（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.6函数与方程课件.pptx

2.6 函数与方程,高考理数 (课标专用),考点一 函数零点个数及所在区间的判断 1.(2017课标,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= ( ) A.- B. C. D.1,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 C 由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解, 即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解, 令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a= . 令h(t)= ,易得h(t)为偶函数, 又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以a= = ,故选C.,2.(2018课标,15,5分)函数f(x)=cos 在0,的零点个数为 .,答案 3,解析 本题考查函数与方程. 令f(x)=0,得cos =0,解得x= + (kZ).当k=0时,x= ;当k=1时,x= ;当k=2时,x= ,又 x0,所以满足要求的零点有3个.,3.(2019课标,20,12分)已知函数f(x)=ln x- . (1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点; (2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.,解析 本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数零点以及导数的几何意义.考查学生分 析、解决问题的能力,考查逻辑推理能力和运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心 素养. (1)f(x)的定义域为(0,1)(1,+). 因为f (x)= + 0,所以f(x)在(0,1),(1,+)单调递增. 因为f(e)=1- 0,所以f(x)在(1,+)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0 1, f =-ln x1+ =-f(x1)=0,故f(x)在(0,1)有唯一零点 . 综上, f(x)有且仅有两个零点.,(2)因为 = ,故点B 在曲线y=ex上. 由题设知f(x0)=0,即ln x0= , 故直线AB的斜率k= = = . 曲线y=ex在点B 处切线的斜率是 ,曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是 , 所以曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线. 解后反思 (1)先判断函数的单调性,然后结合零点存在性定理证明函数f(x)有且仅有两个零 点. (2)要证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线,首先求得这条切线的斜率k= ,所以必须在曲线y=ex上找一点B(x1, ),使 = ,从而求得B点的坐标为 ,然后证 明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率等于曲线y=ex在点B 处的切线斜率即可.,考点二 由函数零点求参数的取值范围 (2018课标,9,5分)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范 围是 ( ) A.-1,0) B.0,+) C.-1,+) D.1,+),答案 C 本题主要考查函数的零点及函数的图象. g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)= 与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图, 当x=0时,h(0)=-a, 由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点, 需要-a1,即a-1.故选C. 方法总结 已知函数零点的个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数 问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 函数零点个数及所在区间的判断 (2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间0,1)上, f(x)= 其中 集合D= ,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是 .,答案 8,解析 解法一:由于f(x)0,1),故只需考虑1x10的情况, 在此范围内,xQ且xZ时,设x= ,p,qN*,p2且p,q互质,若lg xQ,则由lg x0,1),可设lg x = ,m,nN*,m2且m,n互质,因此1 = ,则10n= ,此时等号左边为整数,等号右边为非整 数,矛盾.因此lg xQ, 因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等, 只需考虑lg x与每个周期内xD对应的部分的交点. 画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lg x)= = 1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.,解法二:先证明结论:1 k- ,其中p,qN*且p,q互质,k,nN*. 假设1 =k- ,则10q= . 左边是整数,而右边不是整数,矛盾. 则1 k- , 则原方程即f(x)-lg(x+k)=0,其中kN*,x0,1), 该方程即k=10f(x)-x. 当xD时,该方程有唯一解x=0,此时k=1, 由于函数y=10x-x在(0,1)上单调递增, 因此,当xD时,k=2,3,4,5,6,7,8均满足该方程有唯一解. 综上所述,方程的解的个数为8.,考点二 由函数零点求参数的取值范围 1.(2019浙江,9,4分)设a,bR,函数f(x)= 若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零 点,则 ( ) A.a0 C.a-1,b-1,b0 答案 C 本题以分段函数为背景,考查含参数的三次函数的零点个数问题,通过对参数范围 的讨论,考查学生的推理论证能力,以及数形结合思想,利用多变量的代数式的变形,考查学生 的数学运算的核心素养,以及创新思维与创新意识. 记g(x)=f(x)-ax-b, 当x0时,g(x)=(1-a)x-b,最多有1个零点. 当x0时,g(x)= x3- (a+1)x2-b, g(x)=x2-(a+1)x=xx-(a+1),若a-1,则a+10,即-a-10,g(x)0, 函数g(x)在0,+)上单调递增, g(x)在0,+)上最多有1个零点, 故g(x)在R上最多有2个零点,不合题意, 故a-1, 当x0,a+1)时,g(x)0,函数g(x)单调递减, 当x(a+1,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增,故g(x)有3个零点的条件为 所以 对照选项,应选C.,2.(2017山东,10,5分)已知当x0,1时,函数y=(mx-1)2的图象与y= +m的图象有且只有一个交 点,则正实数m的取值范围是 ( ) A.(0,12 ,+) B.(0,13,+) C.(0, 2 ,+) D.(0, 3,+),答案 B 当01时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y= +m的图象,如图.,要满足题意,则(m-1)21+m,解得m3或m0(舍去), m3. 综上,正实数m的取值范围为(0,13,+). 方法总结 已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法: 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式,再通过解方程或不等式确定参数 的值或取值范围. 分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决. 数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.,3.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数, f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且 f(x)是奇函数.当x(0,2时, f(x)= ,g(x)= 其中k0.若在区间(0,9上,关 于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是 .,答案,4.(2018天津,14,5分)已知a0,函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异 的实数解,则a的取值范围是 .,答案 (4,8),解析 本题主要考查函数零点的应用. 设g(x)=f(x)-ax= 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点, 满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况: 情况一: 则 4a8.,情况二: 则 不等式组无解. 综上,满足条件的a的取值范围是(4,8). 解题策略 解决方程的根的问题时,通常转化为函数的零点问题,进而转化为函数图象的交点 问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.,5.(2018浙江,15,6分)已知R,函数f(x)= 当=2时,不等式f(x)0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是 .,答案 (1,4);(1,3(4,+),解析 本小题考查分段函数,解不等式组,函数的零点,分类讨论思想和数形结合思想. 当=2时,不等式f(x)4.两个零点为1,4,由图可知,此时13. 综上,的取值范围为(1,3(4,+). 思路分析 (1)f(x)0 或 此时要特别注意分段函数在每一段上的解析 式是不同的,要把各段上的不等式的解集取并集. (2)函数零点个数的判定一般要作出函数图象,此时要特别注意两段的分界点是否能取到.,C组 教师专用题组 考点一 函数零点个数及所在区间的判断 1.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)= -log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+),答案 C 易知f(x)是单调递减函数.f(1)=6-log21=60, f(2)=3-log22=20, f(3)=2-log230, f(4)= -log24= -20,选项中包含f(x)零点的区间是(2,4).,2.(2013重庆,6,5分)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区 间 ( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内,答案 A 由题意可得f(a)0, f(b)0,由二次函数图象知f(x)的两个零点分别位于区间 (a,b)和(b,c)内.,3.(2013天津,7,5分)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数即为方程|log0.5x|= = 的根的个数,亦即函 数y1=|log0.5x|与y2= 的图象的交点个数.两个函数的图象如图所示,可知两个函数图象有两个 交点,故选B.,4.(2015安徽,15,5分)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根 的是 .(写出所有正确条件的编号) a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b2;a=0,b=2;a=1,b=2.,答案 ,解析 设f(x)=x3+ax+b. 当a=-3,b=-3时, f(x)=x3-3x-3, f (x)=3x2-3,令f (x)0,得x1或x2时, f(x)=x3-3x+b,易知f(x)的极大值为f(-1)=2+b0,极小值为f(1)=b-20,x-时, f(x) -,故方程f(x)=0有且仅有一个实根,故正确. 当a=0,b=2时, f(x)=x3+2,显然方程f(x)=0有且仅有一个实根,故正确. 当a=1,b=2时, f(x)=x3+x+2, f (x)=3x2+10,则f(x)在(-,+)上为增函数,易知f(x)的值域为R, 故f(x)=0有且仅有一个实根,故正确. 综上,正确条件的编号有.,考点二 由函数零点求参数的取值范围 1.(2015北京,14,5分)设函数f(x)= 若a=1,则f(x)的最小值为 ; 若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .,答案 -1 2,+),解析 当a=1时, f(x)= 其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. 当a0时,显然函数f(x)无零点; 当01,由二次函数的性质可知,当x1时, f(x)有2个零点,要使f(x)恰有2个零点,需 要f(x)在(-,1)上无零点,则2-a0,即a2. 综上可知,满足条件的a的取值范围是 2,+).,2.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)= 函数g(x)=b-f(2-x),其中bR.若函数y=f(x)-g(x) 恰有4个零点,则b的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由已知条件可得g(x)= 函数y=f(x),y=g(x)的图象如图所示: 要使y=f(x)-g(x)恰有4个零点,只需y=f(x)与y=g(x)的图象恰有4个不同的交点,需满足 在x2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令,h(x)=x2-5x+8-b,需 即 解得 b2. 综上所述,满足条件的b的取值范围是 b2,故选D.,3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)= 若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的 取值范围是 .,答案 (-,0)(1,+),解析 当a1时, f(x)的图象如图所示,当b(a2,a3时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1= ,x2= .综上,a(-,0)(1,+).,考点一 函数零点个数及所在区间的判断 1.(2019山西临汾一模,6)函数f(x)=log8x- 的一个零点所在的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 B f(1)=0- =- 0,f(1)f(2)0,又知函数f(x)=log8x- 在(0,+)上为单调增函数,函数f(x)在(0,+)上只有一个零点,且零点所在的区间是(1,2),故选B.,2.(2018河南安阳一模,12)已知函数f(x)= (e为自然对数的底数),则函数F(x)=f(f(x)- f(x)-1的零点个数为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.3,答案 B 令f(x)=t,则由F(x)=0得f(t)= t+1.作出y=f(x)的函数图象如图所示: 设直线y=k1x+1与曲线y=ex相切,切点为(x0,y0),则 解得x0=0,k1=1.,设直线y=k2x+1与曲线y=ln x相切,切点为(x1,y1),则 解得x1=e2,k2= . 直线y= t+1与f(t)的图象有4个交点,不妨设4个交点横坐标为t1,t2,t3,t4,且t1t2t3t4,由图象可 知t10,t2=0,0t31,t4=e2.由f(x)的函数图象可知f(x)=t1无解, f(x)=t2有一个解, f(x)=t3有三个解, f(x) =t4有两个解.F(x)有6个零点.故选B. 思路分析 F(x)的零点个数即为F(x)=0的解的个数,换元,令f(x)=t,将方程化为关于t的方程,画 函数图象,数形结合得关于t的方程的解的个数及解的范围,再由f(x)=t确定所求零点个数.,考点二 由函数零点求参数的取值范围 (2019福建厦门一模,10)已知函数f(x)= g(x)=f(x)-ax+a,若g(x)恰有1个零点,则a 的取值范围是 ( ) A.-1,01,+) B.(-,-10,1 C.-1,1 D.(-,-11,+),答案 A 由g(x)=f(x)-ax+a=0得f(x)=a(x-1). f(1)=1-3+2=0,g(1)=f(1)-a+a=0,即x=1是g(x)的一个零点. 若g(x)恰有1个零点,则当x1时,f(x)=a(x-1)没有实数根,即a= 没有实根. 当x1时,h(x)= = ,h(x)= 0,且h(1)1,即0h(x)1,作出函数h(x)的图象如图, 要使a= 没有实数根,则a1或-1a0.,综上,实数a的取值范围是-1,01,+),故选A.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:20分钟 分值:25分 选择题(每题5分,共25分),1.(2018河南安阳二模,12)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+)上无零点,则实数a的 取值范围是 ( ) A.0,1 B.-1,0 C.0,2 D.-1,1,答案 A 令f(x)=0,可得ln(x+1)=-a(x2-x),令g(x)=ln(x+1),h(x)=-a(x2-x).f(x)在区间(0,+)上无 零点,g(x)=ln(x+1)与h(x)=-a(x2-x)的图象在y轴右侧无交点. 显然当a=0时符合题意; 当a0时,作出g(x)=ln(x+1)与h(x)=-a(x2-x)的函数图象,如图2所示, 若两函数图象在y轴右侧无交点,则h(0)g(0),即a1.综上,0a1.故选A.,思路分析 令g(x)=ln(x+1),h(x)=-a(x2-x),由题意得两函数图象在y轴右侧无交点,根据函数图象 得出a的范围.,2.(2019湖南娄底二模,9)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xln x=1的解,则x1x2等于 ( ) A.1 B.-1 C.e D.,答案 A 考虑到x1,x2是函数y=ex、函数y=ln x分别与函数y= 的图象的公共点A,B的横坐标, 而A ,B 两点关于直线y=x对称,因此x1x2=1.故选A. 解题关键 本题考查函数与方程的综合问题,正确转化是解题的关键,将方程xex=1的解、方程 xln x=1的解转化为函数y=ex、函数y=ln x分别与函数y= 的图象的公共点A,B的横坐标来求解.,3.(2019安徽宣城二模,11)已知a,b,c,d都是常数,ab,cd.若f(x)=2 019+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则 下列不等式正确的是( ) A.acdb B.abcd C.cdab D.cabd,答案 A 根据题意,设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=g(x)+2 019, 若g(x)=0,则x=a或x=b,即函数g(x)的图象与x轴的交点为(a,0)和(b,0). f(x)=2 019+(x-a)(x-b)=0即g(x)=-2 019, 若f(x)=2 019+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则g(x)的图象与直线y=-2 019的交点坐标为(c,-2 019)和 (d,-2 019),由图象知acdb,故选A. 解后反思 本题考查函数与方程的综合应用,涉及函数零点的定义,注意结合二次函数的性质 进行分析.,4.(2019湖北孝感一模,12)已知函数f(x)=|x2-2x-1|-t有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4,则 2(x4-x1)+(x3-x2)的取值范围是 ( ) A.(8,4 B.(8,6 C.(6 ,4 D.(6 ,4 ),答案 A 由f(x)=|x2-2x-1|-t=0得|x2-2x-1|=t,作出y=|x2-2x-1|的图象如图, 要使f(x)有四个不同的零点,则0t2,同时x1,x4是方程x2-2x-1-t=0的两个根,x2,x3是方程x2-2x-1+t= 0的两个根, 则x1x4=-1-t,x1+x4=2,x2x3=-1+t,x2+x3=2, 则x4-x1= = =2 ,x3-x2= = =2 , 则2(x4-x1)+(x3-x2)=4 +2 . 设h(t)=4 +2 (00得 - 0,得 , 平方得 得8-4t2+t,得5t6,所以0t ,此时h(t)为增函数, 由h(t)0得 t2,此时h(t)为减函数, 故当t= 时,h(t)取得极大值h =4 +2 =4 +2 = + =4 , 又h(0)=6 ,h(2)=8,且86 , 故h(t)的取值范围是(8,4 ,即2(x4-x1)+(x3-x2)的取值范围是(8,4 .故选A. 思路分析 作出y=|x2-2x-1|的图象,利用|x2-2x-1|=t有4个不同的根,结合根与系数之间的关系,求 出2(x4-x1)+(x3-x2)的表达式,构造函数,研究函数的单调性和取值范围即可. 解题关键 本题主要考查函数与方程的应用,数形结合,转化为关于t的函数关系,构造函数,求 函数的导数,研究函数的单调性和极值是解决本题的关键.,5.(2019安徽宣城二模,12)已知函数y=a+8ln x 的图象上存在点P,函数y=-x2-2的图象 上存在点Q,且P,Q关于x轴对称,则a的取值范围是 ( ) A.6-8ln 2,e2-6 B.e2-6,+) C. D.,答案 D 由题意可知,a+8ln x=x2+2在 上有解,即a=x2+2-8ln x在 上有解,令g(x)=x2+2- 8ln x,则g(x)=2x- = ,令g(x)=0,当x 时,x=2,g(x)min=g(2)=6-8ln 2,g =10+ ,g(e)=e2-6,所以6-8ln 2a10+ ,故选D. 思路分析 将问题转化为a+8ln x=x2+2在 上有解,即a=x2+2-8ln x在 上有解,借助导数 求解.,1.(2019 53原创题)已知函数f(x)=x+ ,过点(1,0)作曲线f(x)的两条切线,切点为A(x1, f(x1),B(x2, f(x2)(0x1x2),若在区间(x1,x2)内存在唯一整数,则a的取值范围是 ( ) A.(-,-2) B.-1,-2) C. D.,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,答案 C f(x)=x+ ,f (x)=1- , 由题意知,方程 =1- , 即方程2x