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机械波一章习题解答 习题 131一平面简谐波的波动方程为)3cos(1 . 0+=xty(SI)，t=0 时的波 形曲线如图所示，则： (A)O点的振幅为0.1m。 (B) 波长为 3m。 (C)a、b两点间位相差为2。 (D) 波速为 9m/s。 解：首先，由于振幅是非负数，所以 答案(A)可以被排除；另一方面，该波的 波动方程可以写成 +=) 3 (3cos1 . 0 x ty 与标准波动方程比较容易得到：rad/s3=，波速m/s3=u，因此，波长 m2 3 322 = = u 所以(B)和(D)也可以被排除，所以最后应当选择答案(C)。事实上，因a、b两点 相距为4，故相应两点的位相差应当是2。 习题 132已知一平面简谐波的波动方程为)cos(bxatAy=(a、b为正值)， 则： (A) 波的频率为a。(B) 波的传播速度为b/a。 (C) 波长为b/。(D) 波的周期为a/2。 解：该波的波动方程可以写成 = )( cos ba x taAy 与波动方程的标准形式比较可知，圆频率为a，波速为a/b，波长为b/2，波的 周期为a/2，因此，应当选择答案(D)。 u 0 X(m) a b Y(m) 0.1 0.1 习题 131 图 习题 133一平面简谐波以速度u沿X轴正向传播，在tt=时的波形曲线如 图所示，则坐标原点O的振动方程为： (A) += 2 )(cos tt b u ay。 (B) = 2 )(2cos tt b u ay。 (C) += 2 )(cos tt b u ay。(D) = 2 )(cos tt b u ay。 解：另设一个时间系统ttt= ；则tt=时，0= t. 设坐标原点O的振动方程为 )cos( 0 + =tAy 由波形曲线可知aA=，b2=，因此 b u b uu = 2 222， 0= t时，原点处质元通过平衡位置向Y轴正向运动，则其位相为 2 =， 所以， ) 2 cos( 0 =t b u ay 把ttt= 代入，故坐标原点O的振动方程为 = 2 )(cos 0 tt b u ay(SI) 习题 134如图， 有一平面简谐波沿X轴负方向传播， 坐标圆点O的振动规律 为)cos( 0 +=tAy，则B点的振动方程为： (A) 0 )(cos+=uxtAy。 (B)(cosuxtAy+=。 (C) 0 )(cos+=uxtAy。 (D) 0 )(cos+=uxtAy。 X Y u a b 0 习题133图 X x B u Y 习题 134 图 解；由题设条件可得该波的波动方程为 += += 00 )(cos)(cos u x tA u x tAy 所以应当选择答案(D)。 习题 135如图所示一简谐波在t=0 时刻的波形图，波速u=200m/s，则图中O 点的振动加速度的表达式(SI)为： (A)2cos(4 . 0 2 +=ta。 (B)23cos(4 . 0 2 =ta。 (C)2cos(4 . 0 2 =ta。 (D)22cos(4 . 0 2 +=ta。 解：由题给条件得：A=0.1m，m200=，u=200m/s， 2 200 20022 2= = u 从波形图可以看出原点的初相为2=，因此，原点的振动方程为 )22cos(1 . 0), 0(+=tty 所以，原点的振动加速度为 )22cos(4 . 0), 0( 2 2 2 +=t dt yd ta 故，应当选择答案(D)。 习题 136一平面简谐波，波速u=5m/s，t=3s 时的波形曲线如图，则x=0 处的 振动方程为： (A) 2 1 2 1 cos(102 2 = ty。 (B)cos(102 2 += ty。 (C) 2 1 2 1 cos(102 2 += ty。 (D) 2 3 cos(102 2 = ty。 X(m) Y(m) u 0.1 0 100200 习题 135 图 15 X(m) 5 0 25 Y(m) 2 102 1020 u 习题 136 图 解：与 13-3 相似，另设一个时间系统3=tt；则s 3=t时，0=t. 设坐标原点O的振动方程为 )cos( 0 +=tAy 由t=3s 时的波形曲线可知m102 2 =A,20=m，所以 rad/s 2 2 2 = u 0=t时，原点处质元处于负的最大位移处，则其位相为=，所以， 故x=0 处的振动方程为 ) 2 1 cos(102 2 += ty 把3=tt代入，故x=0 处的振动方程为 ) 2 1 2 1 cos(102 2 = ty(SI) 所以选择(A) 习题 137一平面简谐波沿X轴正向传播，t=0 时刻的波形图如右图所示，则 P处介质质点的振动方程是： (A)34cos(10 . 0 +=tyP。 (B)34cos(10 . 0 =tyP。 (C)32cos(10 . 0 +=tyP。 (D)62cos(10 . 0 +=tyP。 解：设P点处的振动方程为 )cos(+=tAyP 由所给的波形图容易得到：m10=，A=0.10m，u=20m/s，而振动的圆频率 rad/s4 10 2022 = = u 因为波是自左向右传播的， 由此可以判断出P点在t=0 时刻正在最大位移一半处 且向Y轴负向运动，所以，P点振动的初位相为3=。这样，P处介质质点 的振动方程为 X(m) u=20m/s Y(m) 5m 0.10 0.05 P 习题 137 图 0 )34cos(10 . 0 +=tyP 所以，应当选择答案(A)。 习题 138图表示t=0 时的余弦波的波形图，波沿X轴正方向传播；图为 一余弦振动曲线，则图中所表示的x=0 处振动的初位相与图中所表示的振动初 位相： (A) 均为零。(B) 均为2。 (C) 均为2。 (D) 依次分别为2和2。 (E) 依次分别为2和2。 解：对图中的O点此刻正通过平衡位置向Y轴负方向运动，所以其初位 相为2； 对图所表示的振动， 在t=0 时刻正通过平衡位置向Y轴正方向运动， 所以其初位相为2。因此，只有答案(D)是正确的。 习题 139一简谐波沿X轴正方向传播， t=T/4 时的波形曲线如图所示，若振动以余 弦函数表示，且此题各点振动的初相取 到之间的值，则： (A)O点的初位相为0 0 =。 (B) 1 点的初位相为2 1 =。 (C) 2 点的初位相为= 2 。 (D)3 点的初位相为2 3 =。 解：把波形图退回T/4，此时为t= 0 时刻波形图看出，从图中可以看出 O 点质元处于负的最大位移处，则其初位相 = 0 (或者) Y u Y 0 c X 图 Y t O 图 习题 138 图 u X Y 0 1 234 习题 139 图 习题139解图 4 32 1 0 X 同理，可以得到 1 、2、3 各点的初位相分别为 2 1 =，0 2 =，2 3 = 由此可见，只有答案(D)是正确的。 习题 1310一平面简谐波沿X轴正向传播，波动方程为 += 2 1 ) 4 1 2 1 (2cos10 . 0 xty 该波在t=0.5s 时刻的波形图是： 解：该波的波动方程可以写为 += 2 1 ) 2 (cos10 . 0 x ty 可以看出波的圆频率为， 波速为 2m/s ， 波长为m42=u， 振幅为 0.10m。 此四项对四个图来说都一样， 无法区别。 但是我们看x=0 处质点在此时刻(t=0.5s) 的位相应该是 = += 2 1 ) 2 0 5 . 0()5 . 0 , 0( 从所个的四个图可以看出，只有图(B)符合该条件，因此应该选择答案(B)。 X(m) Y(m) O 2 0.10 (A) X(m) Y(m) O 2 0.10 (C) X(m) Y(m) O 2 0.10 0.10 (B) X(m) Y(m) O 0.10 0.10 2 (D) 习题 1310 图 习题 1311如图所示，为一向右传 播的简谐波在t时刻的波形图，BC为 波密介质的反射面，波由P点反射。 则 反 射 波 在t时 刻 的 波 形 图 为： 解：因为BC为波密介质的反 射面，所以在反射时有“半波损失” ， 故反射波在P点引起的振动与入射波 在P点引的振动在位相上刚好相反， 由入射波的波形图可以看出，入射波使P点向下运动，因而反射波应使P点向 上运动，观察给出的四个波形图可以看出只有图（B）满足这个条件。 习题 1312S1是S2波长均为的两个相干波的波源，相距43，S1位相比S2 超前2，若两波单独传播时，在过S1和S2的直线上各点的强度相同，不随距 离变化，且两波的强度都是I，则在S1和S2连线上S1外侧和S2外侧各点，合成 波的强度分别是： (A) 4I，4I。(B) 0，0。(C) 0，4I。(D) 4I，0。 解：见图示，两波源在它们的连线上任一点的位相差为 )( 2 2 )( 2 )( 121212 rrrr= 在S1和S2连线上S1外侧的任一点P有 X Y 0 A P (A) Y P X A 0 (B) X Y P A 0 (C) X Y P A 0 (D) B C P X Y A 0 习题 1311 图 S1 S2 4 3 r1 r2 r1 r2 P Q 题解 1312 图 2 4 32 2 = 因此，点P的振动是加强的，该点合成波的强度满足 4 1 2 22 = = = A A I I PP 所以 IIP4= 由于P点是任取的，所以对S1外侧所有的点的振动都是加强的，强度都是 4I。 同样，在S1和S2连线上S2外侧任一点Q有 = = 4 32 2 因此，点Q的振动是减弱的，该点合成波的强度为 0= Q I 由于Q点是任取的，所以对S2外侧所有的点的振动都是减弱的，强度都是零。 综合上述的计算与分析应当选择答案(D)。 习题 1313某时刻驻波波形曲线如图所示， 则a、b两点的位相差是： (A)。(B) 2 1 。 (C) 4 5 。(D) 0。 解：由图可见，a、b两点分别处在 两相邻的“振动段”中，因此，两点的 振动位相刚好相反， 相应的位相差为， 故而应当选择答案(A)。 习题 1314一平面简谐波沿OX轴传播， 波动方程)(2cos+=xtAy， 则x1=L处介质质点振动的初位相是；与x1处质点振动状态相同的其它 质点的位置是；与x1处质点速度大小相同，但方向相反的其它各质点 的位置是。 A A X Y a b 2 1 习题 1313 图 解：(1) 把x=L代入波动方程可得x1=L处质点的振动方程 ) 2 2cos(),( 1 +=LtAtxy x1=L处质点振动的处位相为 L2 (2) 与x1处质点振动状态相同的其它质点的位置满足 kLtxt2) 2 2() 2 2(=+ kLx= 即kLx=k=1，2，3， (3) 与x1处质点速度大小相同、但方向相反的其它质点的位置应满足 ) 12() 2 2() 2 2(+=+kLtxt 2 ) 12( +=kLx 即 2 ) 12( +=kLxk=0，1，2，3， 注：(2)中k不取零是因为若k=0，则x=L，是x1点本身 习题 1315如果入射波方程式是)(2cos 1 xTtAy+=，在x=0 处发生反射 后形成驻波，反射点为波腹，设反射后波的强度不变，则反射波方程式y2= ；在32=x处质点合振动的振幅等于。 解：入射波在反射点(x=0)处的振动方程为 t T Ay 2 cos 10 = 由于该处为波腹，反射波在反射点(x=0)处的振动方程为 t T Ay 2 cos 20 = 则反射波方程可以写为 = x T t Ay2cos 2 合成波方程为 t T xAyyy 2 cos 2 cos2 21 =+= 合 把32=x代入合成波方程可得 t T Ay 2 cos 3 22 cos2= 合 t T A 2 cos 3 4 cos2= t T A 2 cos= 所以，在32=x处质点合振动的振幅等于A。 习题 1316如图所示，一平面简谐波沿 X轴负向传播， 波长为， 若P点处质点的 振动方程是 ) 2 1 2cos(+=tAyP 则该波的波动方程是；P处 质点时刻的振动状态与O处质点 t1时刻的振动状态相同。 解：(1) 原点处比P处超前相位 2 L ，原点处振动方程是 )2 2 1 2cos( L tAyo+= 该波的波动方程可以写为 )22 2 1 2cos(),( xL tAtxy+=(SI) (2)P点处的振动位相22+t，原点O处的振动方程为 2)(2cos), 0(+=LtAty 与原点O处t1时刻的振动状态相同的状态为 k L t2 2 )(2 1 +k=0，1，2， L X Y PO 习题 1316 图 u 令其与P点振动位相相同 2 22 2 )(2 1 +=+tk L t 解得 kL tt+= 1 k=0，1，2， 习题 1317如图所示为一平面简谐波在t=2s 时刻的波形图，则该简谐波的波 动方程是；P点处质点的振动方程是。(该波的振幅 A，波速u与波长均为已知量) 解：（1）与 13-3、13-6 相似，另设一个时 间系统2=tt；则2s=t时，0=t. 设坐标原点O的振动方程为 )cos( 0 +=tAy 由t= 2s 时的波形曲线可知振幅为A，又 u2 2= 0=t时， 原点处质元处于平衡位置向 y 轴正方向运动， 则其位相为 2 =， 所以， 故x= 0 处的振动方程为 = 2 2 cos 0 t u Ay 把2=tt代入，x=0 处的振动方程为 = 2 )2( 2 cos 0 t u Ay 波动方程为 += 2 2 )2( 2 cos),( x t u Atxy (2) 将2=x代入上式可得P点处质点的振动方程为 += 2 )2( 2 cos t u ayP X(m) P Y(m) O A u 习题 1317 图 习题 1319一简谐波沿X轴正方向传播，x1与x2两点处的振动曲线如图所示。 已知x2x1且x1且=LLx 处放一如图所示的反射面，且假设反射波 的 振 幅 为A， 则 反 射 波 的 方 程 为。 解：(1) 反射波在原点的振动方程应为 )cos( 1 +=tAy o 该平面简谐波方程可以写成 ) 2 cos( 1 xtAy += (2) 入射波在反射点处的振动方程为 ) 2 cos( 1 LtAy L += 由于有半波损失，反射波在反射点处的振动方程为 ) 2 cos( 2 LtAy L = 0 L X 反射面 波疏 媒质 波密 媒质 习题 1324 图 反射波在原点处的振动比反射点处的振动落后 2 L 相位，则反射波在原点 处的振动方程为 ) 4 cos( 2 LtAy L = 反射波的方程 ) 24 cos(),(xLtAtxy += 反 习题 1325S1、S2为振动频率，振动方向均相 同的两个点波源，振动方向垂直于纸面，两者相 距23(为波长)，如图，已知S1的初位相为 2。(1) 若使射线S2C上各点由两列波引起的 振动均干涉相消，则S2的初位相应为。 (2) 若使S1S2连线的中垂线MN上各点由两波引 起 的 振 动 均 干 涉 相 消 ， 则S2的 初 位 相 应 为。 解：(1) 在S2C上任取一点P，设 11 rPS=， 22 rPS=。欲使P点处干涉相消， 两波在P点的位相差应满足 ) 2 3 ( 2 ) 2 ()( 2 )( 21212 =rr ) 12(3) 2 ( 2 +=+=k, 3, 2, 1, 0=k 解得 2 2 2 +=k, 3, 2, 1, 0=k (2) 对MN上任一点，由于r2-r1=0，则干涉相消的条件简化为 ) 12() 2 ( 2 +=k 解得 2 3 2 2 +=k, 3, 2, 1, 0=k C M N S1S2 习题 1325 图 习题 1326飞机在空中以速度vS=200m/s 作水平飞行，它发出频率为 Hz2000 0 =的声波，静止在地面上的观察者在飞机越过其上空时，测定飞机发 出声波的频率，他在 4 秒钟内测出声波的频率由Hz2400 1 =降为Hz1600 2 =， 已知声波在空气中的速度v=330m/s， 由此可求出飞机的飞行高度h=。 解：如图所示，飞机为声源S，其速 度为 S v ，观察者为e，其静止在地面上。 设声速大小为u，则当飞机S分别处于A 点和B点时，观察者e接收到的频率分 别为 + = = 2 0 2 1 0 1 cos cos S S u u u u v v 解出 275 . 0 2400200 )20002400(330)( cos 1 01 1 = = = S u v 所以 04.74275 . 0 arccos 1 = 同样可以解得 4125 . 0 1600200 )16002000(330)( cos 2 20 2 = = = S u v 所以 64.654125 . 0 arccos 2 = 由几何关系可得 thh S =+v 21 ctgctg 解得 m10083 . 1 64.65ctg04.74ctg 4200 ctgctg 3 21 = + = + = t h S v AB S e h 1 2 2 S v S v 题解 1326 图 习题 1327一平面简谐波在介质中以速度c=20m/s 自左向右传播，已知在传 播路径上的某一点A的振动方程为)4cos(3=ty(SI)，另一点D在点A右方 9 米处，(1) 若取X轴方向向左，并以A为坐标原点，试写出波动方程，并求出 D点的振动方程。(2) 若取X轴方向向右，以A点左方 5 米处的O点为X轴原 点，重写出波动方程及D点的振动方程。 解：(1) 由已知可知4=，则频率 2=，波长m 10= c 以A点为坐标原点建立波动方程， 注 意此时波向着 x 轴负向传播，波动方程为 += 24cos3),( x ttxy 即 += 5 4cos3),( x ttxy 把D点坐标x=9m 代入波动方程即得D点的振动方程 = 5 9 4cos3tyD ) 5 4 4cos(3) 5 14 4cos(3=tt (2) 以A点左方 5 米处的O点为坐标原点建立波动方程，原点O处的振动 比 A 点超前相位，原点O处的振动方程为 )4cos(3tyo= 注意此时波向着 x 轴正向传播，波动方程为 )24cos(3),( x ttxy= 即() 5 4cos(3, x ttxy= 把D点坐标x=14m 代入波动方程即得D点的振动方程 ) 5 4 4cos(3) 5 14 4cos(3=ttyD AADD CC OX X YY 习题 1327 图 习题1328如图所示是一平面简谐 波在t=0 时刻的波形图，此简谐波的 频率为 250Hz，且此时质点P的运动 方向向下，求：(1) 该波的波动方程； (2) 在距原点O为100m处质点的振动 方程与振动速度表达式。 解：(1) 由波形图可知200=m；从P点向下运动可以判断波向X轴负向 传播。此刻，原点处质点亦通过22Ay=点向下运动，因此原点处质点振动的 初位相4=，故原点处质点的振动方程为 ) 4 500cos() 4 2cos( +=+=tAtAyo 该波的波动方程可以写成 += += 2 2004 500cos2 4 500cos),( x tA x tAtxy (2)x=100m 处质点的振动方程 ) 4 5 500cos( 100 +=tAy x=100m 处质点的振动速度表达式为 ) 4 5 500sin(500+= =tA t y v 习题 1329两列余弦波沿OX轴传播，波动方程分别为 =)0 . 802 . 0 ( 2 1 cos06 . 0 1 txy， +=)0 . 802 . 0 ( 2 1 cos06 . 0 2 txy(SI) 试确定OX轴上合振幅为 0.06m 的那些点的位置。 解：根据题给条件，可以写出合成波方程为 txyyy4cos)01 . 0 cos(12 . 0 21 =+= OX轴上合振幅为 0.06m 的那些点的位置应满足 2 1 )01 . 0 cos(=x 100m P X(m) Y(m) A 2 2 A O 习题 1328 图 即 ) 3 1 (01 . 0 =kxk=0，1，2， 解得 m) 3 1 (100=kxk=0，1，2， 习题 1330由振动频率为 400Hz 的音叉在两端固定拉紧的弦线上建立驻波。 这个驻波共有三个波腹， 其振幅为 0.30cm， 波在弦上的速度为 320m/s。 求： (1) 此 弦的长度；(2) 若以弦线中点为坐标原点，写出驻波方程。 解：(1)m8 . 0 400 320 = u 故弦长 m2 . 18 . 0 2 3 2 3= L (2) 设入射波在原点的振动方程应为 )cos( 1 +=tAy o （由于没有明确初始条件，为未知数。 ） 由于此处为波腹，所以反射波在原点的振动方程应为 )cos( 2 +=tAy o 入射波、反射波波动方程分别为 )2cos( 1 x tAy+= )2cos( 2 x tAy+= （由于没有明确两波传播方向，上述两波方程也可能互换，但不影响结果。 ） 驻波方程为 )cos()2cos(2 21 +=+=t x Ayyy 由于波腹处振幅为 0.30cm，则m100 . 32 3 =A，又8002=， m8 . 0=，则以弦线中点为坐标原点的驻波方程为 )800cos() 8 . 0 2 cos(100 . 3),( 3 += txtxy 习题 1331相干波源S1和S2，相距 11m