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求 该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的 作图痕迹，并简要写明作法） 北 东 B A C D l 9某市经济开发区建有 三个食品加工厂，这三个工厂和开发区 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相 通，且 米， 米自来水公司已经修好一条自来水主管道 两厂之间的公路与自来水管道交于 处， 米已知自来水主管道到各工厂的自来水管道每米造价800元，每 条管道至少可供两家工厂用水 （1）要使修建自来水管道的造价最低，B工厂的自来水管道路线 应怎样设计？在图形中画出，并求出B厂所修建的自来水管道的最低的 造价是多少元？ （2）CD两厂计划共同修建自来水管道，若要使修建自来水管道的 造价最低，则它们的自来水管道路线应怎样设计？在图形中画出，并说 明理由。 参考答案 1D 2C 3（07四川乐山）解：（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都 是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等 （2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个 4（2008莆田）解：方案（1） 画法1： 画法2： 画法3： （1）过F作FHAD交 （1）过F作FHAB交 （1）在AD上取一 点 AD于点H AD于点H H，使DHCF （2）在DC上任取一点G （2）过E作EGAD交 （2）在CD上任 取 连接EF、FG、GH、 DC于点G 一点G HE，则四边形EFGH 连接EF、FG、GH、 连接 EF、FG、GH、 就是所要画的四边形； HE，则四边形EFGH HE，则四边 形EFGH 就是所要画的四边形 就是所要画的四边形 方案（2）画法： （1）过M点作MPAB交AD于点P， （2）在AB上取一点Q，连接PQ， （3）过M作MNPQ交DC 于点N， 连接QM、PN、MN，则 四边形QMNP就是所要画的四边 形（本题答案不唯一，符合要求 即可） 5（07潜江等）解：（1）在 中， ， （米） 答：所测之处江的宽度约为248米 （2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形 相似、解直角三角形的知识 来解决问题的，只要正确即可得分 6（09达州)解：（1）过点D作DEAB于点E， 在RtBDE中，DE=AC=15m，BDE=30 BE=DEtan3015058=870(m) AB=BE+AE=870m+16m=103m10m （2）小红和小强提出的方案都是可行的 小红的方案：利用皮尺和标杆： （1）测量旗杆的影长AG （2）测量标杆EF的长度 （3）测量同一时刻标杆影长FH 小强的方案：把小平面镜放在适当的位置（如图点P处），使得小 强可以在镜中看到旗杆AB的顶端 步骤： （1）测出AP的长度 （2）测出NP的长度 （3）测出小强眼睛离地面的高度MN 7（09济宁市）解:（1）设的延长线交于点，长为，则. ,. ,解得. 太子灵踪塔的高度为. (2) 测角仪皮尺； 站在P点看塔顶的仰角自身的高度. (注：答案不唯一) 8（2009临沂）解：（1）方法一：设与的交点为，根据题意可 得 和都是等腰直角三角形 ， 两村的距离为（km） 方法二：过点作直线的平行线交的延长线于 易证四边形是矩形， 在中，由，可得 （km） 两村的距离为km （2）作图正确，痕迹清晰 B A C D l N M O P 作法：分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于两 点， 作直线； 直线交于点，点即为所求 9（05年潍坊） （1）要使修建自来水管道的造价最低，B工厂的自来水管道路线 应怎样设计？在图形中画出，并求出B厂所修建的自来水管道的最低的 造价是多少元？ （2）CD两厂计划共同修建自来水管道，若要使修建自来水管道的 造价最低，则它们的自来水管道路线应怎样设计？在图形中画出，并求 出所