数学建模——选举问题.doc

在西方国家的政治生活中，选举是件大事。考虑有三个政党参加选举，每次参加的选民人数为40万，且保持不变。由于社会、经济、各政党的主张等因素的影响，原来投某个政党的选民，可能会改投其他政党，为此，我们作如下假设：每次投A党的选民，下次投票时，分别有比例的选民投A，B，C三个政党；每次投B党的选民，下次投票时，分别有0.5,0.3,0.2比例的选民投A，B，C三个政党；每次投C党的选民，下次投票时，分别有0.4,0.3,0.3比例的选民投A，B，C三个政党；试分析选举的趋势是怎么样的？二、问题的假设1.假设参与投票的选民不变，且没有弃票权；2.假设选举的趋势走向与；的值有关。并且令每次投A党票的选民，下次投票时分别有比例的选民投A，B，C政党的票；每次投B党票的选民，下次投票时分别有比例的选民投A，B，C政党的票;每次投C党票的选民，下次投票时分别有比例的选民投A，B，C政党的票;3.假设选举的趋势走向与初始选民数无关； 4.假设投A，B，C党票的初始选民的人数即分别为（400000,0,0)；5.假设投A，B，C党票的初始选民的人数即分别为（0,400000,0）；6. 假设投A，B，C党票的初始选民的人数即分别为（0,0,4000000）；7. 假设投A，B，C党票的初始选民的人数即分别为（4000000/3, 4000000/3, 4000000/3）;8.假设以10年为例分析选举票数的趋势走向；三、符号说明：每次投A党票的选民，下次投票时选民投A，B，C政党票的概率；：每次投B党票的选民，下次投票时选民投A，B，C政党票的概率；：每次投C党票的选民，下次投票时选民投A，B，C政党票的概率；：第k次选举时分别投A,B,C各政党的选民人数；其中分别为：0.2,0.3,0.5；分别为：0.5,0.3,0.2；分别为：0.4,0.3,0.3。四、问题的建模与求解对于问题，记第k次选举时A，B，C政党的选民数分别为;每次投A党票的选民，下次投票时选民投A，B，C政党票的概率为0.2,0.3,0.5，很容易写出第k+1次选举时政党A的选民数为；每次投B党票的选民，下次投票时选民投A，B，C政党票的概率为分别为0.5,0.3,0.2,所以第k+1次选举时政党B的选民数为；每次投C党票的选民，下次投票时选民投A，B，C政党票的概率为分别为0.4,0.3,0.3,所以第k+1次选举时政党C的选民数为。根据题意可建立如下方程组：并且方程的平衡点满足方程设， 根据题意可画出选民变动情况流程图1：图1如果带入问题的初始值就可以求出任一次选民投票选举时的票数情况。1. 情况1的讨论：投A，B，C党票的初始选民的人数为（400000,0,0)时；次数政党012345678910A40000080000156000140800143840143232143354143329143334143333143333B0120000120000120000120000120000120000120000120000120000120000C0200000124000139200136160136768136646136671136666136667136667 最后A，B，C政党的选民人数在会稳定在143333,120000,136667。2. 情况2的讨论：投A，B，C党票的初始选民的人数为（0,400000,0）时；次数政党012345678910A200000132000145600142880143424143315143337143333143333143333143333B400000120000120000120000120000120000120000120000120000120000120000C080000148000134400137120136576136685136671136663136667136667最后A，B，C政党的选民人数会分别稳定在143333,120000,136667。3. 情况3的讨论：投A，B，C党票的初始选民的人数为（0,0,4000000）时；次数政党012345678910A0160000140000144000142880143200143360143328143334143333143333B0120000120000120000120000120000120000120000120000120000120000C400000120000140000136000136800136640136672136671136666136667136667 最后A，B，C政党的选民人数会分别稳定在143333,120000,136667。4.情况4的讨论：投A，B，C党票的初始选民的人数为（400000/3,400000/3,400000/3）时；次数政党012345678910A133333146667142676143307143339143332143334143333143333143333143333B133333120000120000120000120000120000120000120000120000120000120000C133333133333137333136533136693136661136668136666136667136667136667最后A，B，C政党的选民人数会分别稳定在143333,120000,136667。五、问题的结论结合上面四种情况的比较分析我们可以得知：投A，B，C政党的初始选民人数与最终的实验结果无关，最后A，B，C政党的选民人数分别都会稳定在143333,120000,136667。而影响A，B，C政党获选票数的趋势走向的是；的值。而在本题中，分别为：0.2,0.3,0.5；分别为：0.5,0.3,0.2；分别为：0.4,0.3,0.3。六、模型的改进与检验在实际问题中，不仅需要考虑社会、经济、各政党的主张等因素的影响，也可能需要考虑选民的弃票权。并且该数学模型仅是对短期的时间内对选举的趋势走向进行了预测并没有证明第n年以后（n20）最后A，B，C政党的选民人数分别都会稳定在143333,120000,136667。但是通过多组数据结果与图像，我们可以得知选举的趋势走向的确与无关；这验证了该数学建模的优良性。4附录一：投A，B，C党票的选民的人数为（400000,0,0)的情况；A=0.2,0.5,0.4;0.3,0.3,0.3;0.5,0.2,0.3;n=10;for k=1:nx(:,1)=400000,0 ,0;x(:,k+1)=A*x(:,k); endround(x)k=0:10;plot(k,x),gridgtext(x1(k);gtext(x2(k);gtext(x3(k);附录二：投A，B，C党票的选民的人数为（0,400000,0）的情况；A=0.2,0.5,0.4;0.3,0.3,0.3;0.5,0.2,0.3;n=10;for k=1:nx(:,1)= 0,400000 ,0;x(:,k+1)=A*x(:,k); endround(x)k=0:10;plot(k,x),gridgtext(x1(k);gtext(x2(k);gtext(x3(k); 附录三：投A，B，C党票的选民的人数为（0,0,4000000）的情况；A=0.2,0.5,0.4;0.3,0.3,0.3;0.5,0.2,0.3;n=10;for k=1:nx(:,1)= 0, 0 ,400000;x(:,k+1)=A*x(:,k); endround(x)k=0:10;plot(k,x),gridgtext(x1(k);gtext(x2(k);gtext(x3(k);附录四：投A，B，C党票的选民的人数为（400000/3,400000/3,400000/3）的情况；A