历年考研数学一真题与答案1987-2015年-修改.pdf

历年考研数学一真题历年考研数学一真题 1987-20151987-2015 19871987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)当当x=_=_时时, ,函数函数2xyx取得极小值取得极小值. . (2)(2)由曲线由曲线 lnyx与两直线与两直线e1yx及及0y 所围成的平面图形的面积是所围成的平面图形的面积是_._. 1x (3)(3)与两直线与两直线 1yt 2zt 及及 121 111 xyz 都平行且过原点的平面方程为都平行且过原点的平面方程为_._. (4)(4)设设L为取正向的圆周为取正向的圆周 22 9,xy则曲线积分则曲线积分 2 (22 )(4 ) L xyy dxxx dy = = _._. (5)(5)已知三维向量空间的基底为已知三维向量空间的基底为 123 (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),则向量则向量(2, 0, 0)在此基底在此基底 下的坐标是下的坐标是_._. 二、二、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 求正的常数求正的常数a与与, b使等式使等式 2 200 1 lim1 sin x x t dt bxx at 成立成立. . 三、三、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) (1)(1)设设f、g为连续可微函数为连续可微函数,( ,),(),ufx xyvg xxy求求 ,. uv xx (2)(2)设矩阵设矩阵A和和B满足关系式满足关系式 2,AB = AB其中其中 301 110 , 014 A求矩阵求矩阵.B 四、四、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 求微分方程求微分方程 2 6(9)1yyay的通解的通解, ,其中常数其中常数0.a 五、选择题五、选择题( (本题共本题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1212 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 个符合题目要求个符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) (1)(1)设设 2 ( )( ) lim1, () xa f xf a xa 则在则在xa处处 (A)(A) ( )fx的导数存在的导数存在, ,且且( )0fa(B)(B)( )fx取得极大值取得极大值 (C)(C) ( )fx取得极小值取得极小值(D)(D)( )fx的导数不存在的导数不存在 (2)(2)设设 ( )fx为已知连续函数为已知连续函数 0 ,(), s t Itf tx dx 其中其中0,0,ts则则I的值的值 (A)(A)依赖于依赖于s和和t(B)(B)依赖于依赖于s、t和和x (C)(C)依赖于依赖于t、x, ,不依赖于不依赖于s(D)(D)依赖于依赖于s, ,不依赖于不依赖于t (3)(3)设常数设常数 0,k 则级数则级数 2 1 ( 1)n n kn n (A)(A)发散发散(B)(B)绝对收敛绝对收敛 (C)(C)条件收敛条件收敛(D)(D)散敛性与散敛性与k的取值有关的取值有关 (4)(4)设设A为为n阶方阵，且阶方阵，且A的行列式的行列式| |0,aA而而 * A是是A的伴随矩阵，则的伴随矩阵，则 * |A等于等于 (A)(A)a(B)(B) 1 a (C)(C) 1n a D)D) n a 六六、 （本题满分（本题满分 1010 分）分） 求幂级数求幂级数 1 1 1 2 n n n x n 的收敛域，并求其和函数的收敛域，并求其和函数. . 七七、 （本题满分（本题满分 1010 分）分） 求曲面积分求曲面积分 2 (81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy 其中其中是由曲线是由曲线 113 ( ) 0 zyy f x x 绕绕y轴旋转一周而成的曲面轴旋转一周而成的曲面, ,其法向量与其法向量与y轴正向的轴正向的 夹角恒大于夹角恒大于 . 2 八八、 （本题满分（本题满分 1010 分）分） 设函数设函数 ( )fx在闭区间在闭区间0,1上可微上可微, ,对于对于0,1上的每一个上的每一个, x函数函数( )fx的值都在开区间的值都在开区间(0,1)内内, , 且且 ( )fx1,1,证明在证明在(0,1)内有且仅有一个内有且仅有一个, x使得使得( ).f xx 九九、 （本题满分（本题满分 8 8 分）分） 问问,a b为何值时为何值时, ,现线性方程组现线性方程组 1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 xxxx xxx xaxxb xxxax 有唯一解有唯一解, ,无解无解, ,有无穷多解有无穷多解? ?并求出有无穷多解时的通解并求出有无穷多解时的通解. . 十、填空题十、填空题( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 2 2 分分, ,满分满分 6 6 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)设在一次实验中设在一次实验中, ,事件事件A发生的概率为发生的概率为 ,p现进行 现进行n次独立试验次独立试验, ,则则A至少发生一次的概至少发生一次的概 率为率为_;_;而事件而事件A至多发生一次的概率为至多发生一次的概率为_._. (2)(2)有两个箱子有两个箱子, ,第第 1 1 个箱子有个箱子有 3 3 个白球个白球,2,2 个红球个红球, , 第第 2 2 个箱子有个箱子有 4 4 个白球个白球,4,4 个红球个红球. . 现从现从第第 1 1 个箱子中随机地个箱子中随机地取取 1 1 个球放到个球放到第第 2 2 个箱子里个箱子里, ,再从再从第第 2 2 个箱子中取个箱子中取出出 1 1 个球个球, ,此球此球 是白球的概率为是白球的概率为_._.已知上述从已知上述从第第2 2个箱子中取出的球是白球个箱子中取出的球是白球, ,则从第一个箱子则从第一个箱子 中取出的球是白球的概率为中取出的球是白球的概率为_._. (3)(3)已知连续随机变量已知连续随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 2 21 1 ( )e, xx f x 则则X的数学期望为的数学期望为 _,_,X的方差为的方差为_._. 十一十一、 （本题满分（本题满分 6 6 分）分） 设随机变量设随机变量,X Y相互独立相互独立, ,其概率密度函数分别为其概率密度函数分别为 ( ) X fx 1 0 01x 其它 , ,( ) Y fy e 0 y 0 0 y y , ,求求2ZXY的概率密度函数的概率密度函数. . 5 19881988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、一、( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分) ) (1)(1)求幂级数求幂级数 1 (3) 3 n n n x n 的收敛域的收敛域. . (2)(2)设设 2 ( )e , ( )1 x f xfxx 且且( )0x, ,求求( )x及其定义域及其定义域. . (3)(3)设设为曲面为曲面 222 1xyz的外侧的外侧, ,计算曲面积分计算曲面积分 333 .Ix dydzy dzdxz dxdy 二、填空题二、填空题( (本题共本题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1212 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)若若 2 1 ( )lim (1), tx x f tt x 则则( )ft= = _._. (2)(2)设设 ( )fx连续且连续且 3 1 0 ( ), x f t dtx 则则 (7)f=_.=_. (3)(3)设周期为设周期为 2 2 的周期函数的周期函数, ,它在区间它在区间( 1,1 上定义为上定义为( )fx 2 2 x 10 01 x x , ,则的傅里叶则的傅里叶 ()Fourier级数在级数在1x 处收敛于处收敛于_._. (4)(4)设设 4 4 阶矩阵阶矩阵 234234 , ,A B 其中其中 234 , , 均为均为 4 4 维列向量维列向量, ,且已知行且已知行 列式列式4,1,AB则行列式则行列式AB= = _._. 三三、选择题选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 个符合题目要求个符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) (1)(1)设设 ( )fx可导且可导且 0 1 (), 2 fx则则0x时时,( )f x在在 0 x处的微分处的微分dy是是 (A)(A)与与x等价的无穷小等价的无穷小(B)(B)与与x同阶的无穷小同阶的无穷小 (C)(C)比比x低阶的无穷小低阶的无穷小(D)(D)比比x高阶的无穷小高阶的无穷小 (2)(2)设设 ( )yfx是方程是方程240yyy的一个解且的一个解且 00 ()0,()0,f xfx则函数则函数( )fx在点在点 0 x处处 (A)(A)取得极大值取得极大值(B)(B)取得极小值取得极小值 (C)(C)某邻域内单调增加某邻域内单调增加(D)(D)某邻域内单调减少某邻域内单调减少 (3)(3)设空间区域设空间区域 22222222 12 :,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则则 (A)(A) 12 4xdvdv (B)(B) 12 4ydvydv (C)(C) 12 4zdvzdv (D)(D) 12 4xyzdvxyzdv (4)(4)设幂级数设幂级数 1 (1)n n n ax 在在1x 处收敛处收敛, ,则此级数在则此级数在2x 处处 (A)(A)条件收敛条件收敛(B)(B)绝对收敛绝对收敛 (C)(C)发散发散(D)(D)收敛性不能确定收敛性不能确定 (5)(5)n维向量组维向量组 12 ,(3) s sn 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是 (A)(A)存在一组不全为零的数存在一组不全为零的数 12 , s k kk使使 1122 0 ss kkk (B)(B) 12 , s 中任意两个向量均线性无关中任意两个向量均线性无关 (C)(C) 12 , s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)(D) 12 , s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设设 ()(), xy uyfxg yx 其中函数其中函数f、g具有二阶连续导数具有二阶连续导数, ,求求 22 2 . uu xy xx y 五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 设函数设函数 ( )yy x满足微分方程满足微分方程322e , x yyy其图形在点其图形在点(0,1)处的切线与曲线处的切线与曲线 2 1yxx在该点处的切线重合在该点处的切线重合, ,求函数求函数( ).yy x 6 六六、 （本题满分（本题满分 9 9 分）分） 设位于点设位于点(0,1)的质点的质点A对质点对质点M的引力大小为的引力大小为 2 (0 k k r 为常数为常数,r为为A质点与质点与M之间的距之间的距 离离),),质点质点M沿直线沿直线 2 2yxx自自(2,0)B运动到运动到(0,0),O求在此运动过程中质点求在此运动过程中质点A对质点对质点M的引的引 力所作的功力所作的功. . 七七、 （本题满分（本题满分 6 6 分）分） 已知已知 ,APBP其中其中 100100 000 ,210 , 001211 BP求求 5 ,.A A 八八、 （本题满分（本题满分 8 8 分）分） 已知矩阵已知矩阵 200 001 01x A与与 200 00 001 y B相似相似. . (1)(1)求求x与与 . y (2)(2)求一个满足求一个满足 1 PA PB的可逆阵的可逆阵. P 7 九九、 （本题满分（本题满分 9 9 分）分） 设函数设函数 ( )fx在区间在区间 ,a b上连续上连续, ,且在且在( , )a b内有内有( )0,fx证明证明: :在在( , )a b内存在唯一的内存在唯一的,使曲使曲 线线 ( )yfx与两直线与两直线( ),yfxa所围平面图形面积所围平面图形面积 1 S是曲线是曲线( )yfx与两直线与两直线( ),yfxb所所 围平面图形面积围平面图形面积 2 S的的 3 3 倍倍. . 十、填空题十、填空题( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 2 2 分分, ,满分满分 6 6 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)设在三次独立试验中设在三次独立试验中, ,事件事件A出现的概率相等出现的概率相等, ,若已知若已知A至少出现一次的概率等于至少出现一次的概率等于 19 , 27 则事件则事件A在一次试验中出现的概率是在一次试验中出现的概率是_._. (2)(2)若在区间若在区间(0,1)内任取两个数内任取两个数, ,则事件则事件”两数之和小于两数之和小于 6 5 ”的概率为的概率为_._. (3)(3)设随机变量设随机变量X服从均值为服从均值为 10,10,均方差为均方差为 0.020.02 的正态分布的正态分布, ,已知已知 2 2 1 ( )e, (2.5)0.9938, 2 u x xdu 则则X落在区间落在区间(9.95,10.05)内的概率为内的概率为_._. 十一十一、 （本题满分（本题满分 6 6 分）分） 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 2 1 ( ), (1) X fx x 求随机变量求随机变量 3 1YX 的概率密度函数的概率密度函数 ( ). Y fy 8 19891989 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)已知已知(3)2, f 则则 0 (3)(3) lim 2 h fhf h = = _._. (2)(2)设设 ( )fx是连续函数是连续函数, ,且且 1 0 ( )2( ),f xxf t dt 则则 ( )fx=_.=_. (3)(3)设平面曲线设平面曲线L为下半圆周为下半圆周 2 1,yx 则曲线积分则曲线积分 22 () L xyds =_.=_. (4)(4)向量场向量场div u在点在点 (1,1,0)P处的散度处的散度div u=_.=_. (5)(5)设矩阵设矩阵 300100 140 ,010 , 003001 AI则矩阵则矩阵 1 (2 )AI=_.=_. 二二、选择题选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 个符合题目要求个符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) (1)(1)当当0x 时时, ,曲线曲线 1 sinyx x (A)(A)有且仅有水平渐近线有且仅有水平渐近线(B)(B)有且仅有铅直渐近线有且仅有铅直渐近线 (C)(C)既有水平渐近线既有水平渐近线, ,又有铅直渐近线又有铅直渐近线(D)(D)既无水平渐近线既无水平渐近线, ,又无铅直渐又无铅直渐 近线近线 (2)(2)已知曲面已知曲面 22 4zxy上点上点P处的切平面平行于平面处的切平面平行于平面2210,xyz则点的坐标是则点的坐标是 (A)(A)(1, 1, 2)(B)(B)( 1,1, 2) (C)(C)(1,1,2)(D)(D)( 1,1,2) (3)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数, ,则该非齐次方程的则该非齐次方程的 通解是通解是 (A)(A) 11223 c yc yy(B)(B) 1122123 ()c yc yccy (C)(C) 1122123 (1)c yc yccy(D)(D) 1122123 (1)c yc yccy (4)(4)设函数设函数 2 ( ),01,f xxx而而 1 ( )sin, n n S xbn xx 其中其中 1 0 2( )sin,1,2,3, n bf xn xdx n 则则 1 () 2 S 等于等于 (A)(A) 1 2 (B)(B) 1 4 (C)(C) 1 4 (D)(D) 1 2 (5)(5)设设A是是n阶矩阵阶矩阵, ,且且A的行列式的行列式0,A则则A中中 (A)(A)必有一列元素全为必有一列元素全为 0 0(B)(B)必有两列元素对应成比例必有两列元素对应成比例 (C)(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)(D)任一列向量是其余列向量的线性组合任一列向量是其余列向量的线性组合 三、三、( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分) ) (1)(1)设设(2)( ,),zfxyg x xy其中函数其中函数 ( )f t二阶可导二阶可导,( , )g u v具有连续二阶偏导数具有连续二阶偏导数, ,求求 2 . z x y (2)(2)设曲线积分设曲线积分 2 ( ) c xy dxyx dy 与路径无关与路径无关, ,其中其中 ( )x具有连续的导数具有连续的导数, ,且且(0)0,计算计算 (1,1) 2 (0,0) ( )xy dxyx dy 的值的值. . (3)(3)计算三重积分计算三重积分 (),xz dv 其中其中是由曲面是由曲面 22 zxy与与 22 1zxy所围成的区域所围成的区域. . 9 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 将函数将函数 1 ( )arctan 1 x f x x 展为展为x的幂级数的幂级数. . 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 设设 0 ( )sin() ( ), x f xxxt f t dt 其中其中f为连续函数为连续函数, ,求求( ).f x 六六、 （本题满分（本题满分 7 7 分）分） 证明方程证明方程 0 ln1cos 2 e x xxdx 在区间在区间(0,)内有且仅有两个不同实根内有且仅有两个不同实根. . 10 七七、 （本题满分（本题满分 6 6 分）分） 问问为何值时为何值时, ,线性方程组线性方程组 13 xx 123 422xxx 123 6423xxx 有解有解, ,并求出解的一般形式并求出解的一般形式. . 八八、 （本题满分（本题满分 8 8 分）分） 假设假设为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵A的一个特征值的一个特征值, ,证明证明 (1)(1) 1 为为 1 A的特征值的特征值. . (2)(2) A 为为A的伴随矩阵的伴随矩阵 * A的特征值的特征值. . 11 九九、 （本题满分（本题满分 9 9 分）分） 设半径为设半径为R的球面的球面的球心在定球面的球心在定球面 2222( 0)xyzaa上上, ,问当问当R为何值时为何值时, ,球面球面在定在定 球面内部的那部分的面积最大球面内部的那部分的面积最大? ? 十、填空题十、填空题( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 2 2 分分, ,满分满分 6 6 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)已知随机事件已知随机事件A的概率的概率 ()0.5,P A 随机事件随机事件B的概率的概率()0.6P B及条件概率及条件概率(|)0.8,P BA 则和事件则和事件A B的概率的概率()P AB=_.=_. (2)(2)甲甲、 乙两人独立地对同一目标射击一次乙两人独立地对同一目标射击一次, ,其命中率分别为其命中率分别为 0.60.6 和和 0.5,0.5,现已知目标被现已知目标被 命中命中, ,则它是甲射中的概率为则它是甲射中的概率为_._. (3)(3)若随机变量若随机变量在在(1, 6)上服从均匀分布上服从均匀分布, ,则方程则方程 2 10xx 有实根的概率是有实根的概率是 _._. 十一十一、 （本题满分（本题满分 6 6 分）分） 设随机变量设随机变量X与与Y独立独立, ,且且X服从均值为服从均值为 1 1、标准差、标准差( (均方差均方差) )为为2的正态分布的正态分布, ,而而Y服从服从 标准正态分布标准正态分布. .试求随机变量试求随机变量23ZXY的概率密度函数的概率密度函数. . 12 19901990 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) 2xt (1)(1)过点过点 (1, 21)M且与直线且与直线34yt垂直的平面方程是垂直的平面方程是_._. 1zt (2)(2)设设a为非零常数为非零常数, ,则则lim( )x x xa xa =_.=_. (3)(3)设函数设函数 ( )fx 1 0 1 1 x x , ,则则 ( )ffx=_.=_. (4)(4)积分积分 222 0 e y x dxdy 的值等于的值等于_._. (5)(5)已知向量组已知向量组 1234 (1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7), 则该向量组的秩是则该向量组的秩是_._. 二二、选择题选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 个符合题目要求个符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) (1)(1)设设 ( )fx是连续函数是连续函数, ,且且 e ( )( ), x x F xf t dt 则则( )Fx等于等于 (A)(A)e(e)( ) xx ff x (B)(B)e(e)( ) xx ff x (C)(C)e(e )( ) xx ff x (D)(D)e(e )( ) xx ff x (2)(2)已知函数已知函数 ( )fx具有任意阶导数具有任意阶导数, ,且且 2 ( ) ( ) ,fxf x则当则当n为大于为大于 2 2 的正整数时的正整数时,( )f x的的n 阶导数阶导数 ( )( )n fx是是 (A)(A) 1 ! ( )nnf x (B)(B) 1 ( )nn f x (C)(C) 2 ( ) n f x(D)(D) 2 ! ( ) n nf x (3)(3)设设a为常数为常数, ,则级数则级数 2 1 sin()1 n na nn (A)(A)绝对收敛绝对收敛(B)(B)条件收敛条件收敛 (C)(C)发散发散(D)(D)收敛性与收敛性与a的取值有关的取值有关 (4)(4)已知已知 ( )fx在在0x 的某个邻域内连续的某个邻域内连续, ,且且 0 ( ) (0)0,lim2, 1cos x f x f x 则在点则在点0x 处处 ( )fx (A)(A)不可导不可导(B)(B)可导可导, ,且且 (0)0 f (C)(C)取得极大值取得极大值(D)(D)取得极小值取得极小值 (5)(5)已知已知 1 、 2 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组A Xb的两个不同的解的两个不同的解 1 ,、 2 是对应其次线性方程是对应其次线性方程 组组A X0的基础解析的基础解析 1 ,k、 2 k为任意常数为任意常数, ,则方程组则方程组A Xb的通解的通解( (一般解一般解) )必是必是 (A)(A) 12 11212 () 2 kk (B)(B) 12 11212 () 2 kk (C)(C) 12 11212 () 2 kk (D)(D) 12 11212 () 2 kk 三、三、( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分) ) (1)(1)求求 1 2 0 ln(1) . (2) x dx x (2)(2)设设(2,sin),zfxy yx其中其中( , )f u v具有连续的二阶偏导数具有连续的二阶偏导数, ,求求 2 . z x y (3)(3)求微分方程求微分方程 2 44e x yyy 的通解的通解( (一般解一般解).). 13 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 求幂级数求幂级数 0 (21) n n nx 的收敛域的收敛域, ,并求其和函数并求其和函数. . 五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 求曲面积分求曲面积分 2 S Iyzdzdxdxdy 其中其中S是球面是球面 222 4xyz外侧在外侧在0z 的部分的部分. . 六六、 （本题满分（本题满分 7 7 分）分） 设不恒为常数的函数设不恒为常数的函数 ( )fx在闭区间在闭区间 ,a b上连续上连续, ,在开区间在开区间( , )a b内可导内可导, ,且且( )( ).f af b证证 明在明在( , ) a b内至少存在一点内至少存在一点,使得使得( )0.f 14 七七、 （本题满分（本题满分 6 6 分）分） 设四阶矩阵设四阶矩阵 11002134 01100213 , 00110021 00010002 BC 且矩阵且矩阵A满足关系式满足关系式 1 () A EC B CE 其中其中E为四阶单位矩阵为四阶单位矩阵 1 , C表示表示C的逆矩阵的逆矩阵,C表示表示C的转置矩阵的转置矩阵. .将上述关系式化简并求矩将上述关系式化简并求矩 阵阵.A 八八、 （本题满分（本题满分 8 8 分）分） 求一个正交变换化二次型求一个正交变换化二次型 222 123121323 44448fxxxx xx xx x成标准型成标准型. . 15 九九、 （本题满分（本题满分 8 8 分）分） 质点质点P沿着以沿着以A B为直径的半为直径的半 圆周圆周, ,从点从点 (1,2)A运动到点运动到点(3,4)B的的 过程中受变力过程中受变力F 作用作用( (见图见图).).F 的的 大小等于点大小等于点P与原点与原点O之间的距之间的距 离离, ,其方向垂直于线段其方向垂直于线段OP且与且与y 轴正向的夹角小于轴正向的夹角小于 . 2 求变力求变力F 对对 质点质点P所作的功所作的功. . 十、填空题十、填空题( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 2 2 分分, ,满分满分 6 6 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)已知随机变量已知随机变量X的概率密度函数的概率密度函数 1 ( )e, 2 x f xx 则则X的概率分布函数的概率分布函数 ( )F x=_.=_. (2)(2)设随机事件设随机事件A、B及其和事件的概率分别是及其和事件的概率分别是 0.40.4、 0.30.3 和和 0.6,0.6,若若B表示表示B的对立事件的对立事件, , 那么积事件那么积事件A B的概率的概率()P AB=_.=_. (3)(3) 已 知 离 散 型 随 机 变 量已 知 离 散 型 随 机 变 量X服 从 参 数 为服 从 参 数 为 2 2 的 泊 松的 泊 松( )Poisson分 布分 布 , , 即即 2 2 e ,0,1,2, ! k P Xkk k 则随机变量则随机变量32ZX的数学期望的数学期望()E Z=_.=_. 十一十一、 （本题满分（本题满分 6 6 分）分） 设二维随机变量设二维随机变量( ,)X Y在区域在区域:01,Dxyx内服从均匀分布内服从均匀分布, ,求关于求关于X的边缘概率密的边缘概率密 度函数及随机变量度函数及随机变量21ZX的方差的方差 ( ).D Z 16 19911991 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)设设 2 1 cos xt yt , ,则则 2 2 d y dx =_.=_. (2)(2) 由 方 程由 方 程 222 2xyzxyz所 确 定 的 函 数所 确 定 的 函 数 ( ,)zz x y在 点在 点(1,0,1)处 的 全 微 分处 的 全 微 分 dz=_.=_. (3)(3)已知两条直线的方程是已知两条直线的方程是 12 12321 :;:. 101211 xyzxyz ll 则过则过 1 l且平行于且平行于 2 l的平的平 面方程是面方程是_._. (4)(4)已知当已知当0x 时时 1 2 3 ,(1)1ax与与cos1x 是等价无穷小是等价无穷小, ,则常数则常数a=_.=_. (5)(5)设设 4 4 阶方阵阶方阵 5200 2100 , 0012 0011 A则则A的逆阵的逆阵 1 A=_.=_. 二二、选择题选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 个符合题目要求个符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) (1)(1)曲线曲线 2 2 1 e 1 e x x y (A)(A)没有渐近线没有渐近线(B)(B)仅有水平渐近线仅有水平渐近线 (C)(C)仅有铅直渐近线仅有铅直渐近线(D)(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)(2)若连续函数若连续函数 ( )fx满足关系式满足关系式 2 0 ( )( )ln 2, 2 t f xfdt 则则 ( )fx等于等于 (A)(A)e ln 2 x (B)(B) 2 eln 2 x (C)(C)eln 2 x (D)(D) 2 eln 2 x (3)(3)已知级数已知级数 1 21 11 ( 1)2,5, n nn nn aa 则级数则级数 1 n n a 等于等于 (A)3(A)3(B)7(B)7 (C)8(C)8(D)9(D)9 (4)(4)设设D是平面是平面xoy上以上以(1,1)、( 1,1) 和和( 1,1)为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域 1 ,D是是D在第一象限的部在第一象限的部 分分, ,则则 (cossin) D xyxy dxdy 等于等于 (A)(A) 1 2cossin D xydxdy (B)(B) 1 2 D xydxdy (C)(C) 1 4(cossin) D xyxy dxdy (D)0(D)0 (5)(5)设设n阶方阵阶方阵A、B、C满足关系式满足关系式 ,ABCE其中其中E是是n阶单位阵阶单位阵, ,则必有则必有 (A)(A)ACBE(B)(B)CBAE (C)(C)BACE(D)(D)BCAE 三、三、( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分) ) (1)(1)求求 2 0 lim (cos) . x x (2)(2)设设n 是曲面是曲面 222 236xyz在点在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量处的指向外侧的法向量, ,求函数求函数 22 68xy u z 在点在点P处沿方向处沿方向n 的方向导数 的方向导数. . (3)(3) 22 (),xyz dv 其中其中是由曲线是由曲线 2 2 0 yz x 绕绕z轴旋转一周而成的曲面与平面轴旋转一周而成的曲面与平面4z 所围所围 城的立体城的立体. . 17 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 过点过点 (0,0)O和和(,0)A的曲线族的曲线族sin(0)yax a中中, ,求一条曲线求一条曲线, L使沿该曲线使沿该曲线O从到从到A的积分的积分 3 (1)(2) L ydxxy dy 的值最小的值最小. . 五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 将函数将函数( )2( 11)f xxx 展开成以展开成以 2 2 为周期的傅里叶级数为周期的傅里叶级数, ,并由此求级数并由此求级数 2 1 1 n n 的和的和. . 六六、 （本题满分（本题满分 7 7 分）分） 设函数设函数 ( )fx在在0,1上连续上连续,(0,1)内可导内可导, ,且且 1 2 3 3( )(0),f x dxf 证明在证明在(0,1)内存在一点内存在一点 , c使 使 ( )0.fc 七七、 （本题满分（本题满分 8 8 分）分） 已知已知 1234 (1,0,2,3),(1,1,3,5),(1, 1,2,1),(1,2,4,8)aa及及(1,1,3,5).b (1)(1)a、b为何值时为何值时,不能表示成不能表示成 1234 , 的线性组合的线性组合? ? (2)(2)a、b为何值时为何值时,有有 1234 , 的唯一的线性表示式的唯一的线性表示式? ?写出该表示式写出该表示式. . 18 八八、 （本题满分（本题满分 6 6 分）分） 设设A是是n阶正定阵阶正定阵,E是是n阶单位阵阶单位阵, ,证明证明AE的行列式大于的行列式大于 1.1. 九九、 （本题满分（本题满分 8 8 分）分） 在上半平面求一条向上凹的曲线在上半平面求一条向上凹的曲线, ,其上任一点其上任一点 ( ,)P x y处的曲率等于此曲线在该点的法处的曲率等于此曲线在该点的法 线段线段PQ长度的倒数长度的倒数( (Q是法线与是法线与x轴的交点轴的交点),),且曲线在点且曲线在点(1,1)处的切线与处的切线与x轴平行轴平行. . 十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)若随机变量若随机变量X服从均值为服从均值为 2 2、方差为、方差为 2 的正态分布的正态分布, ,且且240.3,PX则则 0P X =_.=_. (2)(2)随机地向半圆随机地向半圆 2 02(yaxxa为正常数为正常数) )内掷一点内掷一点, ,点落在半圆内任何区域的概率点落在半圆内任何区域的概率 与区域的面积成正比与区域的面积成正比, ,则原点和该点的连线与则原点和该点的连线与x轴的夹角小于轴的夹角小于 4 的概率为 的概率为_._. 十一十一、 （本题满分（本题满分 6 6 分）分） 设二维随机变量设二维随机变量( ,)X Y的密度函数为的密度函数为 ( ,)f x y (2 ) 2e0,0 0 xy xy 其它 求随机变量求随机变量2ZXY的分布函数的分布函数. . 19 19921992 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) ) (1)(1)设函数设函数 ( )yy x由方程由方程ecos()0 x y xy 确定确定, ,则则 dy dx =_.=_. (2)(2)函数函数 222 ln()uxyz在点在点(1, 2,2)M处的梯度处的梯度grad M u=_.=_. (3)(3)设设 ( )fx 2 1 1x 0 0 x x , ,则其以则其以2为周期的傅里叶级数在点为周期的傅里叶级数在点x处收敛于处收敛于 _._. (4)(4)微分方程微分方程 tancosyyxx 的通解为的通解为y=_.=_. (5)(5) (5)(5) 设设 1 11 21 2 12 12 12 , n n nnnn ababab a ba ba b a ba ba b A 其 中其 中0,0,(1,2, ). ii abin则 矩 阵则 矩 阵A的 秩的 秩 ()r A=_.=_. 二二、选择题选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 个符合题目要求个符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) (1)(1)当当1x 时时, ,函数函数 12 1 1 e 1 x x x 的极限的极限 (A)(A)等