（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.1随机事件、古典概型和几何概型课件.pptx

第十二章 概率与统计 12.1 随机事件、古典概型和几何概型,高考理数 (课标专用),考点一 古典概型,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 A 本题以数学文化为背景考查排列与组合;考查学生的数据处理能力和应用意识;考 查的核心素养是数学建模与数学运算. 重卦是由从下到上排列的6个爻组成,而爻有“阳爻”和“阴爻”两种,故所有的重卦共有26= 64种.重卦中恰有3个“阳爻”的共有 =20种.故所求概率P= = ,故选A. 审题指导 本题渗透了中国传统文化,以周易中的“卦”为背景,考查排列、组合,组成所 有重卦的情况是“可重复排列”问题,从下到上的每个爻都有两种选择;而其中恰有3个阳爻 的重卦,只需从6个爻中选出3个作为阳爻,其余均为阴爻,本题是一个标准的组合问题.,2.(2018课标,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥 德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数 中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题主要考查古典概型. 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从这10个素数中随机选取两个不同的数, 有 =45种情况,其和等于30的情况有3种,则所求概率等于 = .故选C. 方法总结 解决关于古典概型的概率问题关键是正确求出基本事件的总数和所求事件包含 的基本事件数.(1)当基本事件的总数较少时,可用列举法把所有基本事件一一列举出来.(2)注 意区分排列与组合,正确使用计数原理.,考点二 几何概型,1.(2018课标,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆 构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的 区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的 概率分别记为p1,p2,p3,则 ( ) A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3,答案 A 本题主要考查几何概型概率的求法. 不妨设BC=5,AB=4,AC=3,则ABC三边所围成的区域的面积S1= 34=6,区域的面积S3= -S1= -6,区域的面积S2= 22+ - =6,所以S1=S2S3,由几何概型的概 率公式可知p1=p2p3,故选A. 方法总结 与面积有关的几何概型的解法 求与面积有关的几何概型的概率时,关键是弄清某事件所有结果对应的平面区域的形状并能 正确计算面积.必要时可根据题意构造两个变量,利用平面直角坐标系,找到全部试验结果构成 的平面图形及某事件所有结果构成的平面图形,以便求解.,2.(2017课标,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的 黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色 部分的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查几何概型和概率的计算方法,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心 对称,则黑色部分的面积为 ,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P= = ,故选B.,3.(2016课标,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘 坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A. B. C. D.,答案 B 解法一:7:30的班车小明显然是坐不到的.当小明在7:50之后8:00之前到达,或者8:20 之后8:30之前到达时,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为 = .故选B. 解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,7:508:30的 其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1- = .,4.(2016课标,10,5分)从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2), (xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近 似值为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 如图,数对(xi,yi)(i=1,2,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数 的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分,不含圆边界)内,则由几 何概型的概率公式可得 = = .故选C.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 古典概型,1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽 到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题主要考查古典概型. 由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n=98=72,抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基 本事件个数m= =40,所以所求概率P= = = .故选C.,2.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同 学中至少有1名女同学的概率是 .,答案,解析 本题主要考查了古典概型和古典概型概率的计算方法,考查学生的应用意识和运算求 解能力,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算. 解法一:记3名男同学分别为a1、a2、a3,2名女同学分别为b1、b2,从这5名同学中选出2名同学的 选法如下:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种,其中至少有1 名女同学的选法如下:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7种,故所求概率P= . 解法二:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有 =10种选法,其中选出的2名同学都是 男同学的选法有 =3种,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P=1- = . 解后反思 解决古典概型概率问题的关键是不重不漏地列出所有基本事件,既可以从正面直 接求解,也可以从反面找对立事件来求解.,3.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好 选中2名女生的概率为 .,答案,解析 本题考查古典概型. 解法一:把男生编号为男1,男2,女生编号为女1,女2,女3,则从5名学生中任选2名学生有:男1男2,男1 女1,男1女2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10 种情况,其中选中2名女生有3种 情况,则恰好选中2名女生的概率为 . 解法二:所求概率P= = . 易错警示 在使用古典概型的概率公式时,应注意:(1)要判断该概率模型是不是古典概型;(2) 分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m,常用列举法把基本事件一一列举出来,再利 用公式P(A)= 求出事件A发生的概率,列举时尽量按某一顺序,做到不重复、不遗漏.,考点二 几何概型,1.(2015陕西,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为 ( ) A. + B. - C. - D. +,答案 B |z|1,(x-1)2+y21,表示以M(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,该圆的面积为 .易知直线y=x与圆(x-1)2+y2=1相交于O(0,0),A(1,1)两点,作图如下: OMA=90,S阴影= - 11= - . 故所求的概率P= = = - .,2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)= 的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD 的概率是 .,答案,解析 本题考查几何概型. 由6+x-x20,得-2x3,即D=-2,3, P(xD)= = .,3.(2015福建,13,4分)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内 随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .,答案,解析 由题图可知S阴影=S矩形ABCD- x2dx=14- =4- = ,则所求事件的概率P= = = .,C组 教师专用题组 考点一 古典概型,1.(2014课标,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况,而4 位同学都选周六有1种情况,4位同学都选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加公益活 动的概率为P= = = ,故选D. 解题关键 正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件个数是解题的关键.,2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩 具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .,答案,解析 先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个. 其中点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而点数之和小于10的数对 共有30个,故所求概率P= = .,3.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一 次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .,答案,解析 记两只黄球为黄A与黄B,从而所有的摸球结果为(白,红),(红,黄A),(红,黄B),(白,黄A),(白, 黄B),(黄A,黄B),共6种情况,其中颜色不同的有5种情况,则所求概率P= .,4.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的 人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.,解析 (1)由已知,有P(A)= = . 所以,事件A发生的概率为 . (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = . 所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=0 +1 +2 =1.,考点二 几何概型 (2015湖北,7,5分)在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y ”的概率,p2为事件 “|x-y| ”的概率,p3为事件“xy ”的概率,则 ( ) A.p1p2p3 B.p2p3p1 C.p3p1p2 D.p3p2p1,其面积为S2=1- - = , p2= = . 满足xy 的区域如图3中的阴影部分, 图3 其面积为S3= 1+ dx= + ln x = + ln 2, p3= = + ln 2. p1-p3= - ln 2= = ln ,而e316,p1-p30,即p1p3. 而p2-p3= - ln 2= ln p3p2. 评析 本题考查几何概型概率的求解,平面图形的面积计算,定积分等知识,考查推理运算能力 和化归与转化思想.,考点一 古典概型 1.(2018广东深圳一模,4)两名同学分3本不同的书,则其中一人没有分到书,另一人分得3本书的 概率为 ( ) A. B. C. D.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 B 设3本不同的书分别为a,b,c,两名同学分3本不同的书,基本事件有(0,3),(1a,2),(1b,2), (1c,2),(2,1a),(2,1b),(2,1c),(3,0),共8个,其中一人没有分到书,另一人分到3本书的基本事件有2个, 一人没有分到书,另一人分得3本书的概率P= = .故选B.,2.(2019福建厦门一模,5)易经是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、 巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“ ”表示一根阳线,“ ” 表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 观察八卦图可知,含有3根阴线的共有1卦,含有3根阳线的共有1卦,含有2根阴线1根 阳线的共有3卦,含有1根阴线2根阳线的共有3卦,故从八卦中任取两卦,这两卦的六根线恰有三 根阳线和三根阴线的概率为 = .故选D.,3.(2019江西南昌一模,6)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物 理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年上高一的小明与小 芳都准备选历史与政治,假若他们都对后面三科没有偏好,则他们选课相同的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 基本事件总数为 =9,他们选课相同的事件总数为 =3,他们选课相同的概 率P= = .故选B.,4.(2019广东东莞一模,6)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两 项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 基本事件总数n= =6,乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数 m= =2,乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率P= = = .故选B.,5.(2018湖南六校4月联考,14)设袋子中装有3个红球,2个黄球,1个蓝球,规定:取出一个红球得1 分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分,现从该袋子中任取两次,每次取1个球(有放回,且 每球被取得的机会均等),则取出此2球所得分数之和为3分的概率为 .,答案,解析 从袋子中任取(有放回,且每球被取得的机会均等)2个球,基本事件总数n=66=36,取出 此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=23+32=12,所以取出此2球所得分数之和 为3分的概率P= = = .,考点二 几何概型,1.(2019湖北武汉模拟,7)如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积, 在正方形区域内随机投掷800个点,其中落入黑色部分的有453个点,据此可估计黑色部分的面 积约为 ( ) A.11 B.10 C.9 D.8,答案 C 由随机模拟试验可得 = ,所以S黑= 169,故选C.,2.(2018河南安阳二模,7)在区间-1,1上任选两个数x和y,则x2+y21的概率为 ( ) A.1- B. - C.1- D. -,答案 A 在区间-1,1上任选两个数x和y,则 如图,该不等式组表示的平面区域是边 长为2的正方形区域(含边界),x2+y21(-1x1,-1y1)表示的平面区域是图中的阴影区域, 由几何概型概率计算公式得x2+y21的概率P= = =1- .故选A.,3.(2019河北唐山二模,6)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈 补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现,如图揭示了刘徽推导三角形面积 公式的方法.在ABC内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 根据题意可得标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,故该点落在标 记“盈”的区域的概率为 ,故选A.,4.(2019河南安阳二模,8)如图所示,分别以点B和点D为圆心,以线段BD的长为半径作两个圆.若 在该图形内任取一点,则该点取自四边形ABCD内的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 设BD=2,由已知可得ABD,BCD是全等的等边三角形,所以S四边形ABCD=2 22 =2 ,整个图形可以看作由两个弓形组成,其面积S=2 = +2 ,所以所求的概率为 = ,故选A.,一、选择题(每题5分,共40分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：45分钟 分值：50分),1.(2018河南新乡二模,4)已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(AB)= ,某人猜测事件 发生,则此人猜测正确的概率为 ( ) A.1 B. C. D.0,答案 C 事件 与事件AB是对立事件,事件 发生的概率为P( )=1-P(A B)=1- = ,则此人猜测正确的概率为 .故选C.,2.(2018福建漳州二模,8)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“论语知识大赛”,决出第1名 到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你 俩都没得到第一名”;对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析,丙是第一名的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 甲和乙都不可能是第一名,第一名只可能是丙、丁或戊,又考虑到所有的限制 条件对丙、丁、戊都没有影响,这三个人获得第一名是等可能事件,丙是第一名的概率是 .故选B.,3.(2019山西太原模拟,2)已知随机事件A和B互斥,且P(AB)=0.7,P(B)=0.2,则P( )= ( ) A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8,答案 A 随机事件A和B互斥,且P(AB)=0.7,P(B)=0.2,P(A)=P(AB)-P(B)=0.7-0.2=0.5, P( )=1-P(A)=1-0.5=0.5.故选A. 方法总结 本题考查事件A的对立事件的概率的求法.若事件A与事件B是互斥事件,则P(A B)=P(A)+P(B);若事件A与事件B是对立事件,则P(AB)=P(A)+P(B)=1.,4.(2019湖南师大附中3月模拟,5)2019年1月1日,济南轨道交通1号线试运行,济南轨道交通集团 面向广大市民开展“参观体验,征求意见”活动,市民可以通过济南地铁App抢票,小陈抢到了 三张体验票,准备从四位朋友小王,小张,小刘,小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活 动,则小王和小李至多一人被选中的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 小王和小李至多1人被选中的反面为小王和小李都被选中.设A=小李和小王至多1 人被选中,B=小李和小王都被选中,则B包含1个基本事件,P(A)=1-P(B)=1- = .故选D.,5.(2019安徽蚌埠二模,4)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两位数能被4整除的 概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 从1,2,3,4中选取两个不同数字组成的所有两位数为12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,3 4,43,共12个基本事件,其中能被4整除的数有12,24,32,共3个基本事件,所以这个两位数能被4整 除的概率P= = .故选B. 思路分析 列举出从1,2,3,4中选取两个不同数字组成的全部两位数,数出能被4整除的两位数 的个数,相除即可.,6.(2019广东深圳二模,8)19世纪末,法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”, 即“在一个圆内任意选一条弦,这条弦的弦长大于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多 少?”贝特朗用了“随机半径”“随机端点”“随机中点”三个合理的求解方法,但结果都不 相同.该悖论的矛头直击概率概念本身,强烈地刺激了概率论基础的严格化.已知“随机端点” 的方法如下:设A为圆O上一个定点,在圆周上随机取一点B,连接AB,求所得弦长AB大于圆O的 内接等边三角形边长的概率.则由“随机端点”法所求得的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M,以点A为一顶点,在圆中作一 圆内接正三角形ACD,如图所示,则要满足题意,点B只能落在劣弧CD上,又圆内接正三角形 ACD恰好将圆周3等分,故P(M)= = ,故选C. 解题关键 本题考查几何概型的意义,关键是要找出满足弦AB的长度超过圆内接正三角形边 长的图形的测度,再代入几何概型概率计算公式求解.,7.(2019河南商丘模拟,8)如图,在矩形区域ABCD中,AB=2,AD=1,且在A,C两点处各有一个通信 基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号 来源,基站工作正常),若在该矩形区域内随机选一地点,则该地点无信号的概率是 ( ) A.2- B. -1 C.1- D.,答案 C 扇形ADE的半径为1,圆心角等于90,扇形ADE的面积S1= 12= ,同理可得 扇形CBF的面积S2= ,又长方形ABCD的面积S=21=2,在该矩形区域内随机选一地点,该 地点无信号的概率P= = =1- .故选C. 思路分析 根据题意,算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和,结合矩形ABCD的面积, 再由测度比为面积比得答案. 解题关键 本题考查几何概型概率的求法,明确本题中的测度比为面积比是关键.,8.(2017湖北襄阳优质高中联考,10)已知=3 x2dx,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,则在矩形ABCD 内(包括边界)任取一点P,使得 的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由已知得=3 x2dx=3 x3 =1.建立如图所示的平面直角坐标系. 则A(0,0),C(2,1),设P(x,y),则 =(x,y), =(2,1),故 =2x+y,则点P(x,y)的坐标满足2x+y1, 由图可知满足条件的点P所在的区域(图中阴影区域)的面积S=21- 1 =2- = ,故所求概 率为 = ,故选D. 解题关键 正确求解定积分及找出满足条件的区域是解决本题的关键.,9.(2018山西太原一模,18)某快递公司收取快递费用的标准如下:质量不超过1 kg的包裹收费10 元;质量超过1 kg的包裹,除1 kg收费10元之外,超过1 kg的部分,每1 kg(不足1 kg,按1 kg计算)需 再收5元.该公司对近60天每天揽件数量统计如下表:,二、解答题(共10分),(1)某人打算将A(0.3 kg),B(1.8 kg),C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出,求该人支付的快 递费不超过30元的概率; (2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的 作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件,工资100元,目前前台有工作人员3人, 那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利?,解析 (1)由题意,寄出方式有以下三种可能:,所有3种情况中,有1种情况快递费未超过30元,根据古典概型概率计算公式,所求概率为 . (3 分) (2)由题目中的天数得出频率,如下:,若不裁员,则每天可揽件的上限为450件,公司每日揽件数情况如下:,故公司平均每日利润为2605-3100=1 000(元