（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第十七章不等式选讲课件.pptx

第十七 章不等式选讲,高考理数 (课标专用),考点一 不等式的性质和绝对值不等式,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2019课标,23,10分)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集; (2)若x(-,1)时, f(x)0,求a的取值范围.,解析 本题考查不等式的基本性质,绝对值不等式的求解,以及含有参数的绝对值不等式恒成 立问题.通过对绝对值不等式的分类讨论考查学生的化归与转化的能力,体现了逻辑推理的核 心素养. (1)当a=1时, f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x1时, f(x)=-2(x-1)20;当x1时, f(x)0. 所以,不等式f(x)0的解集为(-,1). (2)因为f(a)=0,所以a1, 当a1,x(-,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0, 所以,a的取值范围是1,+). 思路分析 (1)当a=1时,求解绝对值不等式只需分类讨论去掉绝对值.(2)首先关注f(a)=0,求得a 1,这样不需要分类讨论就可以去掉绝对值,得到f(x)=2(a-x)(x-1)0,求解即可.,2.(2018课标,23,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)= 故不等式f(x)1的解集为 . (2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为 , 所以 1,故0a2. 综上,a的取值范围为(0,2. 方法技巧 1.研究含有绝对值的函数问题时,常根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号, 从而转化为分段函数来解决.,2.对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题,常利用绝对值三角不等式解决.,3.不等式的恒成立问题可转化为函数的最值问题.注意在xD上,当f(x)存在最小值时, f(x)a恒 成立af(x)max.,3.(2018课标,23,10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集; (2)若f(x)1,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时, f(x)= 可得f(x)0的解集为x|-2x3. (2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4. 而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立. 故f(x)1等价于|a+2|4. 由|a+2|4可得a-6或a2. 所以a的取值范围是(-,-62,+). 方法总结 解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法求解;求含 有两个或两个以上绝对值的函数的最值,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.,4.(2018课标,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)当x0,+)时, f(x)ax+b,求a+b的最小值.,解析 本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问题. (1)f(x)= y=f(x)的图象如图所示.,(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时, f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5. 易错警示 对“零点分段法”的理解不到位 若不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数,通常先把每个绝对值内代数式等于零 时的未知数的值求出(即零点),然后将这些零点标在数轴上,此时数轴被零点分成了若干段(区 间),在每一区间里,每一个绝对值符号内的代数式的符号确定,此时利用绝对值的定义可以去 掉绝对值符号. 解后反思 绝对值不等式问题常见类型及解题策略 (1)直接求解不等式,主要利用绝对值的意义、不等式的性质想办法去掉绝对值符号求解. (2)已知不等式的解集求参数值,利用绝对值三角不等式或函数求相应最值,再求参数的取值范 围.,5.(2017课标,23,10分)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.,解析 本题考查含绝对值的不等式的解法,考查学生的运算求解能力以及对数形结合思想的 应用能力. (1)解法一(零点分段法):当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当x1时,式化为x2+x-40,从而1x . 所以f(x)g(x)的解集为 . 解法二(图象法):由已知可得g(x)= 当a=1时, f(x)=-x2+x+4,两个函数的图象如图所示.,易得图中两条曲线的交点坐标为(-1,2)和 ,-1+ ,所以f(x)g(x)的解集为 . (2)解法一(等价转化法):当x-1,1时,g(x)=2. 所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等价于当x-1,1时f(x)2. 又f(x)在-1,1内的最小值必为f(-1)与f(1)之一, 所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1. 所以a的取值范围为-1,1.,解法二(分类讨论法):当x-1,1时,g(x)=2, 所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等价于x-1,1时f(x)2,即-x2+ax+42, 当x=0时,-x2+ax+42成立; 当x(0,1时,-x2+ax+42可化为ax- ,而y=x- 在(0,1单调递增,最大值为-1,所以a-1; 当x-1,0)时,-x2+ax+42可化为ax- ,而y=x- 在-1,0)单调递增,最小值为1,所以a1. 综上,a的取值范围为-1,1. 思路分析 (1)利用零点分段法或图象法解含绝对值的不等式;(2)根据题设可去掉绝对值,进 而转化为不等式恒成立问题进行求解. 方法总结 含绝对值不等式问题的常见解法: (1)含绝对值的不等式求解问题,常利用零点分段讨论法或数形结合法求解. (2)与恒成立相关的求参问题,常构造函数转化为求最值问题.,6.(2017课标,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,解析 本题考查绝对值不等式的解法. (1)f(x)= 当x2时,由f(x)1解得x2. 所以f(x)1的解集为x|x1. (2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x| =- + , 且当x= 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= . 故m的取值范围为 . 思路分析 (1)分段讨论,求得符合题意的x的取值范围,最后取并集.(2)不等式的解集非空,即不等式能成立,转化为求函数的最值处理.,7.(2016课标,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,解析 (1)f(x)= (3分) y=f(x)的图象如图所示. (5分) (2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分) 当f(x)=-1时,可得x= 或x=5, (7分) 故f(x)1的解集为x|1x3;f(x)-1的解集为 . (9分),所以|f(x)|1的解集为 . (10分),8.(2016课标,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.,解析 (1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26得-1x3. 因此f(x)6的解集为x|-1x3. (5分) (2)当xR时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当x= 时等号成立,所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3. (7分) 当a1时,等价于1-a+a3,无解. 当a1时,等价于a-1+a3,解得a2. 所以a的取值范围是2,+). (10分) 方法指导 (1)将a=2代入不等式,化简后去绝对值求解; (2)要使f(x)+g(x)3恒成立,只需f(x)+g(x)的最小值3即可,利用|a|+|b|ab|可求最值.,9.(2015课标,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时, f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10. 当x-1时,不等式化为x-40,无解; 当-10,解得 0,解得1x1的解集为 . (5分) (2)由题设可得, f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ,B(2a+1,0),C(a,a+1), ABC的面积为 (a+1)2. 由题设得 (a+1)26,故a2. 所以a的取值范围为(2,+). (10分) 解后反思 分类讨论解不等式应做到不重不漏;在某个区间上解不等式时一定要注意区间的限制性.,1.(2019课标,23,10分)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1) + + a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324. 证明 本题考查了学生的推理论证能力;考查的核心素养是逻辑推理. (1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有 a2+b2+c2ab+bc+ca= = + + . 所以 + + a2+b2+c2. (2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有 (a+b)3+(b+c)3+(c+a)33 =3(a+b)(b+c)(a+c) 3(2 )(2 )(2 ) =24. 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.,考点二 不等式的证明,思路分析 (1)利用重要不等式可得a2+b2+c2ab+bc+ca,再由abc=1可得 = + + , 从而得证. (2)由基本不等式的推广可证得结论.,2.(2019课标,23,10分)设x,y,zR,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 成立,证明:a-3或a-1.,解析 本题主要考查不等式的证明以及基本不等式的应用,考查学生推理论证的能力,考查了 逻辑推理的核心素养. (1)由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2 =(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1) 3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2, 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 , 当且仅当x= ,y=- ,z=- 时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为 . (2)证明:由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2 =(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2) 3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,由题设知 ,解得a-3或a-1. 难点突破 (1)考虑到x+y+z=1,(x-1)+(y+1)+(z+1)=(x+y+z)+1=2,将x-1,y+1,z+1分别看作一个整 体,转化为已知三数之和为定值,求它们平方和最小值的问题.和的平方与平方和之间存在等量 关系(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,借助基本不等式可消去乘积,得到(a+b+c)23(a2+b2+c2). (2)只需证明(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2min , 求(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2min的方法同第(1)问.,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 ,当且仅当x= ,y= ,z= 时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为 .,3.(2017课标,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2. 证明 本题考查不等式的证明. (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)2+ (a+b) =2+ , 所以(a+b)38,因此a+b2. 失分警示 运用直接法证明不等式时,可以通过分析和应用条件逐步逼近结论,在证明过程中 易因逻辑混乱而失分.,4.(2015课标,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|cd得( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得 + + . (ii)若 + + ,则( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以abcd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.,因此|a-b| + 是|a-b|( + )2即可. (2)两不等式的两边都为非负数,可通过两边平方来证明.,1.(2019江苏,21C,10分)设xR,解不等式|x|+|2x-1|2.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 不等式的性质和绝对值不等式,解析 本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力. 当x2,解得x2,即x 时,原不等式可化为x+2x-12,解得x1. 综上,原不等式的解集为 .,2.(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|2.,解析 原不等式可化为 或 解得x-5或x- . 综上,原不等式的解集是 .,1.(2016江苏,21D,10分)设a0,|x-1| ,|y-2| ,求证:|2x+y-4|a. 证明 因为|x-1| ,|y-2| , 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)| 2|x-1|+|y-2|2 + =a.,考点二 不等式的证明,2.(2015湖南,16(3),6分)设a0,b0,且a+b= + .证明: (1)a+b2; (2)a2+a0,b0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2 =2,即a+b2. (2)假设a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1 矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,1.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|2的解集是 ( ) A.(-,4) B.(-,1) C.(1,4) D.(1,5),C组 教师专用题组 考点一 不等式的性质和绝对值不等式,答案 A 当x5时,原不等式等价于x-1-(x-5)2,即42,无解. 综合知x4.,2.(2014广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|5的解集为 .,答案 x|x-3或x2,解析 原不等式等价于 或 或 解得x2或x-3. 故原不等式的解集为x|x-3或x2.,3.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|a2+ a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围 是 .,答案,解析 令f(x)=|2x-1|+|x+2|, 易求得f(x)min= , 依题意得a2+ a+2 -1a .,4.(2018江苏,21D,10分)若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值.,解析 本小题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力. 由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2, 因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z24, 当且仅当 = = 时等号成立, 此时x= ,y= ,z= . 所以x2+y2+z2的最小值为4. 思路分析 柯西不等式的基本应用 根据( + + )( + + )(a1b1+a2b2+a3b3)2来构造(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2,合理而自 然.,5.(2013课标,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x 时, f(x)g(x),求a的取值范围.,解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则 y= 其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2. (2)当x 时, f(x)=1+a. 不等式f(x)g(x)化为1+ax+3.,所以xa-2对x 都成立. 故- a-2,即a . 从而a的取值范围是 . 方法总结 (1)解含有绝对值符号的不等式的关键是去掉绝对值符号,可利用零点分段讨论法 把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式,也可设出函数,利用函 数图象解决. (2)对于不等式恒成立求参数问题,常分离参数,进而构造函数,转化为求最值问题.,1.(2017江苏,21D,10分)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd8. 证明 本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力. 由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2). 因为a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)264, 因此ac+bd8.,考点二 不等式的证明,2.(2014课标,24,10分)若a0,b0,且 + = . (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.,解析 (1)由 = + ,得ab2,且当a=b= 时等号成立. 故a3+b32 4 ,且当a=b= 时等号成立. 所以a3+b3的最小值为4 . (2)由(1)知,2a+3b2 4 . 由于4 6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6. 解题关键 利用已知条件及基本不等式得出ab2是解题的关键.,3.(2013课标,24,10分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ca ; (2) + + 1. 证明 (1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca . (2)因为 +b2a, +c2b, +a2c, 故 + + +(a+b+c)2(a+b+c), 即 + + a+b+c. 所以 + + 1. 思路分析 (1)利用a2+b22ab及(a+b+c)2=1证明不等式. (2)a+b+c=1,原不等式可转化为 + + +(a+b+c)2(a+b+c).两两结合,利用基本不等式证,明.,4.(2012课标,24,10分)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)3的解集; (2)若f(x)|x-4|的解集包含1,2,求a的取值范围.,解析 (1)当a=-3时, f(x)= 当x2时,由f(x)3得-2x+53,解得x1; 当2x3时, f(x)3无解; 当x3时,由f(x)3得2x-53,解得x4. 所以f(x)3的解集为x|x1或x4. (2)f(x)|x-4|x-4|-|x-2|x+a|. 当x1,2时,|x-4|-|x-2|x+a| 4-x-(2-x)|x+a| -2-ax2-a. 由条件得-2-a1且2-a2,即-3a0. 故满足条件的a的取值范围为-3,0.,5.(2011课标,24,10分)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a0. (1)当a=1时,求不等式f(x)3x+2的解集; (2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值.,解析 (1)当a=1时, f(x)3x+2可化为|x-1|2. 由此可得x3或x-1. 故不等式f(x)3x+2的解集为x|x3或x-1. (2)由f(x)0得|x-a|+3x0. 此不等式化为不等式组 或 即 或 因为a0,所以不等式组的解集为 . 由题设可得- =-1,故a=2. 失分警示 解不等式过程中忽视等号造成结果错误,或者去绝对值时忽视条件a0,造成解集 错误.,考点一 不等式的性质和绝对值不等式 1.(2018豫南九校5月联考,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|. (1)若关于x的不等式f(x)a有解,求实数a的取值范围; (2)若关于x的不等式f(x)a的解集为 ,求a+b的值.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,解析 (1)关于x的不等式f(x)f(x)min, f(x)= 作出函数f(x)的图象如图所示,观察函数的图象,可得实数a的取值范围是(4,+). (2)由题意可得x= 是方程|x+1|+|x-3|=a的解,据此有a= + =5,解绝对值不等式|x+1|+|x-3,|5可得- x . 故b=- ,所以a+b=5- = .,2.(2018河南新乡二模,23)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3. (1)求不等式f(x)2的解集; (2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.,解析 (1)由f(x)2,得 或 或 解得0x5,故不等式f(x)2的解集 为0,5. (2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3= 作出函数f(x)的图象,如图所示,当此直线经过点B(4,0)时,k= ; 当此直线与直线AD平行时,k=-2. 故由图可知,k(-,-2) .,易知直线y=kx-2过定点C(0,-2),3.(2019广东广州天河二模,23)已知函数f(x)=|2x|+|2x+3|+m(mR). (1)当m=-2时,求不等式f(x)3的解集; (2)若x(-,0),都有f(x)x+ 恒成立,求m的取值范围.,解析 (1)当m=-2时, f(x)=|2x|+|2x+3|+m= (2分) 由 解得0x . 由- x0,得13恒成立. 由 解得-2x- . 综上,不等式的解集为 . (5分) (2)当x(-,0)时,f(x)=|2x|+|2x+3|+m=,当- 0,x , y=5x+ +3在 上是增函数. 当x=- 时,y=5x+ +3取得最大值- ,m- . (9分) 综上,m-3-2 . (10分),4.(2019安徽淮南一模,23)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2|. (1)求不等式f(x)3的解集; (2)若f(x) + (m,n0)对任意xR恒成立,求m+n的最小值.,解析 (1)f(x)= f(x)3, 或 或 解得x0或x2, 故f(x)3的解集为x|x0或x2. (2)由函数的解析式得f(x)min= , + , , 即m+n mn ,当且仅当m=n时等号成立, m,n0,m+n ,当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为 .,1.(2018山西晋中二模,23)已知函数f(x)=|x+1|. (1)若x0R,使不等式f(x0-2)-f(x0-3)u成立,求满足条件的实数u的集合M; (2)已知t为集合M中的最大正整数,若a1,b1,c1,且(a-1)(b-1)(c-1)=t,求证:abc8.,考点二 不等式的证明,解析 (1)由已知得f(x-2)-f(x-3)=|x-1|-|x-2|= 则-1f(x)1, 由于x0R,使不等式|x0-1|-|x0-2|u成立, 所以u1,即M=u|u1. (2)证明:由(1)知t=1,则(a-1)(b-1)(c-1)=1, 因为a1,b1,c1,所以a-10,b-10,c-10, 则a=(a-1)+12 0(当且仅当a=2时等号成立), b=(b-1)+12 0(当且仅当b=2时等号成立), c=(c-1)+12 0(当且仅当c=2时等号成立), 则abc8 =8(当且仅当a=b=c=2时等号成立).,2.(2018广东中山二模,23)已知函数f(x)=x+1+|3-x|,x-1. (1)求不等式f(x)6的解集; (2)若f(x)的最小值为n,正数a,b满足2nab=a+2b,求证:2a+b .,解析 (1)根据题意, 若f(x)6,则有 或 解得-1x4,故原不等式的解集为x|-1x4. (2)证明:函数f(x)=x+1+|3-x|= 分析可得f(x)的最小值为4,即n=4, 则正数a,b满足8ab=a+2b,即 + =8, 2a+b= (2a+b)= = , 原不等式得证.,3.(2019河南许昌、新乡、平顶山三市联考,23)已知函数f(x)= + ,M为不等式f(x)2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.,解析 (1)当x-1,-1 时,不等式f(x)0, 即a2b2+1a2+b2, 即a2b2+1+2aba2+b2+2ab, 即(ab+1)2(a+b)2, 即|a+b|1+ab|.,4.(2019江西萍乡二模,23)已知函数f(x)=|x+1|-|1-x|,g(x)=|x+a2|+|x-b2|,其中a,b均为正实数,且a+b=2. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)当xR时,求证f(x)g(x).,解析 (1)f(x)=|x+1|-|1-x|= 当x-1时,f(x)=-21,不等式f(x)1无解; 当-1x1时,f(x)=2x1,解得 x1; 当x1时,f(x)=21恒成立. 综上所述,不等式f(x)1的解集为 . (2)证明:当xR时,f(x)=|x+1|-|1-x|x+1+1-x|=2, g(x)=|x+a2|+|x-b2|x+a2-(x-b2)|=|a2+b2|=a2+b2. 而a2+b2=(a+b)2-2ab(a+b)2-2 = =2, 当且仅当a=b时,等号成立,即a2+b22, 因此f(x)2a2+b2g(x), 即f(x)g(x).,解答题(共80分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：60分钟 分值：80分),1.(2018山东青岛二模,23)设函数f(x)=|x-1|+|2x-1|. (1)解不等式f(x)3-4x; (2)若f(x)+|1-x|6m2-5m对一切实数x都成立,求m的取值范围.,解析 (1)f(x)=|x-1|+|2x-1|= 由不等式f(x)3-4x得 或 或 解得x , 原不等式的解集为 . (2)f(x)+|1-x|=|x-1|+|2x-1|+|1-x|=2|x-1|+|2x-1|=|2x-2|+|2x-1|2x-2-(2x-1)|=1,当且仅当(2x-2)(2x-1) 0时取等号, 故f(x)+|1-x|的最小值为1, 又f(x)+|1-x|6m2-5m对一切实数x都成立, 16m2-5m,解得- m1, m的取值范围为 . 方法指导 (1)利用零点分段法求解. (2)由f(x)+|1-x|6m2-5m对一切实数x都成立,得f(x)+|1-x|min6m2-5m,故转化为求最值问题. 知识拓展 利用绝对值三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|可求两种特殊函数最值:f(x)=|Ax+B| +|Ax+C|Ax+B-Ax-C|=|B-C|,当且仅当(Ax+B)(Ax+C)0时取“=”;f(x)=|Ax+B|-|Ax+C|Ax +B-Ax-C|=|B-C|,当且仅当(Ax+B)(Ax+C)0时取“=”.,2.(2018河北唐山一模)设函数f(x)=|x+1|-|x|的最大值为m. (1)求m的值; (2)若正实数a,b满足a+b=m,求 + 的最小值.,解析 (1)|x+1|-|x|x+1-x|=1, f(x)的最大值为1,m=1. (2)由(1)可知,a+b=1, + = (a+1)+(b+1) = (2ab+a2+b2)= (a+b)2= , 当且仅当a=b= 时取等号, + 的最小值为 . 方法指导 (1)根据绝对值三角不等式求出f(x)的最大值即可.(2)由(1)得a+b的值,进而利用基 本不等式的相关知识求解.,3.(2019河北重点中学4月联考,23)设函数f(x)=|x-1|+|x+3|. (1)求不等式|f(x)-6|1的解集; (2)证明:4-x2f(x)2|x|+4.,解析 (1)|f(x)-6|1时,52x+27,解得 x . 综上,不等式的解集为 . (2)证明:f(x)=|x-1|+|x+3|x|+1+|x|+3=2|x|+4,当且仅当x=0时等号成立. f(x)=|x-1|+|x+3|1-x+x+3|=4, f(x)4, 4-x24, 4-x2f(x), 4-x2f(x)2|x|+4.,思路分析 (1)由不等式|f(x)-6|1可得5f(x)7,分段讨论解不等式即可;(2)根据绝对值三角不 等式即可证明. 解后反思 本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的证明,体现了转化、分类讨论的数 学思想.,4.(2019江西南昌二模,23)已知函数f(x)=-|x-a|+a,g(x)=|2x-1|+|2x+4|. (1)解不等式g(x)6; (2)若对任意的x1R,存在x2R,使得-g(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围.,解析 (1)g(x)=|2x-1|+|2x+4|= 当x-2时,-4x-3- ,故- x-2; 当-2x 时,56恒成立,故-2x ; 当x 时,4x+36,得x ,故 x . 综上,不等式g(x)6的解集是 . (2)对任意的x1R,存在x2R,使得-g(x1)=f(x2)成立, 即f(x)的值域包含-g(x)的值域,由f(x)=-|x-a|+a,知f(x)(-,a, 又g(x)=|2x-1|+|2x+4|2x-1-2x-4|=5,且等号能成立, 所以-g(x)(-,-5, 所以a-5,即a的取值范围为-5,+).,思路分析 (1)通过去掉绝对值符号,转化为求解一元一次不等式的解集;(2)分别求出f(x),g(x) 的值域,即可求解实数a的取值范围. 名师评析 本题主要考查了解绝对值不等式,利用绝对值不等式的几何意义解决问题,考查推 理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等,考 查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.,5.(2019河南郑州二模,23)关于x的不等式|x-2|m(mN*)的解集为A,且 A, A. (