《随机事件与概率》PPT课件.ppt

第一节 随机事件,随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.,研究随机现象,首先要对研究对象进行观察试验. 这里的试验是一个含义广泛的术语.它包括各种各样的科学试验,甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验.,几个具体试验,在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.,上述试验具有下列共同的特点:,(1) 试验可以在相同的条件下重复进行;,(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能的结果;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试验.,用 表示随机试验.,样本点e,现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .,一、样本空间,样本空间，,样本空间，,例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),(H,T)：,(T,H):,(T,T)：,(H,H):,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,则样本空间,如果试验是测试某灯泡的寿命：,则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，,S = t ：t 0,样本空间,故,若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现的次数：,则样本空间,由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的目的所确定的.,试验 的样本空间 的子集称为 的随机事件.,二、随机事件,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .,事件 B=掷出奇数点,事件 A=掷出1点,基本事件:,(相对于观察目的不可再分解的事件),事件 B=掷出奇数点,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .,事件 Ai =掷出i点, i =1,2,3,4,5,6,由一个样本点组成的单点集.,基本事件,当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .,事件 B=掷出奇数点,两个特殊的事件：,必,件,然,事,例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;,即在试验中必定发生的事件，常用S表示;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示 .,而“掷出点数8”则是不可能事件.,三、事件间的关系与事件的运算,事件的运算满足的规律,那么要问: 如何求得某事件的概率呢? 下面几节就来回答这个问题.,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是,事,率,件,概,的,第二节 随机事件的概率,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,一、频率的定义,可见, 在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具 有稳定性.即通常所说的统计规律性.,二、概率的定义,我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为,古典概型,三、古典概型,假定某个试验有有限个可能的结果,假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei比任一其它结果，例如 ej更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.,e1, e2, ，eN ,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球 . 将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得 . 也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.,1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,10个球中的任一个被取出的机会都是1/10,我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,10 .,称这样一类随机试验为古典概型.,2,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 .,S=1,2,10 ,则该试验的样本空间,如i =2,称这种试验为等可能随机试验或古典概型.,若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.,定义 1,四、古典概型中事件概率的计算,记 A=摸到2号球 P(A)=?,P(A)=1/10,记 B=摸到红球 P(B)=?,P(B)=6/10,2,这里实际上是从“比例” 转化为“概率”,记 B=摸到红球 , P(B)=6/10,静态,动态,当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.,解,=0.3024,允许重复的排列,例 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.,计算样本空间样本点总数和所求事件 所含样本点数计数方法不同.,从10个不同数字中 取5个的排列,例3 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,这是一种无放回抽样.,解 令B=恰有k件次品 P(B)=？,次品,正品,M件次品,N-M件 正品,第三节 条件概率与事件的独立性,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,例 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为 P(B|A) .,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),二、 乘法定理,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解 设 Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,计算得：,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,三、事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B),用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受 P(B)0 或 P(A)0 的制约.,若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B相互独立，简称A、B独立.,两事件独立的定义,例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的,可见, P(AB)=P(A)P(B),由于 P(A)=4/52=1/13,故 事件A、B独立.,问事件A、B是否独立？,解,P(AB)=2/52=1/26.,P(B)=26/52=1/2,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .,甲、乙两人向同一目标射击,记 A=甲命中, B=乙命中，A与B是否独立？,例如,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）,=P(A)1- P(B),= P(A)- P(AB),P(A )= P(A - A B),A、B独立,概率的性质,= P(A)- P(A) P(B),仅证A与 独立,定理 2 若两事件A、B独立, 则,也相互独立.,证明,= P(A) P( ),故 A与 独立,对独立事件，许多概率计算可得到简化,五、独立性的概念在计算概率中的应用,即,例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解 将三人编号为1，2，3，,所求为,记 Ai=第i个人破译出密码 i=1 , 2 , 3,已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4,第四节 全概率公式与贝叶斯公式,定义 设S为随机试验E的样本空间,B1,B2,， Bn为E的满足下列条件的事件组：,则称 B1,B2,Bn 为样本空间S 的一个 划分.,（i）BiBj=(ij,I,j=1,2,n);,(ii),例如，在掷一枚骰子观察出现的点数试验中，,B1=1，2，3，B2=4，5，B3=6 就是样本空间S的一个划分。,定理1 设S为试验E的样本空间, B1,B2,Bn为S的 一个划分，且P(Bi)0(i=1,2,n),则对任意事 件A有全概率公式：,【证】因为A可互斥分解为,所以由有限可加性与乘法公式得：,【证】由条件概率、乘法公式与全概率公式得,定理2 设S为试验E的样本空间, B1,B2,Bn为S的 一个划分,A为E的事件,且P(Bi)0(i=1,2,n), P(A)0,则有贝叶斯公式：,在应用全概率公式与贝叶斯公式时，有两个问题需 要弄清楚：,当事件的发生与相继两个试验有关时，从第一试验 入手寻找划分；,当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引起的， 可以这些“原因”为划分。,2、如何区分是用全概率公式还是用贝叶斯公式,1、如何确定划分,一般，可从下列两个方面来寻找划分：,“由因求果”用全概率公式,“执果求因”用贝叶斯公式.,【例3】设工厂A和工厂B的产品次品率分别为 1%和2%,现从A与B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A厂生产的概率是多少?,解由于产生次品的“原因”是“A厂生产”和“B厂生产”,因此,划分可设为:,事件A为“随机抽取一件为次品”.,由全概率公式得:,由贝叶斯公式得:,【例4】设在12只乒乓球中有9只新球和3只旧球, 第一次比赛取出3只,用后放回去;第二次比赛又取出3只,求第二次取到的3只球中有2只为新球的概率.,【解】这里有两个相继“试验”