高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式课件新人教A版.pptx

二 绝对值不等式 1.绝对值三角不等式,【自主预习】 1.绝对值的几何意义,原点,距离,长度,a,2.绝对值三角不等式 (1)定理1:如果a,bR,则|a+b|_,当且仅 当_时,等号成立. (2)定理1的推广:如果a,b是实数,则|a|-|b| |ab|a|+|b|.,|a|+|b|,ab0,(3)定理2:如果a,b,cR,那么|a-c|a-b|+|b-c|, 当且仅当_时,等号成立.,(a-b)(b-c)0,【即时小测】 1.已知a,bR,则使不等式|a+b|0 B.a+b0 D.ab0 【解析】选D.根据绝对值的意义,可知只有当ab0时, 不等式|a+b|a|+|b|成立.,2.对任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值 为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.对任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1| =|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|x-1-x|+|1-y+y+1|=3, 当且仅当x0,1,y-1,1时,等号成立.,3.不等式|x+1|+|x-1|a恒成立,则实数a的取值范围为_. 【解析】因为|x+1|+|x-1|(x+1)-(x-1)|=2, 当且仅当-1x1时等号成立,所以,使不等式|x+1|+|x-1|a恒成立的实数a的取值范围为a2. 答案:a2,【知识探究】 探究点 绝对值三角不等式 1.用向量a,b分别替换a,b,当a与b不共线时,有|a+b|a|+|b|,其几何意义是什么? 提示:其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.,2.不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么? 提示:右侧“=”成立的条件是ab0,左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|.,【归纳总结】 1.对定理1的两点说明 (1)由于定理1与三角形边之间的联系,故称此不等式为绝对值三角不等式. (2)定理1可推广到n个实数情况即: |a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.,2.定理2的几何解释 在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C, 当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|. 当点B不在点A,C之间时, (1)点B在A或C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|. (2)点B不在A,C上时,|a-c|a-b|+|b-c|.,类型一 利用绝对值三角不等式证明不等式 【典例】设函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|1.求证:|f(x)-f(a)|2|a|+3. 【解题探究】典例中对于|f(x)-f(a)|如何构造,使其满足绝对值不等式的形式? 提示:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a|x+a-2|.,【证明】因为函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|1, 所以|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a|x+a-2| |x+a-2|=|(x-a)+2a-2|x-a|+|2a-2|1+|2a|+2=2|a|+3,所以|f(x)-f(a)|2|a|+3.,【方法技巧】两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用|a|-|b|ab|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明.,另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.,【变式训练】1.设m是|a|,|b|和1中最大的一个,当 |x|m时,求证: 2. 【解题指南】利用m|a|,m|b|,m1求解.,【证明】因为|x|m|b|且|x|m1, 所以|x2|b|. 又因为|x|m|a|, 所以 故原不等式成立.,2.若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|1,求证:|f(x)-f(a)|2(|a|+1). 【解题指南】将|f(x)-f(a)|分解成含|x-a|的形式,再利用|x-a|1证明.,【证明】|f(x)-f(a)|=|x2-x+c-(a2-a+c)| =|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)| =|x-a|x+a-1|x+a-1| =|(x-a)+(2a-1)|x-a|+|2a-1| |x-a|+|2a|+11+2|a|+1=2(|a|+1).,类型二 利用绝对值三角不等式求最值或取值范围 【典例】求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值. 【解题探究】典例中求|x-3|-|x+1|的最值可利用哪个绝对值不等式? 提示:根据|a|-|b|a-b|求最值.,【解析】因为|x-3|-|x+1|(x-3)-(x+1)|=4, 所以-4|x-3|-|x+1|4. 所以ymax=4,ymin=-4.,【延伸探究】 1.典例中函数y取到最大值时,需满足什么条件? 【解析】函数y取到最大值,需要满足 解得x-1.,2.若将典例条件改为|x-3|+|x+1|a的解集不是R,求a的取值范围. 【解析】只要a不小于|x-3|+|x+1|的最小值, 则|x-3|+|x+1|a的解集不是R, 而|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|3-x+x+1|=4,当且仅当(3-x)(x+1)0,即-1x3时取最小值4, 所以a的取值范围是4,+).,【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|x+a|-|x+b|的最值的三种方法 (1)转化法:转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.,(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解,但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义.,【变式训练】已知xR,求函数f(x)=|x+1|-|x-2|的最大值. 【解析】根据绝对值的三角不等式,有|x+1|-|x-2| |(x+1)-(x-2)|=3.当且仅当x2时等号成立.故函数f(x)=|x+1|-|x-2|3,所以最大值为3.,类型三 绝对值三角不等式的综合应用 【典例】(2014全国卷)设函数 f(x)= +|x-a| (a0). (1)证明:f(x)2. (2)若f(3)5,求a的取值范围.,【解题探究】1.典例(1)中可利用什么来证明f(x)2? 提示:利用绝对值不等式去掉x,再利用平均不等式证明. 2.典例(2)中含绝对值的不等式如何转化为不含绝对值? 提示:可通过对a讨论,去掉绝对值,解不等式.,【解析】(1)由a0,有f(x)= 所以f(x)2. (2)f(3)= +|3-a|.当a3时,f(3)=a+ , 由f(3)5,得3a,当0a3时,f(3)=6-a+ , 由f(3)5,得 a3. 综上,a的取值范围是,【方法技巧】绝对值不等式综合应用的解题策略 含绝对值的综合问题,综合性强,所用到的知识多,在解题时,要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件,还要注意配方等等价变形,同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时,还要注意等号成立的条件.,【变式训练】1.设f(x)=ax2+bx+c,当|x|1时,恒有|f(x)|1,求证:|f(2)|7. 【证明】因为|x|1时,有|f(x)|1, 所以|f(0)|=|c|1,|f(1)|1,|f(-1)|1, 又f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,所以|f(2)|=|4a+2b+c| =|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c| =|3f(1)+f(-1)-3f(0)| 3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)| 3+1+3=7.所以|f(2)|7.,2.已知函数f(x)=lg (1)判断f(x)在-1,1上的单调性,并给出证明. (2)若tR,求证:,【解析】(1)f(x)在-1,1上是减函数. 证明:令 取-1x1x21, 则u1-u2=,因为|x1|1,|x2|1,x10,即u1u2. 又在-1,1上u0,故lgu1lgu2, 得f(x1)f(x2),所以f(x)在-1,1上是减函数.,(2)因为