吉林大学电路分析课件第6章修.ppt

第六章 一阶电路,本章主要内容：,1、 RC、RL电路的零输入响应；,2、 RC、RL电路的零状态响应；,3、 一阶电路的全响应；暂态与稳态 ；,4、一阶电路的三要素法；,5、阶跃函数和阶跃响应；子区间分析法。,引言,一、什么叫一阶电路？,1）用一阶微分方程描述其变量的电路。,2）只含一个动态元件(C、L)的电路。,二、如何分析一阶电路？,电路变量依旧受到两类约束： 元件约束 拓扑约束 但有变化：动态元件的VAR为微积分方程。,6-1 分解的方法在动态电路分析中的应用,一、把一阶电路的动态元件分离出来，可以得到典型的一阶电路：,其中N为一般的线性含源单口网络。而N可以化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路，如图（b）。 这样一阶电路的分析问题，转化为图（b）RC或RL电路的分析问题。,二、RC电路的分析,这是常系数非齐次一阶微分方程。RC电路的分析归结为该方程的求解。,代入:,1、布列微分方程,2、一阶微分方程的求解：,2）非齐次方程特解： W = Q 常数*,3）K确定：,常系数非齐次一阶微分方程,由初始条件解出K,完全解为：,特解的形式：,3、RC电路微分方程的求解,初始条件代入（2）：,关于初始条件的说明。,三、利用置换定理，求解一阶电路其余变量。,这样一阶动态电路就转换为纯电阻电路，可以用纯电阻电路的所有分析方法，求电路余下的变量。这就是分解的方法在动态电路分析中的应用。,四、小结,利用分解方法分析一阶电路的方法： 把电路分解为一个动态元件和一个单口网络； 把单口网络化为最简单的形式，得到RC或RL 电路； 布列RC或RL电路的微分方程，解出状态变 量； 用电压源或电流源置换动态元件，得到纯电 阻电路； 分析纯电阻电路，求解余下变量。,以上方法可以处理所有一阶电路。,63 一阶电路的零输入响应,一、RC 电路的零输入响应（输入为零）,电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。,图(a)所示电路，开关原来在1端，电容电压已 经达到U0，在t=0时开关由1端转换到2端，如图(b) 求： uC(t)；iC(t), t 0, t 0 充电, t = 0 换路, t0 放电,1. 定性分析,建立图(b)电路的一阶微分方程,其解为：,根据初始条件,齐次方程通解：,2. 定量分析,最后得到电路的零输入响应为:,U0,0,2,3,4,uC(t),t (s),以 为例，说明电压 的变化与时间常数的关系。,当t=0时，uC(0)=U0，当t=时，uC()=0.368U0由于波形衰减很快，实际上只要经过45的时间就可以认为放电过程基本结束。一般定义4为稳定时间。,0.368U0,换 路：电路由电源接入或断开，元件参 数或电路结构突然改变。,过渡过程：电路由一种稳定状态向另一种稳 定状态过渡的过程。,时间常数： = RC它决定了uC 衰减的快慢, RC 大，表示衰减的慢;RC 小，表示衰减的快。,换路定律：,二、RL 电路的零输入响应,如图a)，求 iL(t) , uL(t) , t 0。,解：1. 定性分析, t 0 储磁场能, t = 0 换路, t0 衰减到零,列出KCL方程，得到微分方程,通解为,代入初始条件iL(0+)=I0求得,最后得到,三、结论：,RC电路（或RL电路）电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。 2 表达式：,X(0+)初始值 时间常数,二者零输入响应、时间常数具有对偶性。 = RC, = GL=L/R,例1：电路如图(a)所示，已知电容电压uC(0-)=6V。 t=0闭合开关，求t 0时uC(t)、 iC(t) 、iR(t) 。,解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到,将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为,电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t),例2：,已知 uC (0+) = 18V,求： uC (t) , i1(t) , t 0,例3：,已知i (0 +) = 2A,求：i(t) , u(t) , t 0,63 一阶电路的零状态响应,一、RC电路的零状态响应,已知：uC (0) = 0， 求 uC(t) , i(t) , t 0。,零状态响应:电路中动态元件的初始状态为零， 电路只在外加激励作用下产生的响应。,解： 1、布列微分方程：,2、解微分方程：,1）uC(t) 的零状态响应是从零按指数规律 上升到它的稳态值 uC();,t,uC(),uC(t),O,2）当t4 ,uC()=Us是电容 C 开路时 uC 的值。,表示为iC =0，,3、分析：,uC (0) = 0,Us,4,4、求电容电流：,解一：,解二：,二、RL电路的零状态响应,已知：iL(0_ ) = 0，求 iL(t) , uL(t) , t 0,2、解微分方程：,解：、布列微分方程：,1）iL 的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值 iL()。当t4，iL（t）接近稳态值。 iL() = IS , 是电感短路时的值。,2）iL 零状态响应的快慢，取决于电路的时间 常数（ = L/R）。 越小，上升越快。,3、分析：,4,解一：,解二：,4、求电感电压：,三、结论：,uC(t)和iL(t) 的零状态响应是从零按指数 规律上升到它的稳态uc()和 iL()；iC(t)和uL(t) 是按指数规律衰减到零。 2.状态变量：,X()稳态值; 时间常数,3.非状态变量：iC(t)和 uL(t)。,求解方法：先求状态变量，再求非状态变量。,例1 电路如图(a)，已知 uC(0-)=0。t = 0 打开开关， 求：t0的uC(t)，iC(t) 及电阻电流 i1(t)。,解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到,将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图(b),电路的时间常数为,当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得,根据图（a）所示电路，用KCL方程得到,例2 电路如图(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。 t=0闭合开关，求：t0的iL(t)，uL(t)，i(t)。,解：电感电流不能跃变，即,将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图(c),64 线性动态电路的叠加定理,一、RC电路的完全响应： 由动态元件的初始储能和外施激励共同引起的响应，称为完全响应。,例：已知电路如图(a)所示，uC(0-)=U0，t=0 时开关倒向2端。求：uC(t) , t 0。,以电容电压uC(t)为变量，列出图(b)电路微分方程,其解为,代入初始条件,求得,于是得到电容电压表达式 ：,第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应。将随时间增长而按指数规律衰减到零，也称为暂态响应。,第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律与输入相同，称为强制响应。当 t时uC(t)=uCp(t) 也称为稳态响应。,固有响应：与输入无关，由电路本身决定。,暂态响应：在过渡过程(0-4 )的响应。,强制响应：与外加激励有关。,稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。,注意,线性动态电路中任一支路电压或电流的 完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。,二、线性动态电路的叠加定理：,uC(0+),三、完全响应的三种分解方式：,1.完全响应 =零输入响应+零状态响应,线性动态电路的叠加定理说明：,2.完全响应 =暂态响应+稳态响应,3.完全响应（完全解）= 通解 + 特解,1）适用于任意线性动态电路,2）电路中储能元件的等效叠加,四、线性动态电路叠加定理与线性电阻电路叠加定理的关系,若把动态元件的初始值也看成一种输入，则线性动态定理叠加定理与线性电阻定理叠加定理是一致的。,线性动态电路的叠加定理告诉我们：叠加的方法同样可以用来分析动态电路。,例1 下图所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关断 开，求t0的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。,iL(0+)=0.25A,解法一：在t0时，电阻R1被开关短路，电感电流的初始值为,在t0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图(b)所示电路，该电路的微分方程为,其全解为,式中,代入上式得到,代入初始条件,其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过(45)的时间，即经过(810)ms 的过渡时期，就达到了稳态。,于是,可以得到,解法二：电感电流iL(t)的全响应也可以用分别计算出零输入响应和零状态响应，然后相加的方法求得。电感电流iL(t)的零输入响应为,电感电流iL(t)的零状态响应为,iL(t)的全响应为零输入响应与零状态响应之和,电感电压的全响应可以利用电感元件的VCR方程求得,例2 电路如下图(a)所示。 已知 uC(0-)=4V，uS(t)=(2+e-2t)V， 求电容电压uC(t)的全响应。,解：将全响应分解为(零输入响应)(2V电压源引起的零状 态响应)(e-2t电压源引起的零状态响应)。现在分别计 算响应的几个分量然后相加得到全响应。,首先列出图(a)电路的微分方程和初始条件,1. 求电路的零输入响应见图(b)电路,求得,列出齐次微分方程和初始条件,2.求2V电压源引起的零状态响应见图(c)电路,由此求得,列出微分方程和初始条件,3. 求2e-2tV电压源引起的零状态响应见图(d)电路,其解为,图8-19,列出微分方程和初始条件,由此求得,代入上式,代入初始条件，t=0时，,最后求得零状态响应,由此得到K=1,设 ，并将它代入到式821所示微分方程中可以得到,4.最后求得全响应如下,6 5 三要素法,一、问题的提出,当一阶电路的输入为直流电压或电流时，电路的分析有简单的方法三要素法。,任何一阶电路可化为图(a)的形式，在简化为(b)的形式。当uoc=U为直流时，其完全解为：,其中uc(0)为电容电压的初值，uc(）为电压的终值。因此完全解uc(t)取决于三个要素，即初值uc(0)，终值uc(）和时间常数。,当动态元件为电感时，典型一阶电路如(b)，其完全响应如右式。可见电感电流的完全响应也取决于三个要素：初值iL(0)，终值iL()和时间常数。,除状态变量的完全解有这样的形式外，其它变量的完全解是否也有这样的形式，即取决于三个要素？,二、三要素法：,对于直流激励下的一阶电路，各支路的电压或电流的完全响应x(t)取决于如下三个要素：,初始值 ,稳态值 ,时间常数 ,即：,Note here！,三、三个要素的求法（所有变量）,1. 初始值 x(0+ ),求出电路的状态变量uc(0)和iL(0)； 若求非状态变量的初始值：用电压为uc(0)的电压源或电流为iL(0)的电流源置换电路中的电容或电感，得到直流电阻电路，可求得x(0+ )。,2. 求稳态值 x(),求出uc()和iL()； 若求非状态变量：画 t = 时的等效电路，将 t 0 时电路的电容开路，或电感短路，作直流分析，求出x() 。,3. 求时间常数,先求输出电阻R0， = R0C,先求R0,例1：已知 t 0 时电路已处于稳态， 求 uC(0+ ) , i1(0+ ) , i2(0+ ) 。,2. 再求 i1(0+ ) , i2(0+ ) ：,画t = 0+等效电路,解：1. 先求 uC(0 )：,画t = 0等效电路,例2,已知 t 0 时电路已 处于稳态，求 i1(0+ ) , iL(0+ ) , uL(0+ ) 。,1,4,t = 0,iL,+,_,uL,i1,+,_,10V,0.1H,解：1. 先求 iL(0 ) ：,推知 iL(0+ ) = iL(0 ) = 2A,2. 再求 i1(0+) , uL(0+),例3 图(a)所示电路处于稳定状态。t=0时开关闭合， 求：t0的电容电压uC(t)和电流i(t)，并画波形图。,解：1. 求uC(0+),2. 求uC()，电容开路，运用叠加定理求得,3.求 ：计算与电容相连接的电阻单口网络ab 的输出电阻，它是三个电阻的并联：,a,b,4. 代入三要素一般表达式,求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得,也可以用叠加定理分别计算2A电流源，10V电压源和电容电压uC(t)单独作用引起响应之和,由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到,值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是t0，而不是t0。,电阻电流i(t)还可以利用三要素法直接求得,例4：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0 时开关S由1端接至2端，求：t0时的电感电流 iL(t)，电阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压uL(t)。,解：1. 求iL(0+) ：开关转换前，电感相当于短路,2. 求iL()：,3. 求：,4. 计算iL(t)， uL(t)， i2(t)和i3(t)。,例5： 图(a)所示电路，在t=0时闭合开关， 求：电容电压 uC(t)和电流i2(t)的零状态响应。,解：开关闭合后,用外施电源法求图(b) 单口网络的输出电阻Ro,时间常数为,代入三要素公式得到,从图(a)电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t),6 6 阶跃函数和阶跃响应,二、阶跃函数的作用：1) 代替开关,2) 分段常量信号可表示为一 系列阶跃信号之和,三、阶跃响应,定义：电路在阶跃信号作用下的零状态响应。, =