2020版高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和教案理（含解析）新人教A版.docx

第3讲等比数列及其前n项和基础知识整合1等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab(ab0)2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1. 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(5)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.(6)等比数列an满足或时，an是递增数列；满足或时，an是递减数列1(2019四川成都检测)在等比数列an中，已知a36，a3a5a778，则a5()A12 B18 C24 D36答案B解析由题意，a3a5a7a3(1q2q4)78，所以1q2q413，解得q23，所以a5a3q218.故选B.2已知an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值为()A5 B10 C15 D20答案A解析根据等比数列的性质，得a2a4a，a4a6a，a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)2.而a2a42a3a5a4a625，(a3a5)225，an0，a3a55.3(2019广西柳州模拟)设等比数列an中，公比q2，前n项和为Sn，则的值为()A. B. C. D.答案A解析S415a1，a3a1q24a1，.故选A.4若等比数列an满足anan116n，则公比为()A2 B4 C8 D16答案B解析由anan116n，得an1an216n1.两式相除得，16，q216.anan116n，可知公比为正数，q4.5等比数列an的前n项和为Sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，则S5()A31 B36 C42 D48答案A解析由等比数列的性质，得a3a5a2a664，于是由且an0，q1，得a34，a516，所以解得所以S531.故选A.6(2019长春模拟)设数列an的前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，且a22，则a7()A16 B32 C64 D128答案C解析由题意得Sn2Sn12Sn，得an2an1an10，即an22an1，an从第二项起是公比为2的等比数列，a7a2q564.故选C.核心考向突破考向一等比数列的基本运算例1(1)(2019汕头模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，S33a1a2，则()A2 B3 C4 D5答案B解析设等比数列的公比为q，由题意a1a2a33a1a2得a32a1(a10)，q22，1q23.故选B.(2)(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.触类旁通 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程即时训练1.已知等比数列an的前n项和为Sn，且a20183S20172018，a20173S20162018，则公比q等于()A3 B C4 D答案C解析由a20183S20172018，a20173S20162018，得a2017q3S20172018，a20173S20162018，a2017q3S2017a20173S2016，a2017(q1)3(S2017S2016)3a2017，q4.故选C.2等比数列an中，a1a310，a2a430，则数列an的前5项和S5()A81 B90 C100 D121答案D解析等比数列an中，a1a310，a2a430，公比q3，a19a110，解得a11，数列an的前5项和S5121.故选D.3(2019安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2a416，S37，则a8_.答案128解析a2a4a16，a34(负值舍去)，a3a1q24，S37，q1，S23，3q24q40，解得q或q2，an0，q舍去，q2，a11，a827128.考向二等比数列的性质角度等比数列项的性质例2(1)(2019四川绵阳模拟)等比数列an的各项均为正数，且a12a24，a4a3a7，则a5()A. B. C20 D.40答案B解析设等比数列的公比为q.由a4a3a7，得a4a，所以q22，解得q.又因为数列的各项均为正数，所以q.又因为a12a24，所以a12a1qa12a14，解得a12，所以a5a1q424.故选B.(2)在等比数列an中，公比a1am17，a2am116，且前m项和Sm31，则项数m_.答案5解析由等比数列的性质知a1ama2am116，又a1am17，q1，所以a11，am16，Sm31，解得q2，ama1qm12m116.所以m5.触类旁通 在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq”，则可减少运算量，解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.即时训练4.(2019福建三明模拟)已知数列an是各项均为正值的等比数列，且a4a12a3a515，a4a85，则a4a8()A15 B. C5 D25答案C解析a4a12a3a515，aa15，又a4a85，(a4a8)2aa2a4a825，又a4a80，a4a85.故选C.5(2019江西联考)在等比数列an中，若a2a5，a2a3a4a5，则()A1 B C D答案C解析因为数列an是等比数列，a2a5a3a4，a2a3a4a5，所以.故选C.角度等比数列和的性质例3(1)已知各项都是正数的等比数列an，Sn为其前n项和，且S310，S970，那么S12()A150 B200C150或200 D400或50答案A解析解法一：由等比数列的性质知S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，(S610)210(70S6)，解得S630或20(舍去)，又(S9S6)2(S6S3)(S12S9)，即40220(S1270)，解得S12150.故选A.解法二：设等比数列前n项和为SnAAqn，则两式相除得1q3q67，解得q32或3(舍去)，A10.S1210(124)150.故选A.(2)已知等比数列an的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则Sa3a6a9a12的值为_答案585解析设公比为q，由得Sa3a6a9a12a3(1q3q6q9)a1q2(1q3)(1q6)585.触类旁通 (1)等比数列前n项和的性质主要是若Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列. (2)注意等比数列前n项和公式的变形当q1时，Snqn，即SnAAqn(q1)(3)利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度.解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口.即时训练6.(2019云南玉溪模拟)等比数列an中，公比q2，a1a4a7a9711，则数列an的前99项的和S99()A99 B88 C77 D66答案C解析解法一：由等比数列性质知a1，a4，a7，a97是等比数列且其公比为q38，11，a1(1299)77，S9977.故选C.解法二：令S0a1a4a7a9711，Sa2a5a8a98，Sa3a6a9a99.由数列an为等比数列，q2易知S0，S，S成等比数列且公比为2，则S2S022，S2S44，所以S99S0SS11224477.故选C.7各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30 C26 D16答案B解析由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2,14x成等比数列由(x2)22(14x)，解得x6或x4(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330.故选B.考向三等比数列的判定与证明例4(1)(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an，设bn.求b1, b2, b3；判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；求an的通项公式解由条件可得an1an.将n1代入，得a24a1，而a11，所以a24.将n2代入，得a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.bn是首项为1，公比为2的等比数列由题设条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列由可得2n1，所以ann2n1.(2)(2019安徽江南十校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.证明：Snn2为等比数列；求数列Sn的前n项和Tn.解证明：当n1时，a1S1，S12a114，解得a13.由Sn2ann4可得Sn2(SnSn1)n4(n2)，即Sn2Sn1n4，所以Snn22Sn1(n1)2因为S1124，所以Snn2是首项为4，公比为2的等比数列由知Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n2n.触类旁通 判定一个数列为等比数列的常用方法(1)定义法：若q(q是常数)，则数列an是等比数列即时训练8.(2019柳州模拟)已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn2an2n(nN*)(1)证明：an2是等比数列，并求an的通项公式；(2)数列bn满足bnlog2(an2)，Tn为数列的前n项和，若Tna对任