高考数学总复习第二章函数第14讲函数模型及函数的综合应用练习理新人教版.docx

第14讲函数模型及函数的综合应用夯实基础【p31】【学习目标】1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用3会运用函数的知识和函数思想解决有关函数的综合性问题，培养学生分析问题和解决问题的能力【基础检测】1在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x【解析】根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意故选D.【答案】D2已知函数f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是()Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)【答案】B3某电商新售A产品，售价为每件50元，年销售量为11.8万件为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x%的营业税(即每销售100元征税x元)第二年，电商决定将A产品的售价提高元，预计年销售量减少x万件要使第二年A产品上交的营业税不少于10万元，则x的最大值是()A2 B5 C8 D10【解析】由题意得(11.8x)x%10，解得2x10.故选D.【答案】D4将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为()A5 B8 C9 D10【解析】5 min后甲桶和乙桶的水量相等，函数yf(t)aent满足f(5)ae5na，可得nln，f(t)a，因此，当k min后甲桶中的水只有L时，f(k)aa，即，k10，由题可知mk55.【答案】A5pH值是水溶液的重要理化参数若溶液中氢离子的浓度为H(单位：mol/L)，则其pH值为lgH在标准温度和气压下，若水溶液pH7，则溶液为中性，pH7时为碱性例如，甲溶液中氢离子浓度为0.000 1 mol/L，其pH值为1g 0.000 1，即pH4.已知乙溶液的pH2，则乙溶液中氢离子浓度为_mol/L.若乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍，则丙溶液的酸碱性为_(填中性、酸性或碱性)【解析】由pH2可得： lg2，即乙溶液中氢离子浓度为0.01 mol/L；由乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍可得：丙溶液中氢离子浓度为51010，显然lg7，故丙溶液的酸碱性为碱性，故答案为0.01，碱性【答案】0.01；碱性【知识要点】1三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对稳定图象的变化随x增大逐渐表现为与_y_轴平行随x增大逐渐表现为与_x_轴平行随n值变化而不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0，b1)对数函数型模型：ymlogaxn(m0，a0，a1)幂函数型模型：yaxnb(a0)3解函数应用题的基本步骤(1)审题：就是认真读题，仔细审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，找出量与量之间的关系，从中提炼出相应的数学问题(2)建模：引进数学符号，将问题中变量之间的关系抽象或拟合成一个目标函数，将实际问题转化为函数问题(3)求解：利用数学知识和方法，对目标函数进行解答，求出数学结果(4)检验：返回到实际问题，检验数学结果是否符合实际，对具体问题进行解答典 例 剖 析【p31】考点1函数模型应用某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元，依题意得：当0x80时，L(x)(0.051 000x)x210x250x240x250；当x80时，L(x)(0.051 000x)51x1 4502501 200.所以L(x)(2)当0x80时，L(x)(x60)2950.此时，当x60时，L(x)取得最大值L(60)950万元当x80时，L(x)1 2001 20021 2002001 000，此时x，即x100时L(x)取得最大值1 000万元9501 000，所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1 000万元【点评】(1)分段函数每一段自变量的变化所遵循的规律不同，可以先将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁(3)分段函数的最大(小)值是各段的最大(小)值中的最大(小)值考点2函数性质与图象的综合应用(1)函数f(x)ln|x|的图象大致为()【解析】当x0时，函数f(x)ln(x)，由函数y、yln(x)递减知函数f(x)ln(x)递减，排除C，D；当x0时，函数f(x)ln x，此时，f(1)ln 11，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确故选B.【答案】B(2)已知函数f(x)若正实数a，b，c互不相等，且fff，则abc的取值范围为()A. B.C. D.【解析】由于fff，不妨设0a1bec，则ln aln b2ln c，则ln aln bln ab0，ab1, b，ln cln a2，ln2，e2，ce2a ，由于0ln a1，a1，则h(a)ae2a(a1)，h(x)x，h(x)在 上为增函数，而h(1)2e2，h2e，则2eh(x)2e2.选B.【答案】B考点3函数与不等式的综合问题(1)已知函数f(x)则不等式f(f(x)3的解集为_【解析】f(x)当x0时，x20；当x0时，x22x1.设mf(x)，则f(f(x)3，即f(m)3，当m0时，恒有f(m)3；当m0时，f(m)3，即m22m3，即3m1.所以f(m)3时有m3，即f(x)3.当xf(x2)，则实数k的取值范围是()A. B.C. D以上都不对【解析】对任意的x11，2，总存在x21，使得g(x1)f(x2)，g(x1)minf(x2)min，f(x)x2323431，当且仅当x时取等号，f(x2)min1，当k0时，g(x)kx2，在x1，2为增函数，g(x)minf(1)2k，2k1，解得0k1；当k0时，g(x)kx2，在x1，2为减函数，g(x)minf(2)2k2，2k21，解得k0；当k0时，g(x)2，21成立，综上所述，k的取值范围是.【答案】A考点4函数与方程的综合问题已知函数f(x)x24xa3，g(x)mx52m.(1)当x时，若函数yf(sin x)存在零点，求实数a的取值范围并讨论零点个数；(2)当a0时，若对任意的x11，4，总存在x21，4，使f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围【解析】(1)令tsin x1，1，f(t)t24ta3(t2)2a1.函数f(t)图象的对称轴为直线t2，要使f(t)在1，1上有零点，则即8a0.所以所求实数a的取值范围是8，0由(t2)2a10得t2，当3a0时，2个零点；当a0或8a0时，g(x)mx52m在1，4上是增函数，g(x)5m，52m，记B5m，52m由题意，知AB，解得m6.当m0，函数f(x)若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_. 【解析】当x0时，由x22axaax，得ax2ax；当x0时，由x22ax2aax，得2ax2ax.令g(x)作出直线ya，y2a，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为，由图象可知，若f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a2a，得4a0，由f(x)f(x)(t22mtm23)m23有解，方程变形为2m2m260，令kt2，方程变形为k22mk2m280.令g(k)k22mk2m28(k2)，对称轴为km.当m2时，有解等价于g(2)0，解得1m2；当m2时，有解等价于g(m)0，解得2m2.综上，m1，2【答案】1，28某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系： w4，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)L(x)16 x2x 643x(0x5)(2)L(x)643x 67672 43.当且仅当3时，即x3时取等号故L(x)max43.B组题1已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，则方程f(x)g(x)在区间5，1上的所有实根之和为()A7 B8 C9 D10【解析】f(x)且f(x2)f(x)，f(x)是周期为2的函数又g(x)，则g(x)3，易知两个函数都关于(2，3)对称，画出f(x)与g(x)的图象如图所示由图象可得：yf(x)和yg(x)的图象在区间5，1上有3个交点，设为A，B，C，其横坐标分别为x1，x2，x3，且x1x2x3，由图易知点A，C关于点(2，3)对称，所以x1x34，又显然x23，所以x1x2x37，故方程f(x)g(x)在区间5，1上的所有实根之和为7.【答案】A2已知函数f(x)则下列关于函数yff(kx)11(k0)的零点个数的判断正确的是()A当k0时，有3个零点；当k0时，有4个零点B当k0时，有4个零点；当k0时，有3个零点C无论k为何值，均有3个零点D无论k为何值，均有4个零点【解析】令ff(kx)110得，或解得f(kx)10或f(kx)1；由f(kx)10得，或即x0或kx；由f(kx)1得，或即ekx1(无解)或kxe1；综上所述，x0或kx或kxe1；故无论k(k0)为何值，均有3个解【答案】C3某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时【解析】由题意得e22k，e11k，x33时，ye33kb(e11k)3ebeb19224.【答案】244设函数f(x)对任意给定的y(2，)，都存在唯一的xR，满足f(f(x)2a2y2ay，