《模糊数学简介》PPT课件.ppt

模糊数学建模方法,于 鹏 陕西科技大学理学院,模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.,然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.,第一部分 模糊数学基本概念,1. 1 模糊集合的基本定义 1.2 模糊集合的截集 1.3 模糊关系 1.4 模糊等价关系与经典等价关系,y,1.1 模糊子集及其运算,模糊子集与隶属函数,设U是论域，称映射 A(x)：U0,1 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例1 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,例2 古代史的分期（指划分奴隶社会和封建社会的界限）是模糊的，可表示为模糊集,模糊集的运算,相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 交：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).,1.2 模糊集的基本定理,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成. 例：论域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则,A0.9 (90分以上者) = u5 , u6, A0.6 (60分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.,1.3 模糊关系,与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.,设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X Y 0,1. 并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的相关程度. 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之间的模糊关系.,模糊关系的运算,由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.,设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系. 相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)； 包含： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)； 并： R1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)； 交： R1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)； 余：Rc 的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).,(R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度， (R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc (x, y)表示(x, y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域 X = x1, x2, , xm和Y = y1, y2, , yn，则X 到Y 模糊关系R可用mn 阶模糊矩阵表示，即 R = (rij)mn， 其中rij = R (xi , yj )0, 1表示(xi , yj )关于模糊关系R 的相关程度.,模糊关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系. (R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成. 设X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn，且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)ms，Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)sn，则X 到Z 的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成： R1 R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks.,1.4 模糊等价关系与经典等价关系,模糊等价关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R2R, 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,I R ( rii =1 ),RT=R( rij= rji),R2R.,模糊相似关系,若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系，且满足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系. 当论域X = x1, x2, , xn为有限时，X 上的一个模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即R满足： (1) 自反性：I R ( rii =1 )； (2) 对称性：RT = R ( rij = rji ).,模糊等价关系与经典等价关系的联系,第二部分 模糊数学的基本应用,2. 1 模糊聚类分析基础 2.2 模糊模式识别基础 2.3 模糊综合评判基础 2.4 模糊线性规划,y,2.1 模糊聚类分析,数据标准化,设论域X = x1, x2, , xn为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状: xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n 于是,得到原始数据矩阵为,平移 标准差变换,其中,平移 极差变换,模糊相似矩阵建立方法,相似系数法 -夹角余弦法,相似系数法 -相关系数法,其中,距离法,海明距离,欧氏距离,具体的聚类过程,在模糊聚类分析中，对于各个不同的0,1，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的.,(1) 已知类别DNA序列的模糊分类,提取已知类别的20个DNA序列的A,T,C,G的百分含量构成如下矩阵：X = (xij)204,其中xi1, xi2, xi3, xi4分别表示第个DNA系列中的A,T,C,G的百分含量. 采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵,然后用传递闭包法进行聚类,动态聚类图如下.,(2) 确定最佳分类,将20个已知DNA序列分成如下3类为最佳：,A1 =1,2,3,5,6,7,8 9,10, A2 =4,17, A3 =11,12,13,14,15,16,18,19,20.,建立标准模型库：A1, A2, A3.,(3) 未知DNA序列的模糊识别 采用格贴近度公式： 0(A, B) =A B + (1 -AB)/2, 将隶属于A1的DNA序列归为A类,隶属于A3的DNA序列归为B类,隶属于A2的DNA序列归为非A,B类.,2.2 模糊模型识别,模型识别,已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别.,模糊模型识别,所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是模糊的.,模糊模型识别的类型,（1）具体元素对模糊模型的识别问题。给定了标准模型库A1, A2, Am？ 问对象x属于上述模型库的哪一类? （2）模糊元素对模糊模型的识别问题。给定了标准模型库A1, A2, Am中的哪一类？ 问对象x属于上述模型库的哪一类?其中对象 X本身就是模糊的。,最大隶属原则,最大隶属原则 设论域X =x1, x2, , xn 上有m个模糊子集A1, A2, , Am(即m个模型),构成了一个标准模型库,若对任一x0X,有k1, 2, , m ,使得 Ak(x0)=A1(x0), A2(x0), , Am(x0)， 则认为x0相对隶属于Ak . 最大隶属原则 设论域X上有一个标准模型A,待识别的对象有n个：x1, x2, , xnX, 如果有某个xk满足 A(xk)=A(x1), A(x2), , A(xn), 则应优先录取xk .,例 细胞染色体形状的模糊识别,细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即 X=(A,B,C )| A+B+C =180, ABC 标准模型库=E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形).,某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？,先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.,直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足条件： (1) 当A=90时, R(A,B,C)=1; (2) 当A=180时, R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1.,因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90. 则R(x0)=0.955. 或者,其中 p = | A 90|,则R(x0)=0.54.,正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足：,(1) 当A = B = C = 60时, E(A,B,C )=1; (2) 当A = 180, B = C = 0时, E(A,B,C)=0; (3) 0E(A,B,C)1.,因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.则E(x0) =0.677. 或者,其中 p = A C,则E(x0)=0.02.,等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足：,(1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1; (2) 当A = 180, B = 60, C = 0时, I(A,B,C ) = 0; (3) 0I(A,B,C )1.,因此，不妨定义 I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60. 则I(x0) =0.766. 或者,p = (A B)(B C),则I(x0)=0.10.,等腰直角三角形的隶属函数 (IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);,(IR) (x0)=0.7660.955=0.766.,任意三角形的隶属函数 T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.,T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045.,通过以上计算,R(x0) = 0.955最大,所以x0应隶属于直角三角形.,或者(IR)(x0) =0.10; T(x0)= (0.54)c = 0.46. 仍然是R(x0) = 0.54最大,所以x0应隶属于直角三角形.,第二类模糊模式识别,设在论域X =x1, x2, , xn上有m个模糊子集A1, A2, , Am(即m个模型),构成了一个标准模型库. 被识别的对象B也是X上一个模糊集,它与标准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊识别问题. 先将模糊向量的内积与外积的概念扩充. 设A(x), B(x)是论域X上两个模糊子集的隶属函数,定义 内积： A B = A(x) B(x) | xX ； 外积：AB = A(x)B(x) | xX .,择近原则 设在论域X = x1, x2, , xn上有m个模糊子集A1, A2, , Am构成了一个标准模型库,B是待识别的模型.若有k1,2, m, 使得 (Ak , B) = (Ai , B) | 1im, 则称B与Ak最贴近,或者说把B归于Ak类.这就是择近原则.,蠓的分类,左图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据, 其中“”表示Apf,“”表示Af.根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的., 给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分它属于哪一族？ 将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80), (1.28,1.84), (1.40,2.04)三个标本.,模糊判别方法 先将已知蠓重新进行分类.,当 = 0.919时,分为3类1, 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,三类的中心向量分别为(1.395, 1.770),(1.560, 2.080),(1.227, 1.927).,A1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓), A2 = (0.390, 1.000) (Af 蠓), A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓),再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为,B1= (0.015, 0.672), B2 = (0.062, 0.719), B3 = (0.203, 0.953 ).,采用贴近度,3 (A, B) =,计算得： 3(A1, B1) = 0. 89, 3(A2, B1) = 0.65, 3(A3, B1) = 0.92. 3(A1, B2) = 0.89, 3(A2, B2) = 0.69, 3(A3, B2) = 0.92. 3(A1, B3) = 0.84, 3(A2, B3) = 0.88, 3(A3, B3) = 0.83. 根据择近原则及上述计算结果,第一只待识别的蠓(1.24, 1.80)属于第三类,即Apf 蠓；第二只待识别的蠓(1.28, 1.84)属于第三类,即Apf 蠓；第三只待识别的蠓(1.40, 2.04)属于第二类,即Af 蠓.,DNA序列分类与模糊识别,2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题：生物学家发现DNA序列是由四种碱基A,T,C,G按一定顺序排列而成,其中既没有“断句”,也没有标点符号,同时也发现DNA序列的某些片段具有一定的规律性和结构. 由此人工制造两类序列(A类编号为110；B类编号为1120). 网址：. 现在的问题是如何找出比较满意的方法来识别未知的序列(编号为2140), 并判断它们那些属于A类,那些属于B类, 那些既不属于A类又不属于B类.,(1) 已知类别DNA序列的模糊分类,提取已知类别的20个DNA序列的A,T,C,G的百分含量构成如下矩阵：X = (xij)204,其中xi1, xi2, xi3, xi4分别表示第个DNA系列中的A,T,C,G的百分含量. 采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵,然后用传递闭包法进行聚类,动态聚类图如下.,(2) 确定最佳分类,将20个已知DNA序列分成如下3类为最佳：,A1 =1,2,3,5,6,7,8 9,10, A2 =4,17, A3 =11,12,13,14,15,16,18,19,20.,建立标准模型库：A1, A2, A3.,(3) 未知DNA序列的模糊识别 采用格贴近度公式： 0(A, B) =A B + (1 -AB)/2, 将隶属于A1的DNA序列归为A类,隶属于A3的DNA序列归为B类,隶属于A2的DNA序列归为非A,B类.,经典的综合评判决策,在实际的工作中，对一个事物的评价，常常涉及多个因素或多个指标