苏教版2.3数学归纳法1.ppt

2.3 数学归纳法,1,对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法.,特点:,an=a1+(n-1)d,2,解:,猜想数列的通项公式为,验证:同理得,啊,有完没完啊?,正整数无数个!,（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正确的吗？,情境,3,人的多米诺骨牌游戏,第一个人倒下，是否所有人都倒下？,课题探究,4,人的多米诺骨牌游戏,第k+1个人是如何倒下？,课题探究,5,第一，第一个人必须倒下； 第二，任意相邻的两个人，前一个人倒下一定撞到后一个.,要保证每个人都倒下，必需满足什么条件？,人的多米诺骨牌游戏,课题探究,6,条件2给出了一个递推关系： 当第k个人倒下时，相邻的第k+1个人也倒下.,条件2的作用时什么？,人的多米诺骨牌游戏,课题探究,7,“对于数列an，已知a11， （n1，2，），通过对n = 1，2, 3, 4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为 ”.,怎样类比人的多米诺骨牌游戏原理，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？,探究任务一：一个数学问题新的证明方法,8,（1）第一个人倒下.,（1）当n=1时猜想成立.,（2）若第k个人倒下时，则相邻的第k+1个人也倒下.,根据（1）和 （2），可知不论有多少个人都能全部倒下.,根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立.,类比多米诺骨牌游戏，证明数列猜想,（2）若当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立,9,一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：,（2） 假设n=k(kn0，kN* ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法.,（1） 证明当n取第一个值n0 (n0N* )时命题成立.,（归纳奠基）,(归纳递推),探究任务二：提炼原理，得出概念,10,思考：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？,逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,11,用框图表示为：,验证n=n0时命题成立.,若n = k ( k n 0) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.,命题对所有的自然数n ( n n 0)都成立.,归纳奠基,归纳递推,12,理解新知,问题1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：,13,问题:2：乙同学用数学归纳法证明 如采用下面证法，对吗？为什么,理解新知,14,问题3：讨论 的大小,猜想：,用数学归纳法证明，第一个取值为5.,理解新知,15,求证,16,例2：用数学归纳法证明,17,例3. 用数学归纳法证明,18,如下证明对吗？,证明 当n1时，左边1,右边1,等式成立 假设nk时，有,即nk1时，命题成立 根据问可知，对nN*，等式成立,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明,19,1.已知: ,则 等于( ) A: B: C: D:,C,练习：,20,练习,P90 2、3、4、5,21,小结作业,1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开始的所有正整数n都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明.,22,数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确；,（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确,递推基础,递推依据,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,注 意：,1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k1中间的变化.,“写明结论，才算完整”,（3）由（1）（2）得出结论,23,2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用.但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识.,24,(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.,证明中需要注意的问题,(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.,(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.,25,重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.,26,归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；,数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；,数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；,数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题,数学归纳法的核心: 在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃.,课堂小结,27,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：, 明确首取值n0并验证真假.（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式.