傅氏变换习题解答.pdf

傅氏变换习题解答 习题一 1试证：若满足傅氏积分定理的条件，则有 ( )tf 00 ( )( )cos( )sinf tatdbtd + =+ 其中 1 ( )( )cos, 1 ( )( )sin af bf d d + + = = 证 ( )( )( ) jj 11 (cosjsin)cos 22 t f tfed edf td d + = ( )( ) ( ) 0 00 11 +coscos(cosjsin)jsin 2 1 +( )cos( )sinsinsin fdtdftd d atdbtdfd d t + + = =+ 因，。 ( )sincosftd d + 为 的奇函数( )coscosftd d + 为 的偶函数 2试证：若满足傅氏积分定理的条件，当( )tf( )tf为奇函数时，则有 ( )( )()dtbtf + = 0 sin 其中 ( )( )() 0 2 sinbfd + = 当为偶函数时，则有 ( )tf ( )( )()dtatfcos 0 + = 其中 ( )( )() 0 2 cosafd + = 证 设是奇函数 ( )tf ( )( ) jj 1 2 t f tfed ed + = ( )() j 1 cosjsin 2 t fd ed + = ( ) j 0 1 sin j t fd ed + = ( ) j 1 2j t bed + = 。 （( )b是的奇函数） ( )()( ) 0 1 cosjsinsin 2j btt dbtd + =+= 设是偶函数 ( )tf ( )( ) jj 1 2 t f tfed ed + = ( )() j 1 cosjsin 2 t fd ed + = ( )( ) j 0 1 cos 2 t aedatd + = ( )a是的偶函数。 （注也可由 1 题推证 2 题） 3在题 2 中，设，试算出( ) 1,| | 1 0,| | 1 t f t t = ( )a，并推证 0 ,| | 1 2 sincos ,| | 1 4 0,| | 1 t td t t + 证 是偶函数 ( )tf ( )( ) = + = sin2 0 1 sin2 cos 0 2t tdttfa ( )( ) + = + = d t tdat cossin 0 2 cos 0 f 所以 ( ) 0 | | 1 2 sincos0 1 | | 1 2224 0| | t t df tt t + 1 =。 习题二 1 求矩形脉冲函数 ,0 ( ) 0, At f t = 其他 的傅氏变换。 解 ( )=F( )( ) jj 0 tt f tf t edtAedt + = j ij 0 11 jjj t e ee AAA = 2 求下列函数的傅氏积分： （1） （2） （3） ( ) 22 2 1, 0,1 tt f t t 1 ( ) = 0,2sin 0, 0 tte t tf t ( ) 0,1 1,10 1,01 0,1 t t f t t t = ,|, 0 ,|,sin t tt tf 2 0 sin ,| |sinsin 2 1 0,| | ttt d t + = 解 （1）( )=tF( ) | |itt f teedt + = = ii 00 2cos2 2 tt tte e etdtedt + + = ()() () () () () ii ii 00 0 ii tt tt ee eedt + + + =+=+ + 22 112 ii =+= + ( )tf的积分表达式为 ( )( ) + = deFtf ti 2 1 () 22 12 cosisin 2 tt d + =+ + 22 0 2 cos td + = + 即 | | 22 0 cos 2 t t de + = + （2）( )=F( ) + + + =dte ee edtteetf t tt ttti ii | |i| | 2 cos ()()()() 00 1 i 11 i 11 i 11 i 1 00 1 2 ttt edtedtedtedt t + + + + =+ = () () () () () () () () 00 1 i 11 i 11 i 11 i 1 00 21 i 11 i 11 i 11 i 1 tttt eeee + + + 1 + + + + ()()()() 11111 2 1 i 11 i 11 i 11 i 1 =+ + 2 4 24 4 + = + ( )tf的积分表达式为 ( )( ) dedeFtf tti 4 2 i 4 42 2 1 2 1 + + + + = + + + = 0 4 2 cos 4 421 td 因此有 ( ) + = + + 0 | | 4 2 cos 22 cos 4 2 tetftd t （3）( )=F( )( ) ii sin tt f tf t edttedt + = () = 0 sinsini2sinicossintdttdtttt =()() + 0 1cos1cosidttt ()() + + = 1 1sin 1 1sin i 00 tt ()()()() 2 1 1sin1sin1sin1sin i + = 2 1 sin i2 = ( )tf的积分表达式为 ( )( ) + + = dedeFtf tti 2 i 1 sin i2 2 1 2 1 () + =+ = 0 22 1 sinsin2 sinicos 1 sini d t dtt 因此有 ( ) + = 0 2 |, 0 |,sin 2 21 sinsin t tt tfd t 4已知某函数的傅氏变换为( )tf( )=F sin ，求该函数( )tf。 解 ( )( )() + + += dttdeFtf t sinicos sin 2 1 2 1 i () 0 sin(1)sin 11sin1 cos 22 tt tdd + + = ()() + + + = 00 1sin 2 11sin 2 1 d t d t （*） 而由 + = 0 2 sin dx x x 得 当时，0u + = 000 2 sinsinsin dx x x du u u d u 当时，0 = = 1|, 0 1|, 4 1 1|, 2 1 t t t tf 5已知某函数的傅氏变换为 0 ( ) ()()F 0 =+，求该函数。 ( )tf 解 ( )( ) ii 00 11 ()() 22 tt f tFeded + =+ 00 -ii 0 cos 2 tt ee t + = 6求符号函数（又称正负号函数） 1,0 sgn 1,0| | t t t tt 的傅氏变换。 解 符号函数不满足傅氏积分定理的条件，显然不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定义。首先注意到可取，且 |sgn | t dt + + / / ,0 ( )00 0 t n n t n et f tt et = = + + 0 ，则( )f t的频谱函数为 ( )F= ( ) 0/2 ii /20 22 ()() tt AA f ttA edttA e =+ dt ii 22 222 222i22i4 1 cos 22 AeeA 2 + + = 15求作如图所示的锯齿形波的频谱图。 h ( )tf t O T 2T 3T -T -3T -2T -3T ( )()Ttt T h tf -i-i -i 111 ()()()()( )() atu t aa f atf at edtf at ed atf u eduF aaa a + = ； 同理时，0a -i-i -i 111 ()()()()( )() atu t aa f atf at edtf at ed atf u eduF aaa a + = = ； 综上， 1 () | f atF aa = 。 4若( )=F，证明（象函数的位移性质） ： ( )tf ( ) 0 1 j 0 () t Fef = 0 ()Ft，即( ) 0 j t ef t 。 = 证 ( )( )( ) 000 jjj()j 0 ( tttt ef tef t edtf t edtF ) + = 。 5若( )=F，证明（象函数的微分性质） ：( )tf( ) d F d =( ) jtf t。 证 ( ) d F d =( )( )( ) jjjt j tt dd f t edtf tedttf t edt dd + = ( )tf t j。 6若( )=F，证明（翻转性质） ( )tf ()=F()ft 证 ()( ) () () ()() () iitt Ff t edtft edt + = =() i t ft edt + = ()ft 。 7若( )=F，证明：( )tf 00 1 ( )cos ()() 2 f ttFF 0 =+， 00 1 ( )sin ()() 2j f ttFF 0 =+。 证 ( )( )( ) 00 00 jj j()j()j 0 1 ( )cos 22 tt ttt ee f ttf tedtf t edtf t ed + + + t =+ 00 1 ()() 2 FF=+； ( )( )( ) 00 00 jj j()j()j 0 1 ( )sin 2j2j tt ttt ee f ttf tedtf t edtf t edt + + = 00 1 ()() 2j FF=+。 8利用能量积分 2 1 ( )|( )| 2 2 f tdtFd + = ，求下列积分的值： （1） 2 1 cosx dx x + ； （2） 4 2 sin x dx x + ； （3） 22 1 (1) dx x + + ； （4） () 2 2 2 1 x dx x + + 解 （1） 2 1 cosx dx x + =2 2 2 2 sin sin 2 x x dxdx xx + = + = 2 1 d x x 2 sin （*） dx x xx dxe x x x x x + + = 0 i cossin 2 s