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文档简介
第5讲指数与指数函数基础知识整合一、指数及指数运算1根式的概念2分数指数幂(1)a (a0,m,nN*,n1);(2)a(a0,m,nN*,n1);(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0,r,sQ);(2)(ar)sars(a0,r,sQ);(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ)二、指数函数及其性质1指数函数的概念函数yax(a0且a1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数说明:形如ykax,yaxk(kR且k0,a0且a1)的函数叫做指数型函数2指数函数的图象和性质1()na(nN*且n1)2.n为偶数且n1.3底数对函数yax(a0,且a1)的函数值的影响如图(a1a2a3a4),不论是a1,还是0a0,且a1时,函数yax与函数yx的图象关于y轴对称1化简4ab的结果为()A B C D6ab答案C解析原式46ab1,故选C.2(a2a2018)x11,x12,选D.3(2019德州模拟)已知a,b,c,则()Aabc BcbaCcab Dbc,所以b,所以ac,所以bca.故选D.4若2x21x2,则函数y2x的值域是()A. B.C. D2,)答案B解析因2x21x2242x,则x2142x即x22x30,所以3x1,所以y2.5(2019蒙城月考)已知0a1,b0,且a1)的值域为1,),则f(4)与f(1)的关系是()Af(4)f(1) Bf(4)f(1)Cf(4)1,f(4)a3,f(1)a2,由指数函数的单调性知a3a2,f(4)f(1)核心考向突破考向一指数幂的化简与求值例1求值与化简:触类旁通 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.3化简:ab2(3ab1)(4ab3)(a0,b0)解原式ab3(4ab3) ab3(ab)ab.4已知a3(a0),求a2aa2a1的值解a3,a222a9211,而2a2213,a,a2aa2a111.考向二指数函数的图象及应用例2(1)(2019山西模拟)函数f(x)axb的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()Aa1,b1,b0C0a0 D0a1,b0答案D解析由图象知f(x)是减函数,所以0a1,又由图象在y轴上的截距小于1可知ab0,所以b0且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是_答案解析当0a1时,y|ax1|的图象如图1.因为y2a与y|ax1|的图象有两个交点,所以02a1.所以0a1时,y|ax1|的图象如图2,而y2a1不可能与y|ax1|有两个交点综上,0a0,且a1)的图象要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),.(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图象,利用数形结合求解.即时训练5.函数f(x)1e|x|的图象大致是()答案A解析将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)1e|x|是偶函数,且值域是(,0,只有A满足上述两个性质6若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点,则b的取值范围是_答案1,1解析曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示,由图象可得,如果|y|2x1与直线yb没有公共点,则b应满足的条件是b1,1考向三指数函数的性质及其应用角度1比较指数幂的大小例3(1)(2019南昌模拟)下列不等关系正确的是()A33432 B3233C2.602.622.6 D.2.62.6022.6答案D解析因为y3x是增函数,所以34332,33233,故排除A,B;因为y2x是增函数,所以2.622.6202.6022.6,故选D.(2)(2019金版创新)已知实数a,b满足等式2018a2019b,下列五个关系式:0ba;ab0;0ab;ba0;ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析在同一坐标系下画出y2018x与y2019x的图象,结合图象可知正确,所以不可能成立的有2个,选B.触类旁通 比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时,尽量化成同底或同指(1)当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后利用指数函数的性质比较大小.即时训练7.(2019山东实验中学月考)已知mn1,则有()A0nm Bnm0 C0mn Dmn0答案A解析因为指数函数yx在R上递减,所以由mnn0,故选A.8已知0ay1,则下列各式中正确的是()Axaya Baxay Daxya答案B解析对于A,1,a01,xaya,A错误;0ay1,axay,B正确,C错误;对于D,axy01,axya,D错误故选B.角度2解简单的指数不等式例4(1)(2019宜昌调研)设函数f(x)若f(a)1,则实数a的取值范围是()A(,3) B(1,)C(3,1) D(,3)(1,)答案C解析当a0时,不等式f(a)1为a71,即a8,即a3,因为03,此时3a0;当a0时,不等式f(a)1为1,所以0a1.故a的取值范围是(3,1),故选C.(2)(2018洛阳模拟)若对于任意x(,1,都有(3m1)2x0,不等式(3m1)2x1对于任意x(,1恒成立,等价于3m1x对于任意x(,1恒成立x1,x12.3m12,解得mab的不等式,需借助函数yax的单调性求解,如果a的取值不确定,则需分a1与0ab的不等式,需先将b转化为以a为底的指数幂的形式,再借助函数yax的单调性求解即时训练9.已知函数f(x)的值域是8,1,则实数a的取值范围是()A(,3 B3,0)C3,1 D3答案B解析当0x4时,f(x)8,1,当ax0时,f(x),8,1,即81,即3a0的解集是()Ax|x2 Bx|x4Cx|x6 Dx|x5答案D解析当x0时,由f(x)3x90得x2,所以f(x)0的解集为x|x2或x0的解集为x|x5故选D.角度3与指数函数有关的复合函数问题例5已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,),求a的值解(1)当a1时,f(x)x24x3,令g(x)x24x3,由于g(x)在(,2)上单调递增,在(2,)上单调递减,而yt在R上单调递减,所以f(x)在(,2)上单调递减,在(2,)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(2,),单调递减区间是(,2)(2)令g(x)ax24x3,f(x)g(x),由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值1,因此必有解得a1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)令g(x)ax24x3,f(x)g(x),由指数函数的性质知,要使yg(x)的值域为(0,)应使g(x)ax24x3的值域为R,因此只能a0(因为若a0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R)故f(x)的值域为(0,)时,a的值为0.触类旁通 研究指数型函数性质的策略求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断即时训练题借助于换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围即时训练11.(2019海口模拟)函数yxx1在x3,2上的值域为_答案解析令tx,则yt2t12,x3
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