测量观测值中的统计规律.ppt

第一节 偶然误差的规律性,第二节 衡量精度的指标,第三节 协方差传播律在测量上的应用,第四节 权与定权的常用方法,第五节 协因数与协因数传播律,之二：测量观测值中的统计规律,观测值的精度指标与误差传播规律,观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示 。,真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用 表示。,一、几个概念,真误差：观测值与真值之差， 一般用i= -Li 表示。,第一节 偶然误差的规律性,观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2Ln可表示为：,偶然误差的特性,例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。,例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。,用直方图表示:,所有面积之和=k1/n+k2/n+=1,0.475,提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。,1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；,2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；,3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；,偶然误差的特性：,第二节 衡量精度的指标,精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。,一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。,提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。,可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低,一、方差/中误差,方差：,中误差：,提示： 越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。,方差的估值：,二、平均误差,在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。,与中误差的关系：,三、或然误差,四、极限误差,四、相对误差,中误差与观测值之比，一般用1/M表示。,第三节 协方差传播律及其在测量上的应用,一、协方差,对于变量X，Y，其协方差为：,表示X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。,表示X、Y间相关,对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的方差、协方差阵表示为：,矩阵表示为：,方差协方差阵,特点：I 对称 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 对角元 相等时，为等精度观测。,若：,若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测量。,二、观测值线性函数的方差,已知：,那么：,证明：设：,那么：,例1: 设 ，已知 ， 求 的方差 。,例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于10mm,问该路线长度最多可达几公里?,二、多个观测值线性函数的协方差阵,已知：,例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。,四 、非线性函数的情况,设有观测值X的非线性函数：,已知：,将Z按台劳级数在X0处展开：,例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms，试推导P点的点位中误差。,协方差传播应用步骤:,根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 写出观测量的协方差阵 对函数进行线性化 协方差传播,协方差传播在测量中的应用,一、水准测量的精度,作业1、在高级水准点A、（高程为真值）间布设水准路 线，如下图，路线长分别为 ，设每公里观测高差的中误差为 ，试求： （1）将闭合差按距离分配之后的p1、p2点间高差的中误差； （2）分配闭合差后P1点的高程中误差。,作业2、在相同条件下，观测两个角度A=150000，B=750000，设对A观测4个测回的测角精度（中误差）为3，问观测9个测回的精度为多少？,第四节 权与定权的常用方法,一、权的定义,称为观测值Li的权。权与方差成反比。,（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。,（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。,二、单位权中误差,三、常用的定权方法,1、水准测量的权,或,2、边角定权,第五节 协因数