2020届高考数学第九单元解析几何第69讲圆锥曲线的综合应用（二）练习理新人教A版.docx

第69讲圆锥曲线的综合应用(二)(与定点、定值及探索性问题的综合)1(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB. (1)由已知得F(1，0)，l的方程为x1.由已知可得，点A的坐标为(1，)或(1，)又M(2，0)，所以AM的方程为yx或yx.(2)当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x20)的焦点为F，准线为l.已知点A在抛物线C上，点B在l上，ABF是边长为4的等边三角形(1)求p的值；(2)在x轴上是否存在一点N，当过点N的直线l与抛物线C交于点Q，R两点时，为定值？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由 (1)由题意，|AF|AB|，则ABl，设准线l与x轴交于D，则ABDF.又ABF是边长为4的等边三角形，所以ABF60.所以BFD60，|DF|BF|cosBFD42，即p2.(2)设点N(t，0)，由题意知直线l的斜率不为零，设直线l的方程为xmyt，点Q(x1，y1)，R(x2，y2)，由得y24my4t0，16m216t0，y1y24m，y1y24t，易知|NQ|2(x1t)2y(my1tt)2y(1m2)y，同理可得|NR|2(1m2)y.则有.若为定值，则t2，此时点N(2，0)又当t2，mR时，0，所以，存在点N(2，0)，当过点N的直线l与抛物线C交于Q，R两点时，为定值.3(经典真题)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由 (1)由题意得解得a22.故椭圆C的方程为y21.设M(xM,0)因为m0，所以1n1，直线PA的方程为y1x.所以xM，即M(，0)(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，n)设N(xN,0)，则xN.“存在点Q(0，yQ)使得OQMONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使得”，即yQ满足y|xM|xN|.因为xM，xN，n21，所以y|xM|xN|2.所以yQ或yQ.故在y轴上存在点Q，使得OQMONQ，且点Q的坐标为(0，)或(0，)4(经典真题)已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点(，m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由 (1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点(，m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x，即xP.将点(，m)的坐标代入l的方程得b，因此，xM.四边形OAPB为平行四边形当